TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI

S 29 - V PHM HM

MT S BI TON V T L THC, TNH CHT CA DY T S BNG
NHAU.

I./ T VN
Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy các bài toán dùng kiến thức về tỉ lệ thức,
dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán là một trong những nội dung kiến thức
trọng tâm của ch-ơng trình toán lớp 7, trong đó việc phân loại bài tập và ph-ơng
pháp suy luận tìm tòi lời giải đối với từng dạng là một việc làm cần thiết để bồi
d-ỡng và nâng cao cho học sinh đặc biệt là đối với đối t-ợng học sinh khá trở lên.
Vì vậy từ thực tế giảng dạy tôi xin đ-a ra một số bài toán để cùng trao đổi với đồng
nghiệp hy vọng góp một phần nhỏ vào kinh nghiệm chung trong việc nâng cao chất
l-ợng dạy học.
Các bài toán về tỉ lệ thức là một mảng toán rất rộng nên tôi không có ý định đề
cập tới tất cả các dạng ở các khối lớp mà chỉ hạn chế mức độ toán 7 để sử dụng
trong giảng dạy và bồi d-ỡng học sinh khá, giỏi lớp 7. Rất mong đ-ợc sự góp ý của
đồng nghiệp.
II./ NI DUNG
1. Lý thuyt T l thc l ng thc gia hai t s
* Tớnh cht ca t l thc:
Tớnh cht 1: T t l thc

a c

b d

a c
suy ra a.d = b.c


a cci
aci


, (b, d, j 0)
b bd j bd j

Tớnh cht 3: a, b,c t l vi 3, 5, 7 tc l ta cú:
III./ CC DNG BI TP
Tụi xin chia 5 dng c th sau:
1. Toỏn chng minh ng thc
2. Toỏn tỡm x, y, z, ...
1

a b c

3 5 7


TRUNG TÂM GIA SƯ BÁCH KHOA HÀ NỘI

SỐ 29 - VŨ PHẠM HÀM

3. Toán đố
4. Toán về lập tỷ lệ thức
5. Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức
A. Loại toán chứng minh đẳng thức
Bài 1. Chứng minh rằng : Nếu


a c
a b c d
a b b
 


 (2)
b d
b
d
cd d

Từ (1) và (2) =>

Bài 2: Nếu
a,

a b a b
a b cd
(ĐPCM)



cd cd
a b c d

a c
 thì:
b d


5a  3b 5c  3d

a c
a b
a 2 b2 ab
7a 2 8b 2 3ab 11a 2

b.     2  2   2  2 
b d
c d
c
d
cd
7c
8d
3cd 11c 2
7a 2  3ab 11a 2  8b 2

(đpcm)
7c 2  3cd 11c 2  8d 2

Bài 3: CMR: Nếu a 2  bc thì

ab ca

điều đảo lại có đúng hay không?
a b c a

2



ac a 2  c 2
a c

 CMR
bd b 2  d 2
b d
a c
ac a2 c2 a2  c2
ac a2  c2
(đpcm)
 
 2  2 2


b d
bd b
d
b  d2
bd b2  d 2

a c
a 4  b4
 a b 
Bài 5: CMR: Nếu  thì 
  4
4
b d
cd  c d
4



4
4
cd  c d
4

Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 thì

a c

b d

Giải:
Ta có: a  c  2b   a  c  d  2bd  3
Từ (3) và (2)


 c b  d    a  c  d
 cb  cd  ad  cd

a c
 (đpcm)
b d

Bài 7: Cho a, b, c, d là 4 số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện:
b2  ac; c 2  bd và b3  c3  d 3  0
3



b c d

Mặt khác:

a b c
a3 a b c a
   3 
  4
b c d
b
bcd d

a 3  b3  c 3 a
Từ (3) và (4)  3 3 3 
b c d
d

Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1)
Trong đó a ; b ; c là các số khác nhau và khác 0 thì:
yz
zx
x y


 
a b  c  b c  a  c  a  b 

Giải: Vì a; b; c ≠0 nên chia các các số của (1) cho abc ta có:
a  y+z 
b  z  x c  x  y



(đpcm)
a b  c  b c  a  c  a  b 

Bài 9: Cho

bz-cy cx-az ay-bx


1
a
b
c

CMR:

x y z
 
a b c

Giải: Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc b; c
Từ (1) ta có:
bz-cy abz-acy bcx-baz cay-cbx abz-acy+bcx-baz+cay-cbx




0
a

  3
a b

y z
 (đpcm)
b c

a b'
b c'
và


1
 1
a' b
b' c

CMR: abc + a’b’c’ = 0
Giải: Từ

a b'
  1  ab  a ' b '  11
a' b

Nhân cả hai vế của (1) với c ta có: abc + a’b’c = a’bc (3)
Ta có:

b c'
  1  bc  b ' c '  b ' c(2)
b' c



3
15 20 28 30 60 28 30  60  28 62

 x = 3.15 = 45
 y= 3.20 = 60
 z = 3.28 = 84
Bài 12. Tìm x, y, z cho:

x y
y z
 và  và 2 x  3 y  z  372
3 4
5 7

Giải: Nhận xét bài này và bài trên có gì giống nhau?
Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào? Đưa tử số có cùng số chia
5


TRUNG TÂM GIA SƯ BÁCH KHOA HÀ NỘI

Ta có:

SỐ 29 - VŨ PHẠM HÀM

x y
x
y

Học sinh nên tự giải (tương tự bài nào em gặp)
ĐS: x = 20; y = 30; z = 42
Bài 14. Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 95 (*)
x
3

Cách 1: Từ 2x = 3y  
3y = 5z 

y
2

y z

5 3

Đưa về cách giải giống ba bài trên: cách này dài dòng
Cách 2:
+ Nếu có tỷ lệ của x, y, z tương ứng ta sẽ giải được (*)
+ Làm thế nào để (1) cho ta (*)
+ chia cả hai vế của (1) cho BCNN (2;3;5) = 30
2x = 3y = 5z 

2 x 3 y 5z x
y z
x yz
95


   

2
3
4

6


TRUNG TÂM GIA SƯ BÁCH KHOA HÀ NỘI

b.

SỐ 29 - VŨ PHẠM HÀM

2x 2 y 4z

  2  và x + y +z = 49
3
4
5

Giải:
a. Với giả thiết phần a ta co cách giải tương tự bài nào? (bài 11)
2  x  1 3  y  2  z  3 2 x  2  3 y  6  z  3



4
9
4
494

5
3.12 4.12 5.12
x
y
z
x yz
49
   

1
18 10 15 18  16  15 49

=> x = 18; y = 16; z = 15
Bài 17. Tìm x; y; z biết rằng:
a.

x y
 và xy = 54 (2)
2 3

b.

x y
 và x 2  y 2  4 (x, y > 0)
5 3

Giải: ? Làm như thế nào để xuất hiện xy mà sử dụng giả thiết.
x y
x x y x
x 2 xy 54


SỐ 29 - VŨ PHẠM HÀM

x y x2 y 2 x2  y 2 4 1
  

 
5
3
25
9
25

9
16 4
b.
25
5
 x2 
x
4
2
 y2 

9
3
x
4
2


x
y
z
x yz

Giải: Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có từ (1)
y  z 1 y  z 1 x  z  2  x  y  3 2  x  y  z 


x
x yz
x y z
1
 2  x  y  z  0,5
x yz
y  z 1
 2  y  z  1  2x  x  y  z  1  2x  x
x
1
 1,5  3 x  x 
2
xz2
Nếu a + y + z ≠ 0 :
 2  x  y  z  2  3y
y
5
 2,5  3 y  y 
6
x y 3
 2  x  y  z  3  3z


1
2

Nếu x + y + z = 0 => x = y = z = 0
Bài 20. Tìm x biết rằng:

1 2 y 1 4 y 1 6 y


18
24
6x

Giải:
1 4 y 1 2 y 1 6 y 2  8 y
1 4 y 2  8y




24
18  6 x
18  6 x
24
18  6 x
1 4 y
24
1 4 y
24

 27
10
8
2
 x3  8.27  23.33   2.3

3

x6
x y
3.6
 y
9
mà 2 3
2
z  15

Bài 22. Tìm các số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng:
x
x
x1 x2
    n 1  n và x1  x2    xn  c
a1 a2
an1 an

( a1  0,..., an  0; a1  a2  ...  an  0 )
Giải:

9


1
2
5
 x  y   5  z    y  z   9  y   x  y  4
3 1 2  5
1
x  y  4  k

k 4 x y
 x  y  3k
 4  k  3k  4  2k  k  2

 5 z  k  z  5 k  5 2  3
9  y  5k  y  5k  9  10  9  1

Từ (1)

x  y  3k  x  3k  y  6  1  5
x  5

 y 1
z  3


Bài 24. Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỷ số giữa số thứ 1 và số
thứ 2 là

2
4
; giữa số thứ 1 và số thứ 3 là . Tìm 3 số đó?

 y  1.6  6
 z  1.9  9

10


TRUNG TÂM GIA SƯ BÁCH KHOA HÀ NỘI

SỐ 29 - VŨ PHẠM HÀM

Bài 25. Tìm x, y biết :
2 x  1 3 y  2 2 x  3 y 1


5
7
6x

C./ LẬP TỈ LỆ THỨC
Bài 26. Cho

a5 b6
a

(a  5, b  6) tìm ?
a 5 b6
b

Bài 27. Cho



Trả lời: Đội A; B; C có số người đi trồng cây theo thứ tự là 60; 40; 30
ĐS: 60; 40; 30
Bài 29. Trường có 3 lớp 7, biết
bằng

2
3
có số học sinh lớp 7A bằng số học sinh 7B và
3
4

4
số học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2 lớp kia
5

là 57 bạn. Tính số học sinh mỗi lớp?
Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C lần lượt là x; y; z (em), x; y; z ≠0
Theo bài ra ta có:

11


TRUNG TÂM GIA SƯ BÁCH KHOA HÀ NỘI

SỐ 29 - VŨ PHẠM HÀM

2
3
4

Theo bài ra ta có: BCNN (x;y;z) = 3150
x 5 x 10
x y x z
 ;    ; 
y 9 z 7
5 9 10 7
x
y z
   k
10 18 7
 x  10k  2.5.k
 y  18.k  32.2.k
 z  7.k

BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7
 k=5
 x=50; y = 90; z = 35
Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35.
E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho 2 số hữu tỷ
CM:

a c
  ad  bc
b d

Giải:
a c


b  0; d  0 bd db
b d

+ Có:

Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ

a c
a ac c
  

b d
b bd d

(Bài 5/33 GK Đ7)
Giải:
a c



+ b d
  ad  bc(1) thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có:
b  0; d  0 


 ad  ab  bc  ab
a b  d   c b  d  

a ac


b

b, Nếu

a
a ac
 1 thì 
b bc
b

Bài 31. Cho a; b; c; d > 0.
CMR: 1 

a
b
c
d



2
abc bcd cd a d ab

Giải:
+ Từ

a
 1 theo tính chất (3) ta có:
abc



Tương tự ta có:
b
b
ba


 4
abcd bcd abcd
c
c
cb


 5
abcd cd a cd a b
d
d
d c


 6
d+a+b+c d  a  b a  b  c  d

Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được:
1

a
b
c

Theo tính chất (2) ta có:

ab ab  cd cd
a ab  cd c
 2
 2  2
 (đpcm)
2
2
b
b d
d
b b  d2 d

F. Bài tập tổng hợp cơ bản
Bài 1 :T×m x,y,z biÕt

x y z
  vµ 3x+y-2z = 14
3 5 8
b) 2x  3  4  7
a)

c) x:y:z = 2:4:6 và x-y+z = 24
a
b
c
d) 5
7
2 và a-b+c = -28

z
và x - 3y + 4z = 62;
9
y 7
;
=
và x - y + z = -15
z 3
y 5
;
= và 2x + 5y - 2z = 100
z 8
14


TRUNG TÂM GIA SƯ BÁCH KHOA HÀ NỘI

SỐ 29 - VŨ PHẠM HÀM

x
y z
=
= và xyz = 20
12 9 5
x y z
k) =
= và x2 + y2 - z2 = 585
5 7 3
i)


1)

2)

Bài 3: Số học sinh giỏi, khá, trung bình của khối 7 tỉ lệ với 2; 5; 6. Tổng số học sinh giỏi và khá
nhiều hơn số học sinh trung bình là 45 em. Tính số học sinh giỏi, khá, trung bình của khối 7.
Bài 4:.Một tam giác có chu vi là 84 cm và 3 cạnh của nó tỉ lệ với 3; 4; 5. Tính độ dài ba cạnh của
tam giác đó.
Bài 5: Tìm diện tích một hình chữ nhật biết tỉ số giữa hai cạnh là 5:6 và chu vi là 44 m.
Bài 6 . Tính số học sinh của lớp 7A và lớp 7B. Biết lớp 7A ít hơn lớp 7B là 5 học sinh và tỉ số
học sinh của hai lớp là 8 : 9
Bài 7 . Boán lớp 7A, 7B, 7C, 7D đi lao động trồng cây. biết số cây trồng của ba lớp 7A, 7B, 7C,
7D lần lượt tỷ lệ với 3; 4; 5; 6 và lớp 7A trồng ít hơn lớp 7B là 5 cây. Tính số cây trồng của
mỗi lớp?
Bài 8. Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ của đội, ba chi đội 7A, 7B, 7C đã thu được tổng
cộng 120kg giấy vụn. Biết rằng số giấy vụn thu được của ba chi đội lần lượt tỷ lệ với 9;7;8. Hãy
tính số giấy vụn mỗi chi đội thu được.
Bài 9. Học sinh khối lớp 7 đã quyên góp được số sách nộp cho thư viện. Lớp 7A có 37 học sinh,
Lớp 7B có 37 học sinh, Lớp 7C có 40 học sinh, Lớp 7D có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp quyên góp
được bao nhiêu quyển sách cũ. Biết rằng số sách quyên góp được tỉ lệ với số học sinh của mỗi
lớp và lớp 7C góp nhiều hơn lớp 7D là 8 quyển sách.
Bài 10 Ba bạn An, Bình, Châu ủng hộ phong trào Kế hoạch nhỏ của Liên đội trường với tổng số
tiền là 660000 đồng. Tìm số tiền mà mỗi bạn đóng góp, biết chúng tỉ lệ thuận với 5; 7; 8.
Bài 11: Khối lớp 7 của một trường THCS trong quận có 336 học sinh. Sauk hi kiểm tra học kì 1,
số học sinh xếp thành 3 loại giỏi, khá, trung bình. Biết số học sinh giỏi, khá, trung bình lần lượt
tỉ lệ với 4; 5; 7. Tính số học sinh mỗi loại của khối 7.
Bài 12:Tính số đo mỗi góc của tam giác ABC, biết rằng số đo các góc A, B, C lần lượt tỉ lệ với
1; 3; 5.
Bài 13: (1 điểm) Số bi của ba bạn Bình, Hưng, Hòa tỉ lệ với các số 2; 4; 5. Tính số bi của mỗi
bạn, biết rằng ba bạn có tất cả 33 viên bi.