PhÇn mét

PhÇn më ®Çu
1.Lí do chọn đề tài:
Đối với học sinh nói chung thì trong hai bộ môn Đại số và Hình học thì Hình
học là bộ môn khó học hơn nhiều và là một trong những bộ môn khó học.Đặc biệt
là phần hình học không gian.Có thể nói đây là phần tổng hợp rất nhiều kiến thức về
định lượng cũng như định tính của tất cả các kiến thức về hình mà các em đã được
học ở các lớp dưới,nếu không nói là những kiến thức từ khi bắt đầu đi học( về hình
học),ngoài những yêu cầu về học tập như những môn học khác, bộ môn này còn
yêu cầu khả năng tư duy trừu tượng cao- đây là một yêu cầu mà không phải đa số
học sinh đáp ứng được,nhất là những học sinh lớp đại trà.Trong thực tế 13 năm
giảng dạy-chủ yếu đối tượng của tôi là học sinh những lớp đại trà, bản thân nhận
thấy kết quả học tập của học sinh ở phần này không cao,với những trăn trở trên con
đường giúp học sinh nâng cao chất lượng học phần này và với khả năng cho phép
của bản thân tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống bài tập cũng như phương pháp giải
của phần Bài toán khoảng cách trong hình học không gian.Đây chính là lí do chọn
đề tài này.
2.Mục đích nghiên cứu:
Víi hệ thống bài tập và câu hỏi gợi ý,hướng dẫn trong tài liệu này, giúp cho
học sinh hiểu được và nắm bài nhanh nhất, có như vậy sẽ góp phần tạo hứng thú
cho học sinh trong học tập bộ môn Hình học nói riêng và môn toán nói chung .
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh rất khó hình các mối quan hệ
hình học,do đó việc giải quyết bài toán khoảng cách trong không gian là tương đối
khó khăn,nhất là đối với những lớp đại trà vì nó rất trừu tượng.
Với mong muốn giúp các em phần nào đó tháo gỡ được những khó khăn của
bản thân để các em có cơ hội học tốt những phần hình học ở lớp 12- một nội dung
kiến thức được cho là quan trọng trong các kỳ thi.
3.Đối tượng nghiên cứu:
1


2
2.1. BC = AB + AC (Định lí Pitago)
2.2. AB 2 = BH .BC , AC 2 = CH .BC
2.3. AH 2 = BH .CH , AB. AC = AH .BC
2.4.

A

α
H

B

C

1
1
1
=
+
.[1]
2
2
AH
AB
AC 2

3)Định lí cosin:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ; b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B ; c 2 = b 2 + a 2 − 2ba cos C [2]
a

2
1
BN ; BG = 2GN ; GN = BN
3
3

A
N
G

B

C

6.2.Đường cao: Là đường xuất phát từ một đỉnh và vuông
góc với cạnh đối diện.Giao của 3 đường cao là trực tâm của tam giác.
2


6.3.Đường trung trực: Là đường vuông góc với mỗi cạnh tại trung điểm của
nó.Giao của 3 đường trung trực là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
6.4.Đường phân giác: Là đường chia góc của tam giác thành hai góc bằng
nhau.Giao của 3 đương phân giác là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.
7)Diện tích Trong hình phẳng:
7.1.Tam giác thường:
1
a) S = ah ; b) S = p( p − a)( p − b)( p − c) (Công thức Hê-rông)
2
c) S = pr (r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
abc

2
B. Hình học không gian:
B1:Quan hệ song song:
1)Hai đường thẳng song song:
a, b,c đồng quy
( P ) ∩( R ) =a 
1.1
[3]
⇒

( Q ) ∩( R ) =b 

( P ) ∩( Q ) =c 
a , b, c , p / b

[

a, b, c đôi một song song




3


1.2. ( P ) ∩ ( Q ) = ∆ 

a ⊂ ( P) ,b ⊂ ( Q) 

a // b


B2:Quan hệ vuông góc:
1)Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
1.1. a ⊥ ( P) ⇔ a ⊥ d ; ∀d ⊂ ( P) .
a // b
1.3.
⇒ ( P) ⊥ b;
(
P
)
⊥
a

( P) //(Q)
1.5.
⇒ a ⊥ (Q)
a ⊥ (Q)
a //( P)
1.7.
⇒ a ⊥ b;
b
⊥
(
P
)


a ⊥ b

⇒ a ⊥ ( P)

(α ) là AOH
thì
góc
giữa
d
và
[3]
H ∈ (α )

+Nếu 

4


3.3.Gúc gia hai mt phng ( ) v ( )
( ) ( ) = AB.

Nu FM AB, EM AB
EM ( ); FM ( )


thỡ gúc gia ( ) v ( ) l EMF [3]
2.Thc trng vn :
1/- Chơng trình tài liệu:


Đối với phân phối chơng trình của Bài 5 :Khong cỏch theo
phơng án sách giáo khoa mới chơng trình nõng cao là phù hợp giữa
thời lợng phân phối và yêu cầu kiến thức cần đạt đợc.Xong ch vi
thi lng 2 tit hc thỡ rt khú khn cho vic hc sinh nm vng kin thc.Trong

- Hạ MH ⊥ ∆ ( H ∈ ∆ ) ⇒ MH = d [ M ; ( P ) ] .
Bước 2:(Tính khoảng cách) d [ M ; ( P ) ] = MH được tính
bằng các định lí hình học sơ cấp.
Bước 3:Kết luận.[5]

M
Q

H

B.Một số ví dụ:
P
Ví dụ 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD) và SA = a 3 .Tính khoảng cách :
a)Từ A đến mp(SBC).
b)Từ I đến mp(ABCD),với I là trung điểm của SC.
c) Từ O đến mp(SBC),với O là tâm của hình vuông ABCD.[6]
Hướng dẫn
H1:Hãy chỉ ra 1 mp
chứa A và vuông
góc với mp(SBC).
- Để chỉ ra 2 mp
vuông góc với nhau
cần làm gì?
-Chứng minh
BC ⊥ ( SAB )

H2:Những đường
nào nằm trong
(SAB) mà vuông

+
= 2+
2
2
2
AK
AS
AB
a
a 3

(

⇒ AK =

I
K
H

A

)

B

2

C

J

6


Cách 2:
-So sánh

d [ S ; ( ABCD ) ] và
d [ I ; ( ABCD ) ] ?

+Tính khoảng cách từ I đến mp(ABCD):
Xét ∆SAC có IO là đường trung bình của ∆SAC nên
IO =

1
a 3
SA =
2
2

Cách 2:Vì I là trung điểm của SC nên
d [ I ; ( ABCD ) ] =

Cách 1:
-Dựng 1 mp chứa O
và song song với
(SAB)
Cách 2:
-Chứng minh

( AKC ) ⊥ (SBC )

⇒ OH =
2
2
2
2
2
4
OH
OI
OJ
a 3
a


 
 2 
2



Cách 3:Vì O là trung điểm của AC nên
d [ O; ( SBC ) ] =

1
1
a 3
d [ A; ( SBC ) ] = AK =
2
2
4

I
( SHI ) ⊥ ( SBC )
⇒ ( SHI ) ⊥ ( SBC ) theo giao tuyến SI
B
+Trong ∆SHI kẻ HK ⊥ SI tại K
a 3

2a

7


⇒ HK ⊥ (SBC ) ⇒ d [ H ; ( SBC ) ] = HK

* Tính khoảng cách từ H đến mp(SBC):
1
1
1
=
+
2
2
HK
HI
HS 2
AC.BH
a 3
+Tính HI: ∆ABC ˜ ∆IBH ⇒ IH =
=
BC


a2 + x2
2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a, ABˆ C = 60 0 .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy
(ABC) và SA tạo với đáy một góc 600 .Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC).[6]
ĐS: d [ B; ( SAC ) ] =

8a 5
9

Dạng 2:Bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,
giữa hai mặt phẳng song song.
A.Phương pháp:
1) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
a // (P): d[a;(P)] = d[M;(P)] ,với M là 1 điểm bất kỳ thuộc a
Bước 1:Tìm điểm M thuộc đường thẳng a( dựa vào giả
thiết từng bài nên chọn những điểm đặc biệt:trung điểm,
trọng tâm tam giác,…để dễ tính).
Bước 2:Tính d[M;(P)] theo dạng 1.[3]
2) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:(Q) // (P):
d[(Q);(P)] = d[M;(P)] ,với M là 1 điểm bất kỳ thuộc (Q)
= d[N;(Q)] , với N là 1 điểm bất kỳ thuộc (P)
Bước 1:Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Q) hoặc N là 1

M

a

H

CD ⊂ (SCD) nên AB //(SCD)
+d[AB;(SCD)] = d[A;(SCD)]
+Lập luận tương tự Ví
dụ 1-Dạng 1 ta được
d[A;(SCD)] = AK.
1
1
1
1
1
+ AH 2 = AS 2 + AD 2 = a 2 +
a 2

(

⇒ AH =

K

J

H

)

E

A

B


a 6
.
3

b) *Xác định khoảng cách từ DE đến mp(SBC):
 DC // EB
⇒ BCDE là hình bình
 DC = EB

+Xét tứ giác BCDE có: 

hành
⇒ DE // BC mà BC ⊂ (SBC) nên DE //(SBC)
+d[DE;(SBC)] = d[I;(SBC)],với I = AC ∩ DE.
*Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC):
+Trong ∆ SAC: kẻ AK ⊥ SC tại K, kẻ IJ ⊥ SC tại J.
+Ta có BC ⊥ AS (do AS ⊥ (ABCD)) (1)
+ Tứ giác ADCE là hình vuông ⇒ ACˆ E = 45 0 (2)
Mặt khác: ∆ BCE vuông cân tại E nên BCˆ E = 45 0 (3)
Từ (2) và (3),suy ra BCˆ A = 90 0 hay BC ⊥ AC (4)
Từ (1) và (4),suy ra BC ⊥ (SAC) mà BC ⊂ (SBC) nên
(SBC) ⊥ (SAC) theo giao tuyến SC.
+Vì AK ⊥ SC nên AK ⊥ (SBC),do đó IJ ⊥ (SBC).
+Vì I là trung điểm của AC nên
9


AC.


2

⇒ AK = a

Ví dụ 2:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông canh
a.Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh BC,A’C’,B’C’.Tính khoảng cách giữa:
a)Mp(AA’B’B) và mp(DEF).
b)B’C’ và (A’BC).[6]
Hướng dẫn
H1:Nhận xét về mối
quan hệ
giữa(AA’B’B) và
(DEF)?
Gợi ý:
-Chứng minh
(AA’B’B) //(DEF).
-Để chứng minh hai
mặt phẳng song song
cần làm gì?(Chỉ ra
trong mp(DEF) có hai
đường thẳng cắt nhau
và cùng song song với
(AA’B’B)).

Lời giải chi tiết
a) *Xác định khoảng cách giữa
B
A
(AA’B’B) và (DEF):
D

IJ =

b) *Xác định khoảng cách từ B’C’ đến mp(A’BC):
+Vì B’C’ // BC ⊂ (A’BC) nên B’C’ // (A’BC).
H1:Hãy dựng một mặt + d[B’C’; (A’BC)] = d[F; (A’BC)]
phẳng chứa F và
+Ta có BC ⊥ DF(3)
vuông góc với
BC ⊥ A’D(4) (vì A’D là đường trung tuyến xuất
(A’BC)]?
phát từ đỉnh tam giác cân A’BC).
Gợi ý:
Từ (3) và (4),suy ra BC ⊥ (A’DF) ⇒ (A’BC) ⊥ (A’DF)
-Nhận xét về quan hệ
theo giao tuyến A’D.
của FD và BC;A’D và +Kẻ FK ⊥ A’D tại K ⇒ FK ⊥ (A’BC)
BC?
hay d[F; (A’BC)] = FK
*Tính khoảng cách từ B’C’ đến mp(A’BC):
+Xét ∆ DFA’ vuông tại F có:
10


1
FK 2

=

1
FD 2

.
7

C.Bài tập tương tự:
1) Cho hình chóp S.ABC,có đáy là tam giác vuông tại C, với CA = a, CB = b,
SA = h và SA ⊥ (ABC).Gọi D,M lần lượt là trung điểm của AB,AC .Tính khoảng
cách giữa BC và mp(SMD).[6] ĐS: d[BC; (SMD)] =

ab
4h 2 + a 2

.

2) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a và có diện tích
a2 5
S=
. Tính khoảng cách giữa hai mp(AA’B’B) và mp(CC’D’D).[5] ĐS:
4
a 5
d=
4

3) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A và
2a = 2AC = AB. Tính khoảng cách giữa:
a)BB’ và (ACC’A’).
ĐS: d[BB’;(ACC’A’)] = 2a.
b)AA’ và (BCC’B’). [6]

ĐS: d[AA’;(BCC’B’)] =



a

j

I

kb

J

11


Trường hợp 2(Tổng quát):
b
Bước 1: Dựng mp(P) vuông góc với a tại I’,tìm hình
a
chiếu vuông góc của b trên (P) là b’.
J
I
Bước 2: Trong mp(P) kẻ I’J’vuông góc với b’ (J’ ∈ b’).
Bước 3:Dựng J’I // a (J ∈ b).
Bước 4: Dựng IJ // I’J’ (I ∈ a) và lập luận để chỉ ra IJ
k
b'
là đoạn vuông góc chung của a và b.[5]
I'
Chú ý:
J'

= d[M;(A’BC)](1)
O
- Mặt phẳng song
+(ABB’A’) ⊥ (A’BC) (vì BC ⊥ (ABB’A’))
song với MN cần
+ Từ M kẻ MH ⊥ BA’ tại H
⇒ MH ⊥ (BCA’) hay d[M;(A’BC)] = MH.
thỏa mãn những
B'
điều kiện gì?
*Tính khoảng cách giữa A’C và MN:
D'
C'
-Hãy chỉ ra một số
+Gọi O = AB’ ∩ A’B.
1
1
đường song song
2
+Xét ∆ ABO: MH = AO = AB’ =
với MN,lưu ý đến
2
4
4
những đường chứa
2
Vậy d(MN;AB’) =
điểm A’ hoặc C.
4


BH
BA
BM
BN 2

Lời giải chi tiết
*Xác định khoảng cách giữa AM
A
C
và B’C:
M
+Gọi N là trung điểm của BB’,khi
B
Đó MN // B’C(vì MN là đường
a 2
trung bình của ∆ BCB’).Do đó,
B’C // (AMN)
N
C'
+Do đó d(AM;B’C) = d[B’C;(AMN)] A'
= d[C;(AMN)]
= d[B;(AMN)]
B'
(vì M là trung điểm của BC)
+Gọi H là hình chiếu của B trên (AMN).
⇒ d[B;(AMN)] =BH.
*Tính khoảng cách giữa AM và B’C:
Vì ABMN là tứ diện vuông tại B nên ta có:
1
1

2
4

3) (Đề khối B - 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD,cạnh đáy bằng a.Gọi E
là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA.Gọi M,N tương ứng là trung điểm
của AE và BC.
a)Chứng minh (MNF) // (SAC),với F là trung điểm của AB.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.[6]
Hướng dẫn
Lời giải chi tiết
S
H1: Để chứng minh a)Chứng minh
E
hai mặt phẳng song
(MNF) // (SAC):
song cần làm gì?
+FN // AC (FN là đường
Gợi ý:
trung bình trong ∆ ABC).
I
-Chỉ ra trong
mà AC ⊂ (SAC) nên
M
mp(MNF) có hai
FN // (SAC)(1).
đường thẳng cắt
+Mặt khác: FM // EB,mà
C
N
B

trong (SAC).

⇒ FM // (SAC) (2).
Từ (1) và (2) ⇒ (MNF) // (SAC)

b) *Xác định khoảng cách giữa MN và AC:
+Vì (MNF) // (SAC)
nên d(MN;AC) = d[(MNF);(SAC)]
= d[J; (SAC)] (với J = BD ∩ FN)
+Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có JO ⊥ AC (tính chất của hai đường chéo hình vuông)
JO ⊥ SO (tính chất đường cao của hình chóp đều)
+Do đó JO ⊥ (SAC) ,hay d[J; (SAC)] =JO.
*Tính khoảng cách giữa MN và AC:
1
1
JO = BO = BD ,mà BD là đường chéo của hình vuông
2
4
a 2
cạnh a nên BD = a 2 ,do đó JO =
.
4
a 2
Vậy d(MN;AC) =
4

4)Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc,với OA = a,OB = b,
OC = c.Gọi M là trung điểm của BC.Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng OC và AM.[4]

J
AM tại K,khi đó KH // OC.
K
+ Từ K kẻ JK ⊥ OC cắt OC
B
M'
O
tại J,khi đó KJ // OH
H
⇒ KJ ⊥AM hay KJ là đoạn
vuông góc chung của OC và
A
AM.
*Tính khoảng cách giữa OC và AM:Tính KJ
+ Theo chứng minh trên ta có tứ giác OHKJ là hình
bình hành nên KJ = OH.
14


- Tìm hình chiếu vuông
góc của điểm A trên
(OAB)?
- Tìm hình chiếu vuông
góc của điểm M trên
(OAB)?
H4:Tứ giác OHKJ là hình
gì?vì sao?

+Xét trong ∆ OM’A vuông tại O có OH là đường cao
xuất phát từ đỉnh góc vuông nên ta có:


+Với OA = a;OM’ =

Vậy d(OC;AM) =

b 2 + 4a 2

C.Bài tập tương tự:
1) (Đề khối A-2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD,đáy là hình thoi cạnh
AB = 5 ,đường chéo AC = 4, SO = 2 2 va SO vuông góc với đáy,với
O = AC ∩ BD. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính khoảng cách giữa SA và BM.
[6]
ĐS: d(SC;AM) =

2 6
.
3

2)Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính khoảng cách giữa BD và B’C’.
b) Tính khoảng cách giữa A’B và B’D.
c) Tính khoảng cách giữa B’C và CD’.
d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và
CB’ .[6]
ĐS: a) d(BD;B’C’) = a;
a 6
;
6
a 3
c) d(B’C;CD’) =

Trung bình cộng
4,8
p
0,135
p = 0,135 > 0,05, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai
nhóm TN và ĐC là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
2/- Đo lường và thu thập dữ liệu:
Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra 1 tiết môn toán Hình học 11
chương 3.
Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra 1 tiết sau khi học xong các bài tập
về chủ đề tự chọn giúp học sinh tính khoảng cách trong hình không gian lớp 11.
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài
Sau khi thực hiện dạy xong các bài học trên, chúng tôi tiến hành bài kiểm tra 1
tiết.Sau đó giáo viên tiến hành chấm bài theo đáp án đã xây dựng.
3/- Phân tích dữ liệu và bàn luận:
Bảng 2. So sánh ĐTB bài kiểm tra sau tác động
Đối chứng

Thực nghiệm

ĐTB

4,96

5,54

Độ lệch chuẩn

0,67


kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là TBC = 4,96. Độ chênh lệch
điểm số giữa hai nhóm là 0,88; Điều đó cho thấy ĐTB của hai lớp đối chứng và
thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có ĐTB cao hơn lớp đối
chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 0,86. Điều
này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn.
17


Phép kiểm chứng T- test ĐTB sau tác động của hai lớp là p = 0.00003

không sao chép nội dung của người khác.
Người thực hiện đề tài:

Hoàng Thị Lan.

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1].Sách giáo khoa Hình học 9 –Phan Đức Chính(Tổng chủ biên)-Nhà xuất bản
Giáo dục Việt Nam,2013.
[2].Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao-Đoàn Quỳnh(Tổng chủ biên)-Nhà xuất
bản Giáo dục,2008.
[3].Sách giáo khoa Hình học 11 Nâng cao-Đoàn Quỳnh(Tổng chủ biên)-Nhà xuất
bản Giáo dục,2007.
[4].Sách bài tập Hình học 11 –Nguyễn Mộng Hy(Chủ biên)-Nhà xuất bản Giáo
dục,2007.
[5].Tuyển tập 500 bài toán Hình học không gian chọn lọc .Chủ biên:Nguyễn Đức
Đồng (Chủ biên)-Nhà xuất bản Thanh Hóa,2001.
[6].Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet:
-Giáo án điện tử -thư viện Violet.
-Tuyển tập các đề thi đại học từ năm 2002 đến năm 2016.

20