MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với
AB. Lấy C trên Ax, D trên tia By sao cho
·
COD
= 90
0
.
a/ Chứng minh CD = AC + BD
b/ Kẻ OM
⊥
CD tại M, gọi N là giao điểm AD với BC. Chứng minh MN//AC
(Đề thi HSG quận Tân Bình 1995 – 1996)
Giải:
a/ Chứng minh CD = AC + BD
Nối CO cắt DB tại E. Xét
∆
ACO và
∆
BOE có:
·
·
OAC OBE=
( = 90
0
);
·
·
AOC BOE=
(đđ); OA = OB (gt)
=>

ND MD
=
=> MN//AC
Bài 2: Cho
∆
ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác góc ACB (D thuộc AB) qua D kẽ
đường vuông góc với CD; đường này cắt đường thẳng CB tại E. Chứng minh BD = 1/2EC
(Đề thi HSG quận 1, 95 – 96)
Giải: Gọi K là trung điểm EC. Tam giác vuông EDC vuông tại D có
KD là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DK =
EC
2
và DK = KC
Vậy tam giác KDC cân tại K =>
¶
¶
1 2
D C=
Mà
¶
¶
1 2
C C=
(gt) =>
¶
¶
¶
1 1 2
D C C= =
Ta có:

= 30
0
. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD.
Chứng minh AD
2
= AB
2
+ AC
2
(Đề thi HSG quận 6, 97 – 98)
Giải: Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chưa điểm B vẽ tia Ax
sao cho
·
xAC
= 60
0
Trên tia Ax lấy E sao cho AE = AC =>
∆
AEC đều
Ta có:
·
·
·
BAE BAC CAE= +
= 30
0
+ 60
0
= 90
0

ACD và
∆
ECB có:
·
·
BCE ACD=
; AC = CE; CD = CB =>
∆
ACD =
∆
ECB (c-g-c)
=> DA = BE (2). Từ (1) và (2) suy ra: AD
2
= AB
2
+ AC
2
A BO
C
D
N
M
E
A
B
C
K
D
1 1
2

Gọi F là giao điểm của AE và CD, ta có:
·
·
AEB DEF=
(đđ) và
·
·
EAB BDC=
(
∆
ABE =
∆
DBC)
=>
· ·
·
·
AEB EAB DEF BDC+ = +
Mà
· ·
AEB EAB+
= 90
0
=>
·
·
DEF BDC+
= 90
0
=>

= S
DBC
=> S
ABE
+ S
DBC
= 2S
ABE
2S
ABE
= 2.1/2AB.BE = AB.BE = AB.BC
Vì AB > 0; Bc > 0 mà tổng AB + BC = AC = m (không đổi)
nên tích AB.BC đạt giá trò lớn nhất <=> AB = BC = m/2 <=> B là trung điểm AC.
Vậy max(S
ABE
+ S
DBC
) =
m m
.
2 2
=
2
m
4
(đvdt) <=> B là trung điểm của đoạn AB
Bài 5: Trên cạnh AB của hình vuông ABCD, người ta lấy điểm E tuỳ ý. Tia phân giác của góc CDE cắt BC
tại K. Chứng minh AE + KC = DE
Giải: Trên tia đối của tia AB lấy I sao cho CK = AI
=>

¶
2
D
+
·
EDA
=
¶
3
D
+
·
EDA
=
·
EDI
=>
·
EID
=
·
EDI
=>
∆
EDI cân tại E => ED = EI = EA + AI = EA + CK
Bài 6: Cho
∆
ABC vng tại A. Về phía ngoài của tam giác, ta vẽ các hình vuông ABDE và ACGH.
a/ Chứng tỏ tứ giác BCHE là hình thang cân
b/ Kẻ đường cao AH

2 3
Mặt khác ta có: EA = AB; AC = AH
Nên: EC + AC = AB + AH hay EC = BH
=> Tứ giác BCHE là hình thang cân
b/ Chứng tỏ các đường thẳng AH
1
, DE, GH đồng quy.
Gọi P là giao điểm của DE và HG => AEPH là hình chữ nhật
Gọi O là giao điểm của AH
1
với EH. Vẽ HQ
⊥
AO, EK
⊥
AO
Xét
∆
ABH
1
và
∆
AEK có:
·
1
AH B
=
·
AEK
= 90
0

OEK và
∆
OHQ vuông có: EK = HQ;
·
KEO
=
·
QHO (so le trong) =>
∆
OEK =
∆
OHQ
=> OE = OH => O là trung điểm của EH: Vậy O là trung điểm AP (AEPH là hình chữ nhật)
=> P thuộc AO nên P thuộc AH
1
Vậy 3 đường thẳng AH
1
, DE, GH đồng quy tại một điểm.
Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD, kẽ BH vuông góc với AC tại H. Gọi M và K lần lượt là trung điểm của AH
và CD. Chứng minh BM
⊥
MK
Giải: Gọi N là trung điểm BH; => MN là đường trung bình của
∆
ABH
=> MN//AB và MN = 1/2AB
Mà AB
⊥
BC => MN
⊥

BDC
=
Tứ giác HC’AB’ có tổng bốn góc là 360
0
=>
·
C'AB'
bù với
·
C'HB'
;
Mà
·
C'HB'
=
·
BHC
(đđ). Vậy
·
BDC
bù với
·
C'AB'
hay
·
BDC
và
·
BAC
bù nhau.

AH (T/c hình chiếu và đường xiên)
A
B
C
D
E
P
H G
O
Q
K
H
1
B
A
D
C
K
M
N
H
A
B
C
A’
B’
C’
H
I
D

1
kẻ C
1
D//AA
1
=> C
1
D = CC
1
=>
∆
DCC
1
cân tại C
1
=>
·
1
C DC
=
·
1
C CD
Mà
·
1
C CD
=
·
µ

1
cũng là phân gíac của
∆
ABC
=>
·
ACB
= 2
·
1
C CD
= 2.
µ
3
B
2
= 3
µ
B
.
Ta có
·
·
µ
ACB CAB B+ +
= 180
0
=> 3
µ
B

⊥
OB và AK
⊥
OD
=>
∆
AOH là nửa tam giác đều cạnh OA => AH = 1/2OA
Tương tự: => CK = 1/2OC
Ta có S
BCD
= 1/2CK.BD = 1/4OC.DB
S
ABC
= 1/2AH.BD = 1/4OA.BD
S
ABCD
= S
BCD
+ S
ABC
= 1/4OC.DB + 1/4OA.BD = 1/4AC.BD
=> S
ABCD
= ½.12.10 = 30cm
2
Bài 12: Cho
∆
ABC có trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại O. Cho AC = b và BC = a. Tính diện
tích hình vuông có cạnh là AB
Giải: Vì AD và BE là trung tuyến nên O là trọng tâm của

=> AB
2
+
2 2
OB OA
4
+
=
2 2
a b
4
+
=>
5
4
AB
2
=
2 2
a b
4
+
=> AB
2
=
2 2
a b
5
+
Vậy diện tích của hình vuông cạnh AB là:

=>
∆
HBA =
∆
FAE => AB = AE
C
A B
C
1
A
1
D
A
B
C
D
O
H
K
A
B
C
E
D
O
A
B
E
F
M

≠
M
và E
≠
H), kẻ tia Ex vuông góc với DE và tia này cắt NH tại F. Chứng minh rằng
∆
DEF vuông cân.
Giải: Kẽ HN
⊥
DN => HK = MD, DK = MH =
DN
2
Mà MH = MD (gt) => HK = DK = KN =>
∆
KHN vuông cân tại K =>
µ
N
= 45
0
=>
·
MHN
= 135
0
Lấy I
∈
MD sao cho ME = MD => EH = ID và
∆
MEI vuông cân tại M =>
·

∆
HEF => DE = EF. Vậy
∆
DEF vuông cân t E
Bài 15: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD =
AE. Xác đònh vò trí điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Giải:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
p dụng đònh lý Pitago với
∆
ADE vuông tại A có:
DE
2
= AD
2
+ AE
2
= (a – x)
2
+ x
2
= 2x
2
– 2ax + a
2
= 2(x
2

ADE
=
1
2
AD.AE =
1
2
AD.BD =
1
2
AD(AB – AD) = –
1
2
(AD
2
– AB.AD) =
= –
1
2
(AD
2
– 2
AB
2
.AD +
2
AB
4
) +
2

AB
2
–
2
AB
8
=
3
8
AB
2
không đổi
Do đó minS
BDEC
=
3
8
AB
2
khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC
Bài 16: Cho
∆
ABC có AB = 4; AC = 7, đường trung tuyến AM = 3,5. Tính BC
Giải:
p dụng đònh lý Pitago lần lượt với các tam giác vuông ta có:
AM
2
= AH
2
+ HM

N
xI
A
D
B
C
E
A
B
C
H M