SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN HUẾ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
NĂM HỌC 2017-2018
Khóa ngày : 02/6/2017
Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TOÁN)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1,5 điểm)
a) Cho các biểu thức P (x ) 
thỏa mãn

9x
1

, Q(x ) 
x x 3 x

x 1
x

với x  0. Tìm số nguyên x nhỏ nhất

P (x ) 1
 .
Q(x ) 2

b) Tính giá trị của biểu thức F 


a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp.
b) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên tia Ct.
c) Chứng minh

HA2
MD

.
MC
HC 2

Câu 5: (2,0 điểm)
a) Cho a, b, c là các số dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện ab  bc  ac  1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức E 

a2
b2
c2


.
a b b c c a

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n 2  3n là một số chính phương.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


ĐÁP ÁN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017 – 2018
Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2017

x
x
x 3 x





P (x ) 1  3 x  x
x 1 1 3 x x
x
1 3 x x

:

.

x
x
Q(x )
x
x x
x x

P (x ) 1
1 3 x x
1
 
  2  6 x  2x  x  x  3x  5 x  2  0
Q(x ) 2





2 5 3

2

 2 28  10 3  5 

 56  19 3 


5   10 5  3   20
38 5  3   4112
3 5
28  10 3   50  10 3  20



 5 3 5


3

38 5  3  4112
2

3922  38 3
 56  19 3  1961  19 3  2017 .

 Lấy phương trình 1  3 , vế theo vế ta được: x 3  y 3  3x 2  3x  6y 2  12y  9



 



 x 3  3x 2  3x  1  y 3  6y 2  12y  8  0
3

3

 x  1  y  2  0  x  1  2  y  x  y  3 .
 x  3  y.
2

 Thay x  3  y vào phương trình 2 ta được: 3  y   2y 2  y  3  4y  0
y  1  x  2
.
3y 2  9y  6  0  
y  2  x  1
 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 1;2; 2;1.
Câu 3.
Điều kiện: x  .
Đặt t  x 2  1  1  x 2  t 2  1, phương trình (1) trở thành:
t 2  1  2(m  1)t  m 2  m  2  0  t 2  2(m  1)t  m 2  m  3  0

(2)





4
4



m 
m



3
m

4

0



3
3



(*)  

(t1  1)  (t2  1)  0  




2
1
2
 1
12
m  m  3  2(m 1)  1  0









m0




4





m 









(
1)(
4)
0
m
m





2


m  1






m

đường tròn đường kính OM . Vậy tứ giác MAIB nội tiếp.
b) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên tia Ct .
  ODP
  900. Suy ra tứ giác
 Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại C và tại D là P . Ta có: OCP
OCPD nội tiếp đường tròn đường kính OP .
MH
MC
  OMD
  CHOD nội tiếp.
và CMH
 Do MH .MO  MA2  MC .MD 

MD
MO
  900 nên 3
  900 mà OHB
 O, H ,C , P , D cùng thuộc đường tròn đường kính OP  OHP
điểm A, B, P thẳng hàng.
 Vậy khi M di động trên tia Ct thì AB luôn đi qua điểm P cố định.

HA2
MD

.
MC
HC 2
Ta có: MH .MO  MC .MD (câu b)
MH
HC


HA  MH .OH



HA2
MH .OH .OM 2
MH .OH .OM 2
MH .OM
MC .MD
MD

.





2
2
2
2
2
2
MC
HC
MC .OA
MC .OH .OM
MC
MC




b2
a c
b2 a  c
b2
a c

2
.
b 
b 
.
a c
4
a c
4
a c
4



c2
a b
c2 a  b
c2
a b
2
.

1
1
  a  b  c
a b c  .

2
3
 ab  bc  ac  1



Do đó:

Vậy E min

b) Giả sử n 2  3n  m 2  m 2  n 2  3n  m  n m  n   3n.
Đặt m  n  3k , suy ra m  n  3n k , mà m  n  m  n  3n k  3k  n  2k  n  2k  1.





 Xét n  2k  1 thì 2n  m  n   m  n   3n k  3k  3k 3n 2k  1  2.3k
n  1
.
 n  3k  2k  1  k  0;1  
n  3
 Xét n  2k  2  n  k  2  k .

