BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
..................................

Hoàng Hữu Tân

NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TẤM CÓ
HÌNH DẠNG KHÁC NHAU CHỊU TẢI TRỌNG
KHÁC NHAU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2010


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

.......................................
Hoàng Hữu Tân

NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TẤM CÓ
HÌNH DẠNG KHÁC NHAU CHỊU TẢI TRỌNG
KHÁC NHAU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS – TS Nh÷ Ph−¬ng Mai

HÀ NỘI – 2010


Hc viờn Hong Hu Tõn

CHKT 2008 - 2010


Nghiờn cu s nh ca tm cú hỡnh dng khỏc nhau chu ti trng khỏc nhau

định gây nên sự phá hủy hoặc ảnh hởng đến hoạt động của công trình, do đó việc
nghiên cứu bài toán ổn định của tm là rất cần thiết.
- Việc tìm ra sự liên hệ giữa hệ số liên kết với lực tới hạn, ứng suất tới hạn sẽ góp phần
dự đoán và phòng tránh sự mất ổn định của công trình .

4.Ni dung lun vn gm:
Chng 1: Cỏc phng trỡnh c bn v tm.
Trỡnh by túm tt cỏc phng trỡnh c bn v tm, Quan h ng sut -bin
dng, Quan h gia ni lc v ng sut, quan h bin dng v chuyn v, phng
trỡnh cõn bng tnh hc v cỏc iu kin biờn.
Chng II: S n nh ca tm nhiu lp
Trong chng ny, tụi trỡnh by cỏc vn c bn ca lý thuyt n hi trong vn
n nh ca tm nhiu lp lm vic ngoi min n hi.
Chng III: Mt s bi toỏn c th v n nh ca tm.

Trong chng ny, tụi trỡnh by mt s bi toỏn tớnh toỏn c th i vi tm hỡnh
ch nht v tm hỡnh tam giỏc vuụng.
Chng IV: ng dng phng phỏp phn t hu hn bng cỏch s dng
ANSYS.
Trong chng ny, tụi trỡnh by mt s lnh c bn ca phn mm ANSYS s
dng trong tớnh toỏn v tm. ng dng ANSYS tớnh toỏn mt s bi toỏn c
th v tm.


X

h

Miên trung gian

Z

Y

Hình 1.1 Phần tử tấm
Tấm là vật thể hình chữ nhật mà chiều cao vật thể nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước
của bề rộng. Mặt phẳng xy là mặt phẳng trung gian của tấm. Chiều dày của tấm h là
khoảng cách giữa hai bề mặt của tấm, a là chiều rộng của tấm .
- Tấm dày là tấm mà

h 1
≥ , đó là loại 3-D ( Trường hợp ứng suất khối)
a 5

- Tấm mỏng là tấm mà

h 1
≤ khi đó ứng suất theo hướng bề dày là rất nhỏ so với hai
a 5

hướng còn lại và có thể bỏ qua khi tính toán ( bỏ qua σ zz so với σ yy và σ xx )
Trong phần này chúng ta xem xét các tấm mỏng bằng vật liệu đàn hồi tuyến tính, xác
định theo định luật Hook
Các giả thuyết:

σxz

x

Sy

y

σyy

Sx

Qy

Nx

z

z
x

Qx

Hình 1.2. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng
Xét phân tố diện tích vô cùng nhỏ vuông góc với trục y ,
Tại điểm K ứng suất pháp theo phương y là σ yy , ứng suất tiếp là σ yx và σ yz
Tổng ứng suất theo chiều dày của tấm, chúng ta thu được nội lực.
Chuyển nội lực về mặt phẳng trung gian, ta được :
N y = ∫ σ yy dz
h


M x = ∫ zσ yy dz

(1-1b)

h

Qx = ∫ σ yz dz
h

M xy = ∫ zσ yx dz
h

Giá trị trên được gọi là nội lực và mô ment nội lực của tấm. Theo thuyết ứng suất tiếp
tương đương, chúng ta có :
Sx = Sy = S
Mxy = Myx = H
Thay thế các thành phần ứng suất trên các phan tố của tấm bằng nội lực trong mặt
phẳng trung bình như là các thành phần nội lực : mô ment uốn, lực dọc trục, lực cắt,
mô ment xoắn của thanh . Các thành nội lực : Nx, Ny, S, Mx, My, Qx, Qy, H là hàm của
toạ độ x,y.
Trong tấm chịu uốn bởi ngoại lực vuông góc với mặt phẳng trung gian. Chúng ta xét
các thành phần nội lực : uốn và xoắn ;Mx, My, Qx, Qy, H .
Chiều dương của các nội lực nói trên : Nx, Ny, S, Mx, My, Qx, Qy cũng như chiều dương
của ứng suất pháp tuyến trên mặt cắt có pháp tuyến trùng với chiều dương của trục toạ
độ như trên hình vẽ 1.3. Khi mặt cắt có pháp tuyến theo chiều ngược với chiều dương
của trục toạ độ, dấu của nội lực sẽ có chiều ngược lại.
6
Học viên Hoàng Hữu Tân



H

P

M

y

'
x

N

'

x

Nx

H

S

'

My

N
S''

∂x
∂x

Ở cạnh trên MP, các thành phần nội lực : Qy, My, H.
Ở cạnh dưới MQ, các thành phần nội lực :
Q *y = Q y +

∂Q y
∂y

dy , M *y = M y +

∂M y
∂y

dy , H x** = H +

∂H
dx
∂x

Chiếu lên trục z, ta có các phương trình cân bằng sau:
∂Qx ∂Q y
+
+ p=0
∂x
∂y

(1-2)


Phương trình kết hợp:
2
∂2M x
∂2H ∂ M y
+
2
+
+ p=0
∂x∂y
∂y 2
∂x 2

(1-5)

III. Quan hệ biến dạng và chuyển vị. Phương trình cân bằng tĩnh học
Chuyển vị tại điểm (x, y,z) tương ứng là (u, v, w).
Chuyển vị tại điểm (x, y,0) tương ứng là (u0, v0 , w0 ).
Giả thuyết 1:
ε zz =

∂w
= 0 với W =W(x,y)
∂z

Giả thuyết 2: u0 =0, v0 = 0.
Xét phân tố song song trục với x, theo định luật của Kickoff:
tgα =

∂w
∂x

∂w
∂y

v = − z.sin β = − z.tgβ = − z.

∂w
∂y

(1-8)

Theo phương trình Cauchy :
ε xx

∂u
∂2w
=
= − z 2 = − zχ x
∂x
∂x

ε yy =

∂v
∂2w
= − z 2 = − zχ y
∂y
∂y

(1-8)


mối quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị:
σx =

E
∂2w
∂2w
[
ε
µε
(
µ
)]
+
−
z
+
0, x
0, y
∂x 2
∂y 2
1− µ 2

σy =

E
∂2w
∂2w
+
−
z

1− µ2 2

Lực màng thu được:
N x = ∫ σ x dz =
h

h/2

E
∂2w
∂2w
{
[
ε
µε
z
(
µ
+
−
+
∫ 1 − µ 2 0,x 0, y ∂x 2 ∂y 2 )]}dz
−h / 2

Sau khi tích phân, chúng ta thu được:
Nx =

E
(ε 0, x + µε 0, y )
1− µ 2

Hoặc :
⎛ ∂2w
∂2w ⎞
M x = − D.⎜⎜ 2 + µ . 2 ⎟⎟
∂y ⎠
⎝ ∂x
⎛ ∂2w
∂2w ⎞
M y = − D.⎜⎜ 2 + µ . 2 ⎟⎟
∂x ⎠
⎝ ∂y

(1-9b)

⎛ ∂2w ⎞
⎟⎟
H = − D(1 − µ ).⎜⎜
⎝ ∂x∂y ⎠

Trong đó:
D=

E.h 3
12(1 − µ 2 )

(1-10)

Theo một cách khác, ta viết (1-9b) bằng các biến độ cong:
M x = − D( χ x + µ .χ y )


N
Nx
S
; σ y = y ; σ xy =
h
h
h

(1-12)

Theo mô ment uốn và mô ment xoắn
σ x = z.

12M
12 M x
; σ y = z. 3 y ;
3
h
h

σ xy = z.

12 H
;
h3

(1-13)

σz =0


∂F E.h 3
=
.(ε 0, x + µ .ε 0, y )
∂y 2 1 − µ

Ny =

∂F E.h 3
=
.(ε 0, y + µ .ε 0, x )
∂x 2 1 − µ

S =−

∂F
E.h 1 − µ
=
.
.γ 0, xy
∂x∂y 1 − µ 2 2

Tuy nhiên , sự tính toán là rất phức tạp. Vì vậy nếu các điều kiện biên trên mặt phẳng
trung gian được thay thế bới các bài toán về chuyển vị.
Hàm chuyển vị w :
x

a
b

b

=0
∂y

(1-16)

12
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

*Tựa tự do
Trên cạnh là vuông góc với trục x (x=0,x=a) với
w = o ; M x = − D(

∂2w
∂2w
+
µ
.
)=0
∂x 2
∂y 2

(1-17)

∂2w
Cạnh đó vẫn thẳng theo phương y do đó 2 = 0 và điều kiện mô ment bằng không là


*Biên tự do:
Trên cạnh đó, chúng ta có ba điều kiện của nội lực : mô men uốn, lực cắt, mô men
xoắn bằng 0. Do đó số điều kiên biên lớn hơn số điều kiện cần thiết (là 2). Kirchoff đã
thay thế hai điều kiện liên hệ giữa mô men uốn và lực cắt bằng 1 điều kiện .Trong hình
1-7, tại điểm cách trục x một đoạn là y và vuông góc với trục x, chúng ta có mô ment
uốn là H. Thay thế mô men H bằng một cặp ngẫu lực và có độ lớn là H/dy và có chiều
ngược nhau. Tại tiết diện vuông góc với mặt phẳng trung gian và cách nhau một đoạn
dy. Trên mặt cắt có toạ độ y + dy, giá trị của mô men uốn là H+dH được thay thế bằng
ngẫu lực tương ứng, có chiều ngược nhau :

13
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

∂H
dy
H + dH H dH H
H ∂H
∂y
=
+
=
+
=
+


Ta có hai hệ lực theo chiều ngược nhau để thay thế mô men xoắn trên mặt cắt ngang.
Một hệ lực có hướng lên trên và một hệ lực có hướng xuống dưới sai số của các lực là
∂H
∂H
. Do đó ta có mô men xoắn phân bố với cường độ
được thay thế bằng Qx. Hợp
∂y
∂y

lực của hệ lực đó cùng với lực cắt Qx tạo thành hệ lực tương đương Q xeq
Q xeq = Q x + dH = Q x +
Q xeq = − D.

∂H
∂y

(1-19a)

⎡∂3w
∂ 2
∂3w
∂3w ⎤
(
2
µ
).
∇ w − D(1 − µ )
=
−

∂x 2
∂y 2

(1-20a)

Q xeq = 0 ⇒

∂3w
∂3w
+
(
2
−
µ
).
=0
∂x 3
∂x∂y 2

(1-20b)

Nếu biên vuông góc với trục y là tự do, điều kiện cân bằng là :
∂2w
∂2w
M y = 0 ⇒ 2 + µ. 2 = 0
∂y
∂x

Q yeq = 0 ⇒


∂y∂x 2 ⎦
⎣ ∂y

(1-22a)

15
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

∂2w
∂2w
M y = 0 ⇒ 2 + µ. 2 = 0
∂y
∂x

(1-22b)

x

y
z
Hình 1.9. Gối đàn hồi
2. Ngàm đàn hồi :
Gọi độ cứng chống xoay của ngàm đàn hồi là c, chuyển vị góc tại điểm dọc theo
các cạnh là cMbend
Tại y = b

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

Trường hợp này, ngoại lực ở mặt phẳng trung gian không có biến dạng uốn và độ
võng. Hàm F tuân theo công thức sau :
∇4F = 0

(1-25)

Tấm mỏng
Với tấm mỏng, chuyển vị màng và chuyển vị uốn là tương đương và nó có hai
trường sau :
Tấm mỏng với độ võng nhỏ : (
Tấm mỏng với độ võng lớn : (

w 1
≤ )
h 2

w 1
≥ )
h 2

VII.Kết luận chương I.
Trong chương này, chúng ta tìm hiểu về các loại tấm có hình dạng khác nhau với
các điều kiện biên khác nhau. Qua đó, ứng với mỗi trường hợp ta thu được các điều
kiên biên khác nhau và các phương trình cân bằng tĩnh học khác nhau.
Chương II: SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TẤM NHIỀU LỚP

Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

x

Ny

Nx

Nx

Nx dx
X

Nxy
Nyx

Nyx dy N y
y

Nxydy
y

Ny dy
y

y

Hình 2.1. Phân tố tấm nhiều lớp
Khi xem xét các lực thể hiện trên trục z, chúng ta phải đưa vào giá trị độ uốn của tấm
và tổng các góc xoay nhỏ giữa Nx và Ny trên các cạnh đối diện của phân tố này. Chiếu

dxdy +
dxdy
∂x∂y
∂x ∂y

(b)

Theo giả thuyết về tấm bị nén,ta thu được lực cắt Nxy = Nyx trên trục z. Đối với trường
hợp kéo nén đơn, các lực cắt theo phương z viết như sau :
2 N xy

∂N xy ∂w
∂N xy ∂w
∂2w
dxdy +
dxdy +
dxdy
∂y ∂x
∂x ∂y
∂x∂y

(c)

18
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

∂x 2
∂y 2

Cho
Thay biểu thức (1-9b) trong chương 1 cho các lực Mx, My và Mxy, chúng ta có phương
trình sau :
∂4w
∂4w
∂4w 1
∂2w
∂2w
∂2w
2
(
2
)
+
+
=
q
+
N
+
N
+
N
x
y
xy
∂x∂y


t

σ

0

ε

Hình 2.2. Biểu diễn mối quan hệ giữa biến dạng và ứng suất

19
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

Từ đồ thị σ (ε ) với các thí nghiệm xoắn. Môđun đàn hồi E tương ứng tg α 0 Vẽ đường
tiếp tuyến với đường cong môđun tại N. tiếp tuyến đường Et0 là tg α 1
Et0 =

dσ
dε

(2-3)

Hãy từ N đến O, góc giữa đường ON và trục ngang ε là môđun của pháp tuyến E s0
E s0 =

σ x , σ y , σ z : Ứng suất pháp
τ xy , τ yz , τ zx : Ứng suất trượt
ε x , ε y , ε z : Biến dạng dài
γ xy , γ yz , γ zx : Biến dạng góc

Chúng ta giả định rằng σ i phụ thuộc vào ε i bởi các biểu thức sau đây:
σ i = E s .ε i

(2-7)

Mối quan hệ giữa biến dạng dài và ứng suất tiếp theo biểu thức :

20
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

⎫
⎧
1
3
.(σ x − S ) ⎪
⎪ε x − .θ =
3
2.E s
⎪
⎪

σ x +σ y +σ z
3

(2-10)

Mối quan hệ giữa θ và S như sau :
θ=

3.(1 − 2µ )
.S
E

(2-11)

Với vật liệu không nén được, chúng ta có θ = 0. Ở trên tấm, mỗi điểm trên lớp mà
song song với mặt phẳng trung bình chịu trạng thái ứng suất phẳng .
Chúng ta có:
γ yz = γ zx = 0

σz = 0;

(2-12)

Áp dụng công thức (2-5):
σi =

1
σ x2 + σ xσ y + σ y2 + τ 2
2


2.E s
E
⎪
⎪
3
3
1 − 2µ
.σ y − (
).S
−
⎨ε y =
2.E s
E
2.E s
⎪
⎪
3
.τ
⎪γ xy =
Es
⎩

(2-15)

Trong công thức (2-15) chúng ta có thể tách riêng hai thành phần: biến dạng đàn hồi và
biến dạng dẻo. Nếu chúng ta định nghĩa :
1
1
1
= +


Thay vào biểu thức (2-16), chúng ta có được :
1 2(1 + µ ) 1
=
+
3E
En
Ep

(2-19)

Bây giờ thay thế (2-19) và (2-14) vào biểu thức (2-15), cuối cùng chúng ta có được :

22

Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

⎧
1
3
(σ x − S )
⎪ε x = (σ x − µ .σ y ) +
2E p
E
⎪

0

=

σ
E

+

σ
3
.(σ − )
2 .E p
3

Và
1
1 1
= 0−
E p En E

(2-21)

Cùng với công thức (2-19) v cho ta thấy đồ thị kéo và nén của Ep
Sử dụng (2-19) chúng ta có:
1
1 1 − 2µ
= 0−
Es Es
3E