MỤC LỤC
------o0o------

Chương 1...........................................................................................................................6
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN..............................................................................6
Chương 2.........................................................................................................................27
THIẾT KẾ HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ PHÂN SỐ..........................................................27
Chương 3.........................................................................................................................56
PHÂN TÍCH Ý KIẾN CỦA CHUYÊN GIA..................................................................56
VỀ HỆ THỐNG BÀI TẬP THIẾT KẾ............................................................................56
3.6. Nhận xét................................................................................................................59

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, thế giới trên đà phát triển mạnh những thành tựu khoa học và
công nghệ đã tạo ra những thuận lợi góp phần nâng cao chất lượng cuộc sống
con người. Vì vậy, yếu tố trí tuệ giữ vai trò quan trọng trong sự phát triển nền
kinh tế nước nhà.
Trong văn kiện Đại hội Đảng IX tiếp tục khẳng định “Phát triển giáo
dục và đào tạo là một trong những động lực quan trọng thúc đẩy công nghiệp
hóa, hiện đại hóa, là điều kiện để phát huy nguồn lực con người – yếu tố cơ
bản để phát triển xã hội, tăng trưởng kinh tế nhanh và bền vững”.
Đây là chủ trương hết sức đúng đắn mà Đảng coi “Giáo dục – Đào tạo
là sự nghiệp của toàn Đảng, của Nhà nước và của toàn dân”. Trong đó giáo
dục Tiểu học được coi là nền tảng của hệ thống giáo dục phổ thông.
Ở giai đoạn này, các em bước đầu tiếp cận những kiến thức tương đối
khó và mới mẻ. Các môn học ở trường Tiểu học trang bị cho học sinh một
lượng kiến thức cơ bản trong cuộc sống. Môn Toán giúp các em có nền tảng

được nhiều tác giả quan tâm, đi sâu nghiên cứu:
Các giáo trình như: “Giáo trình lý thuyết số” (2003) của Trần Diên Hiển,
Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn Ngọc; “Giáo trình Toán học 2” (2015) của Lê
Mạnh Hà,… Đa số các tài liệu này đã cho thấy được bản chất cũng như sự thể
hiện của phân số, quan hệ tương đương, các tính chất của tập hợp số hữu tỉ
không âm. Tuy nhiên, kiến thức này chỉ được trình bày với tư cách là một
phần của các chủ đề chính ở giáo trình nên chúng ta vẫn chưa hiểu được một
cách cụ thể, tường tận nhất.
Mặt khác, vấn đề dạy học phân số cũng được nhiều tác giả đi sâu tìm
hiểu và trình bày như: Đỗ Trung Hiệu với cuốn “Các bài toán điển hình lớp 4,
5” nghiên cứu các dạng toán với các bài tập điển hình ở lớp 4, 5 hay một số
đề tài nghiên cứu của sinh viên như khóa luận của Dương Thị Diệu Thay
“Các phép toán số học và ứng dụng vào việc dạy học chủ đề phân số, số thập
2


phân trong chương trình môn toán ở Tiểu học” (2012) đề cập đến phép toán số
học, tập hợp số hữu tỉ, các biện pháp ứng dụng của phép toán số học vào dạy
học chủ đề phân số, số thập phân trong chương trình Tiểu học.
Tuy nhiên, việc nghiên cứu chỉ chú ý đến tập hợp số hữu tỉ không âm, sự
thể hiện, hệ thống và phân loại các dạng bài tập của phân số, còn số lượng các
bài tập về phân số dựa vào tính chất của tập hợp số hữu tỉ chưa nhiều. Do
vậy, việc đi sâu tìm hiểu bản chất khoa học của tập hợp số hữu tỉ không âm và
sự thể hiện trong chủ đề phân số, từ đó thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở
lớp 4 là một công việc cần thiết, quan trọng và có ý nghĩa. Chúng tôi đã chọn
đề tài này để nghiên cứu góp phần củng cố kiến thức, nâng cao tính sáng tạo,
tích cực, chủ động cho học sinh.
3. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính chất của tập
hợp số hữu tỉ không âm nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và

- Phương pháp thống kê toán học: thu thập, xử lí, đánh giá số liệu.
- Phương pháp chuyên gia: đánh giá của các giáo viên về thiết kế hệ
thống bài tập qua phiếu điều tra.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng kết, rút ra những kinh
nghiệm trong quá trình nghiên cứu.
8. Giả thuyết khoa học
Nếu đề tài này thiết kế được hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào
tính chất của số hữu tỉ không âm có tính khoa học, phù hợp và hiệu quả thì sẽ
nâng cao được năng lực học tập và giảng dạy của học sinh và giáo viên.
9. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, phần Nội dung là phần trọng tâm
của đề tài gồm có 3 chương sau:
Chương 1: Một số kiến thức liên quan

4


Chương 2: Thiết kế hệ thống bài tập về phân số ở lớp 4 dựa vào tính
chất của số hữu tỉ không âm
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

5


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về tập
hợp số hữu tỉ không âm, về phân số trong chương trình Tiểu học, hệ thống hóa
và phân loại các bài tập về phân số ở lớp 4. Các nội dung trình bày trong
chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [4],…

nhân các số tự nhiên) hay (a,b)S(a,b).
Do đó: S có tính chất phản xạ.
b) Kiểm tra tính đối xứng:
Với mọi (a,b), (c,d) ∈ ℕ× ℕ*, ta có:
(a,b)S(c,d) ⇔ ad = bc
⇔ bc = ad
⇔ cb = da (tính chất giao hoán)

Suy ra: (c,d)S(a, b)
Do đó: S có tính chất đối xứng.
c) Kiểm tra tính bắc cầu:
Với mọi (a,b), (c,d), (e,f) ∈ ℕ× ℕ , ta có:
*

Nếu (a,b)S(c,d) thì suy ra ad = bc và (c,d)S(e,f) thì suy ra cf = de
Từ đó ta suy ra: adcf = bcde
+ Nếu c = 0 thì a = 0 hoặc e = 0 suy ra af = be = 0
+ Nếu c ≠ 0 thì adcf = bcde ⇔ af = be
Do đó: (a,b)S(e,f)
Vậy, S là một quan hệ tương đương trên tập ℕ× ℕ*.
1.1.2.2.

Tập số hữu tỉ không âm

Quan hệ tương đương S trên tập ℕ× ℕ* sẽ xác định trên tập hợp ℕ× ℕ*
các lớp tương đương và tập hợp các lớp tương đương đó gọi là tập thương. Kí
hiệu là ℚ+ = (ℕ× ℕ*)/S và tập thương của ℕ× ℕ* theo quan hệ tương đương S
và được gọi là tập các số hữu tỉ không âm. Mỗi phần tử của tập ℚ+ là một số
hữu tỉ không âm.


≠ .
≤
b d
b d

b) Tính chất của quan hệ thứ tự:


Quan hệ thứ tự xác định như định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự

toàn phần trong ℚ+.
- Tính chất phản xạ:
Với mọi

a a
a c
, ∈ ℚ+ ta luôn có: ab ≤ ba hay ≤
b d
b b

- Tính chất phản xứng:
Với mọi

a c
a c
c a
, ∈ ℚ+, ta có: ≤ ⇔ ad ≤ bc và ≤ ⇔ cb ≤ da
b d
d b
b d

= ⇒ ≤
b f
b f

- Tính chất toàn phần:

8


Từ tính toàn phần của quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên ta suy ra rằng:
chỉ xảy ra một và chỉ một trong ba quan hệ ab < bc hoặc ad = bc hoặc ad > bc .
Điều này chứng tỏ rằng cũng chỉ xảy ra một trong ba quan hệ

a c
< hoặc
b d

a c
a c
= hoặc > .
b d
b d


Tiền đề Acsimet:

* Định lí: Với mọi x, y ∈ ℚ, nếu x > 0 thì tồn tại n∈ ℕ sao cho nx > y.
Chứng minh: Nếu y ≤ 0 đặt n = 1 thì nx = x > y
Nếu y > 0 đặt x = a và y = c
b

iii ) xy = x . y


Tính đơn điệu:

- Quan hệ thứ tự “ ≤ ” tương thích với phép toán cộng trên tập ℚ+, nghĩa là:
Với mọi

a e c e
a c
a c
, ∈ ℚ+, ta có: ≤ ⇔ + ≤ +
b f d f
b d
b d

Từ tính chất này ta được các kết quả sau:

9


+ Với mọi

a c
a a c
, ∈ ℚ+, ta luôn có: ≤ +
b d
b b d

+ Với mọi

, , ∈ ℚ+, nếu ≤ và
> 0 thì . ≤ .
f
b d f
b f d f
b d

+ Với mọi a , c , e ∈ ℚ+, nếu a ≤ c và e < 0 thì a . e ≥ c . e
b d f

+ Với mọi


b

d

f

b f

d f

a c e
e
a e c e
a c
, , ∈ ℚ+, nếu ≤ và
= 0 thì . = .
b d f

2

Như vậy giữa hai số hữu tỉ không âm phân biệt bất kì bao giờ cũng tồn
tại vô số hữu tỉ không âm xen giữa chúng. Đây là sự khác biệt căn bản giữa
tập số hữu tỉ không âm (thì trù mật) và tập số tự nhiên (thì rời rạc).

10


1.1.3. Các phép toán trên ℚ
1.1.3.1.
Phép cộng
a) Định nghĩa:
Cho x, y là hai số hữu tỉ không âm tùy ý. Khi đó, x và y là các lớp tương
đương nên ta chọn cho chúng lần lượt các phần tử đại diện là (a, b) và (c, d ) ∈
ℕ× ℕ*. Ta định nghĩa phép cộng trên ℚ+ như sau:
+: ℚ+ × ℚ+ → ℚ+
( x, y )



x+ y

Sao cho: x + y = (a, b) + (c, d ) = (ad + bc, bd )
b) Nhận xét:
Định nghĩa phép toán cộng nói trên không phụ thuộc vào việc lựa chọn
các phần tử đại diện.
c) Định lí về tính chất phép toán cộng:
Tập hợp tất cả các số hữu tỉ không âm cùng với phép toán cộng là một
nhóm aben. Nghĩa là phép cộng trên ℚ+ thỏa mãn các tính chất:

x×y

Sao cho: x × y = (a, b) × (c, d ) = (ac, bd )
b) Nhận xét:
Định nghĩa phép toán nhân nói trên không phụ thuộc vào việc lựa chọn
các phần tử đại diện.
c) Định lí về tính chất phép toán nhân:
Tập hợp tất cả các số hữu tỉ dương (ℚ+\{0}) cùng với phép toán nhân là
một nhóm aben. Nghĩa là phép nhân trên ℚ+\{0} thỏa mãn các tính chất:
(i)Tính chất giao hoán:
Với mọi x, y ∈ ℚ+\{0} thì x × y = y × x
(ii) Tính chất kết hợp:
Với mọi x, y, z ∈ ℚ+\{0} thì ( x × y ) × z = x × ( y × z )
(iii) Có phần tử đơn vị là (1,1) để cho:
Với mọi x = (a, b) ∈ ℚ+\{0}, ta có: (a, b) × (1,1) = (c, d )
(iv) Với mọi x = (a, b) ∈ ℚ+\{0} luôn có phần tử nghịch đảo là:
(b, a ) ∈ ℚ+\{0} sao cho: (a, b) × (b, a ) = (ab, ba ) = (1,1)

Ngoài ra, trên ℚ+ phép nhân phân phối 2 phía đối với phép cộng,
nghĩa là:
Với mọi x, y, z ∈ ℚ+ ta luôn có: x( y + z ) = xy + xz và ( x + y ) z = xz + yz


Nhận xét chung về phép cộng và phép nhân:

a) Xét ánh xạ f: Ν → ℚ+
a  f(a) = (a,1)
Dễ thấy, f là đơn ánh; hơn nữa f bảo toàn các phép toán cộng và nhân.

12

Phép chia

a) Định nghĩa:
Cho x và y là hai số hữu tỉ không âm tùy ý, y ≠ 0, ta nói thương của x và
x
y, kí hiệu x : y hay
là một số hữu tỉ được xác định bởi tích của x với số
y

nghịch đảo của y.
13


x: y =

x
= x. y −1
y

- Vì mọi số hữu tỉ khác 0 luôn có phần tử nghịch đảo nên phép chia một số
hữu tỉ không âm cho một số hữu tỉ dương luôn thực hiện được.
- Theo định nghĩa trên, chọn cho x, y lần lượt các phần tử đại diện là (a, b) và
(c, d ) . Khi đó ta có:

x : y = ( a, b) : (c, d ).(d , c) = (ad , bc)

1.2. Phân số trong chương trình môn Toán trường Tiểu học
Nội dung phân số được đưa vào môn Toán trường Tiểu học tương đối
hoàn chỉnh, bao gồm: hình thành khái niệm, quan hệ so sánh, bốn phép tính
cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia) và tính chất của bốn phép tính trên phân số.

Như vậy, hai phân số bằng nhau khi chúng biểu diễn cùng một số hữu tỉ không
âm. Nghĩa là:

a c
⇔ ad = bc.
=
b d

14


1.2.2. Quan hệ so sánh
Quan hệ so sánh trên các phân số ở Tiểu học gồm hai dạng: “so sánh
bằng” (hai phân số bằng nhau) và “so sánh hơn” (phân số này nhỏ hơn phân
số kia).
Bằng những ví dụ trực quan, sách giáo khoa đã hình thành cho học sinh
khái niệm phân số bằng nhau. Đồng thời sách giáo khoa cũng giới thiệu cho
học sinh một quy tắc, để dựa vào đó các em có thể nhận biết hai phân số bằng
nhau hay không bằng nhau. Quy tắc đó phát biểu như sau:
Nếu ta nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một
số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.
Quy tắc trên đây là sơ cở để học sinh thực hiện phép rút gọn phân số.
Khi hai phân số bằng nhau, để nhận biết phân số nào lớn hơn, học sinh
dựa vào quy tắc sau:
Trong hai phân số có cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số của hai phân số
đó rồi so sánh cả tử số với nhau (tử số nào lớn hơn thì phân số tương ứng sẽ
lớn hơn).
Đặc biệt, nhờ quy tắc này học sinh nhận biết được khi nào một phân số
nhỏ hơn, bằng hay lớn hơn 1.
1.2.3. Các phép toán trên phân số

)
b d
bd
7 8 56 56
56
56

15


Trong thực tế nếu b và d có ước chung, thay vì tính tích b và d ta tìm
mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số đã cho (BCNN của b và d).
- Quy tắc thực hành phép cộng phân số:
+ Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng tử số với tử số và giữ
nguyên mẫu số.
+ Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, trước hết ta quy đồng mẫu số rồi
cộng tử số với tử số và giữ nguyên mẫu số đã quy đồng.
1.2.3.2.

Phép trừ

- Trừ hai phân số cùng mẫu
a c a−c
7 5 7−5 2
− =
= )
(Ví dụ: − =
b b
b
11 11

3 5 3 × 5 15
× =
=
(Ví dụ: × =
)
b d bd
4 7 4 × 7 28

Với mọi số nguyên k tùy ý, ta có:
k×

a k a ka
= × =
b 1 b b

- Quy tắc thực hành nhân phân số:
Muốn nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với
mẫu số.

16


1.2.3.4.

Phép chia

- Chia hai phân số:
a c a d ad d
c
: = × =

- Tính chất kết hợp:  +  + = +  + 
b

d

n

b

d

n

Muốn cộng (hoặc nhân hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể cộng
(hoặc nhân) phân số thứ nhất với tổng (hoặc tích) của hai phân số còn lại.
- Tính chất phân phối:

a  c m a c a m
× +  = × + ×
b d n  b d b n

Muốn nhân một tổng của hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân
từng phân số của tổng với phân số thứ ba, rồi cộng hai kết quả với nhau.
a a.c
=
với c ∈ ℕ*
b b.c
a a:c
- Chia với một số: =
với c ∈ ℕ*

có tử số là 5, mẫu số là 6.
6

Mẫu số là số tự nhiên viết dưới gạch ngang. Mẫu số cho biết hình tròn được
chia thành 6 phần bằng nhau.
Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Tử số cho biết 5 phần bằng nhau đã
được tô màu.


Nhận xét:

- Mỗi phân số có tử số và mẫu số. Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang.
Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch ngang.
- Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành
một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia.
- Phân số có tử số lớn hơn mẫu số, phân số đó lớn hơn 1.
- Phân số có tử số bằng mẫu số, phân số đó bằng 1.
- Phân số có tử số bé hơn mẫu số, phân số đó bé hơn 1.


Bài tập:

Bài 1: Viết các phân số: (bài 3 – trang 107)
a) Hai phần năm;
b) Mười một phần mười hai;
c) Bốn phần chín;
d) Chín phần mười;
e) Năm mươi hai phần tám mươi tư.
Bài 2: Viết theo mẫu: (bài 2 – trang 107)



Mẫu số

6

11

Bài 3: Viết thương của phép chia sau dưới dạng phân số: (bài 1 – trang 108)
7 : 9; 5 : 8; 6 : 19; 1 : 3.
Bài 4: Trong các phân số

3 9 7 6 19 24
; ; ; ; ; . (bài 3 – trang 110)
4 14 5 10 17 24

a) Phân số nào bé hơn 1?
b) Phân số nào bằng 1?
c) Phân số nào lớn hơn 1?
1.3.2. Các bài toán về so sánh phân số
1.3.2.1.
Phân số bằng nhau
 Quy tắc:
- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên
khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
- Nếu nhân cả từ số và mẫu số của một phân số cùng chia hết cho một số
tự nhiên khác 0 thì sau khi chia ta được một phân số bằng phân số đã cho.


Bài tập:


1.3.2.2.


Rút gọn phân số
Quy tắc:

- Khi rút gọn phân số ta làm như sau:
+ Xem xét tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.
+ Chia cả tử số và mẫu số cho số đó.
Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.
Ví dụ: Rút gọn phân số

6
8

Ta thấy: 6 và 8 đều chia hết cho 2, nên:
Vậy

6 6:2 3
=
=
8 8:2 4

3
3
không thể rút gọn được nữa. Ta nói rằng phân số
là phân số tối
4
4


1 4 8 30 72
; ; : (bài 2 – trang 114)
3 7 12 36 73

Bài 3: Trong các phân số: ; ;

a) Phân số nào tối giản? Vì sao?
b) Phân số nào rút gọn được? Hãy rút gọn phân số đó.
1.3.2.3.


So sánh hai phân số cùng mẫu
Quy tắc:

Trong hai phân số cùng mẫu số:
- Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
- Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
- Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.

20




Bài tập:

Bài 1: So sánh hai phân số: (bài 1 – trang 119)
a) 3 và 5
7


5 5 5

b)

8 5 7
; ;
9 9 9

1.3.2.4.


So sánh hai phân số khác mẫu
Quy tắc:

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai
phân số đó, rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.
Ví dụ: So sánh hai phân số

2
3
và
3
4

Ta làm như sau:
- Quy đồng mẫu số hai phân số
2 2× 4 8
=
= ;
3 3 × 4 12


Bài 1: Rút gọn rồi so sánh hai phân số: (bài 2 – trang 122)
a) 6 và 4
10

b) 3 và 6

5

4

12

Bài 2: So sánh phân số bằng hai cách: (bài 2 – Luyện tập – trang 122)
a)

8
7
và
7
8

b)

9
5
và
5
8




Bài tập:

Bài 1: Tính: (bài 1 – trang 126)
a)

2 3
+ ;
5 5

b)

3 5
+ ;
4 4

c)

3 7
+ ;
8 8

d)

35
7
+
.
525 25

+ ;
15 5

b)

4 18
+
;
6 27

c)

15 6
+ .
25 21

1.3.3.2.


Phép trừ phân số (cùng mẫu, khác mẫu)
Quy tắc:

- Muốn trừ hai phân số cùng mẫu số, ta trừ mẫu số của phân số thứ nhất
cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.
- Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số,
rồi trừ hai phân số đó.


Bài tập:


a)

2 3
− ;
3 9

b)

7 15
−
;
5 25

c)

3 4
− ;
2 8

d)

11 6
− .
4 8

1.3.3.3.


Phép nhân phân số
Quy tắc:

8 7

Bài 2: Rút gọn rồi tính: (bài 2 – trang 133)
a)

2 7
× ;
6 5

b)

11 5
× ;
9 10

c)

3 6
× .
9 8

Bài 3: Tính rồi so sánh kết quả: (bài 3 – Luyện tập – trang 133)
2
2 2 2
× 3 và + +
5
5 5 5
1.3.3.4.




9 3
: .
8 4
1 1
: .
5 10

Bài 3: Tìm x: (bài 2 – Luyện tập – trang 136)
a)

3
4
×x=
5
7

b)

1
1
:x=
8
5

23


1.3.4. Các bài toán có lời văn điển hình
1.3.4.1.

(bài 2 – trang 47)
Bài 3: Hai phân xưởng làm được 1200 sản phẩm. Phân xưởng thứ nhất
làm được ít hơn phân xưởng thứ hai 120 sản phẩm. Hỏi mỗi phân xưởng làm
được bao nhiêu sản phẩm? (bài 4 – Luyện tập – trang 48)
1.3.4.2.

Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó

24