Nguyên tắc diricle
1. Các nút của tờ giấy kẻ carô vô tận đợc tô bằng 2 màu. Chứng minh rằng
tồn tại 2 đờng thẳng nằm ngang và 2 đờng thẳng thẳng đứng mà tại giao của chúng là
các điểm cùng 1 màu.
H ớng dẫn:
Lấy 3 đờng thẳng đứng và 9 đờng thẳng nằm ngang. Sẽ chỉ xét các giao điểm
của các đờng thẳng này. Bởi vì chỉ có 2
2
= 8 cách tô màu cho 3 điểm bằng 2 màu,
nên luôn tìm đợc 2 đờng thẳng nằm ngang trên đó các bộ 3 điểm đợc tô màu nh
nhau. Trong số 3 điểm tô bằng 2 màu , tất có 2 điểm cùng màu. các đờng thẳng đi
qua 2 điểm đó cùng với 2 đờng thẳng nằm ngang đã chọn trớc đó là các đờng thẳng
cần tìm.
2. Bên trong tam giác đều cạnh 1 đặt 5 điểm . Chứng minh rằng khoảng
cách giữa 2 điểm nào đó nhỏ hơn 0,5
H ớng dẫn:
Các đờng trung bình của các tam giác đều cạnh 1 sẽ chia nó ra làm 4 tam giác
đều cạnh 0,5. Do đó trong 1 tam giác nhỏ đó có ít nhất 2 điểm đã cho và các điểm
đó không thể rơi vào các đỉnh của tam giác. khoảng cách giữa 2 điểm đó nhỏ hơn
0,5.
3. Trong hình chữ nhật 3x4 đặt 6 điểm. Chứng minh rằng trong số đó
luôn tìm đợc 2 điểm có khoảng cách giữa chúng không lớn hơn
5
.
H ớng dẫn:
Chia hình chữ nhật ra 5 hình chữ nhật (hv)
Trong một trong số các hình đó sẽ có ít nhất 2 điểm
Và khoảng cách giữa 2 điểm đó sẽ không lớn hơn
5
4. Trên bàn cờ 8x8 ta đánh dấu tâm của tất cả các ô. Hỏi có thể bằng 13
đờng thẳng chia bàn cờ thành các phần sao cho trong mỗi phần đó có không có quá 1

1
25
1
<
do đó hình vuông có thể che đợc bởi hình tròn bán kính bằng
7
1
7. Cả 2 đĩa đều đợcchia thành 1985 hình quạt bằng nhau, và trên mỗi đĩa
tô một cách bất kì (bằng 1 màu) 200 hình quạt. Các đĩa đặt chồng lên nhau và quay
mỗi đĩa theo những góc là bội
1985
360
0
. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 80 vị trí có
không quá 20 hình quạt đợc sơn trùng màu.
H ớng dẫn:
Lấy 1985 đĩa đợc tô màu giống đĩa thứ 2 và đặt chồng tất cả lên đĩa thứ nhất
sao cho chúng có tất cả các vị trí có thể.
Khi đó trên mỗi hình quạt của đĩa thứ nhất có 200 hình quạt đợc tô, tức là có tất cả
200
2
cặp hình quạt đợc tô trùng nhau. Giả sử có n vị trí của đĩa thứ 2 có không ít hơn
21 cặp hình quạt đợc tô trùng nhau. Khi đó các hình quạt đợc tô trùng nhau không
nhỏ hơn 21n. Do đó 21n

200
2
, tức là n

1904,8.

H ớng dẫn:
Có thể chia làm 2 trờng hợp:
1. Điểm P nằm trên đờng chéo nào đó. Khi đó các đờng thẳng PA, PB trùng nhau
và không cắt các cạnh. Còn lại 2n-2 đờng thẳng và chúng cắt không quá 2n-2 cạnh
2. Điểm P không nắm trên đờng chéo nào của đa giác A
1
A
2
..A
2n
.
kẻ đờng chéo A
1
A
n+1
, ở mỗi bên đờng chéo này có đúng n cạnh.
Giả sử P nằm trong đa giác A
1
..A
n+1
.
Khi đó các đờng thẳng PA
n+1
; PA
n+2
; ..; PA
2n
; PA
1
(số đờng thẳng này là n+1) không thể cắt các cạnh A

H ớng dẫn:
Giả sử l
1
là đờng thẳng bất kì vuông góc với 1. Kí hiệu độ dài các hình chiếu
của đoạn thẳng thứ i lên các đờng thẳng 1 và 1
1
là a
i
; b
i
tơng ứng. Bỏi vì độ dài của
mỗi đoạn bằng 1, nên a
i
+b
i

1. Do đó (a
1
+a
2
+..+a
4n
)+(b
1
+b
2
+..+b
4n
)


H ớng dẫn:
Chia đoạn thẳng ra làm 10 đoạn thẳng có độ dài 0,1. Đặt chúng theo cột và chiếu
chúng xuống 1 đoạn thẳng nh vậy. Bởi vì khoảng cách giữa 2 điểm đợc tô bất kì
không bằng 0,1 nên các điểm đợc tô của các đoạn thẳng cạnh nhau không thể cùng
chiếu xuống 1 điểm. Do đó không có điểm nào có thể là điểm chiếu của các điểm đ-
ợc tô màu của nhiều hơn 5 đoạn thẳng. Suy ra tổng độ dài các hình chiếu của các
đoạn thẳng đợc tô (bằng tổng độ dài của chúng) không lớn hơn 5.0,1=0,5.
Nguyên tắc cực hạn
1. Chứng minh rằng các hình tròn nhận các cạnh của tứ giác lồi làm đờng kính
sẽ phủ kín toàn bộ tứ giác.
H ớng dẫn:
2. ở một quốc gia có 100 sân bay, mà khoảng cách giữa các cặp sân bay đều
khác nhau. Trong cùng 1 thời gian, từ mỗi sân bay có 1 máy bay cất cánh và bay đến
1 sân bay gần nhất. Chứng minh rằng không có một sân bay nào có nhiều hơn 5 máy
bay tới.
H ớng dẫn:
3. Bên trong hình tròn bán kính 1 có 8 điểm. Chứng minh rằng khoảng cách giữa
2 điểm nào đó trong 8 điểm nhỏ hơn 1.
H ớng dẫn:
4. Bên trong 1 tam giác nhọn lấy một điểm P. Chứng minh rằng khoảng cách lớn
nhất trong số các khoảng cách từ đó đến các đỉnh của tgtừ đó đến các đỉnh của tam
giác không nhỏ hơn 2 lần khoảng cách nhỏ nhất trong số các khoảng cách nhỏ nhất
trong số các khoảng cách từ đó tới cạnh.
H ớng dẫn:
5. Trên các cạnh AB; BC; CA của tam giác ABC lấy các điểm A; B; C tơng
ứng. Chứng minh rằng nếu độ dài các đoạn thẳng AA; BB; CCkhông lớn hơn 1thì
diện tích tam giác không lớn hơn
3
1
H ớng dẫn:

; d
c
là khoảng cách từ đó tới
các cạnh tam giác. với vị trí nào của O thì tíchd
a
d
b
d
c
nhỏ nhất.
H ớng dẫn:
2. Diện tích tam giác ABC bằng1. Giả sử A, B; C thứ tự là trung điểm BC; CA;
AB. Trên các đoạn thẳng AB; BC; CA lấy các điểm K; M L tơng ứng. Hỏi diện
tích phần chung của các tam giác KML và ABC có thể nhỏ nhất bằng bao nhiêu.
H ớng dẫn:
3. Cho góc xAy và 1 điểm O nằm trong góc đó. Hãy kẻ qua O một đờng thẳng cắt ra
từ góc đó một tam giác có diện tích nhỏ nhất
H ớng dẫn:
4. Cho góc xAy. Bằng 2 đoạn có độ dài l hãy cắt ra từ góc đó 1 tứ giác có diện tích
nhỏ nhất
H ớng dẫn:
5. Diện tích hình thang bằng 1. Hỏi đờng chéo của hình thang có thể lấy giá trị nhỏ
nhất là bao nhiêu?
H ớng dẫn:
6. Trên cạnh đáy AD của hình thang ABCD cho một điểm K. Tìm trên cạnh đáy BC
một điểm M sao cho diện tích phần chung của tam giác AND và tam giác BKC lớn
nhất
H ớng dẫn:
Bất đẳng thức
1) Tồn tại hay không một tam giác có hai đờng cao lớn hơn 1m còn diện tích