Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
Lời nói đầu
Muốn giải toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản, còn phải vận
dụng thành thạo các kiến thức đó vào các bài tập từ dễ đến khó . Chúng ta thấy bài
tập thì rất nhiều, rất đa dạng, làm thế nào và làm đến đâu thì vừa. Có thể xếp các
bài toán theo những dạng chủ yếu không? Đứng trớc một bài toán có thể xẹm xét
nó thuộc dạng toán nào, vằ có phơng pháp nào giải không? Từ đó mà biết cần vận
dụng kiến thức gì và giải nó theo trình tự nào?
Các bài toán về số chính phơng là một trong những mảng kiến thức khó của
toán số học . Bởi học sinh trụng học cơ sở chỉ có khái niệm cơ bản về số chính ph-
ơng, cha có công cụ để giải vấn đề đó một cách tờng minh. Do đó tôi thiết nghĩ
mình phải tìm ra một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng cho học sinh
học toán số học, thông qua đó giúp đợc các em giải quyết đợc vấn đề này trong các
kì thi, nhất là kì thi học sính giỏi sắp tới. Qua đây mong sao các em học sinh và đội
ngũ giáo viên giảng dạy có đợc một số phơng pháp suy nghĩ để tìm cách giải các
bài toán Số chính phơng. Hy vọng vấn đề trên góp phần xây dựng một phần nền
móng toán học cấp THCS, tạo đà tốt cho các em học tiếp các chơng trình toán học
cao hơn.Đề tài này tôi đã viết rất thận trọng nhng không tránh khỏi thiếu sót, bản
thân tôi rất mong sự chỉ bảo của độc giả.

Xin chân thành cảm ơn sự góp ý của các độc giả.
Tháng 3 năm 2013
1
Kinh nghiệm năm học 2012 2013
Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
Phần I. Đặt vấn đề.
1. Cơ sở lý luận.
Toán học là một môn học cơ bản trong chơng trình phổ thông nó là nền
móng cho nhiều nghành khoa học khác. Đối với học sinh khá và giỏi môn toán,
học toán hay giải toán là yếu tố thờng nhật trong mọi hoạt động và suy nghĩ. vì
vậy vấn đề bồi dỡng cho học sinh có khả năng t duy sáng tạo, liên hoàn vận

việc giảng dạy môn số học còn nhiều mảng kiến thức khó mà học sinh cần phải
biết thêm hơn nữa nh : Các bài toán về cấu tạo số, so sánh phân số , dãy số viết theo
quy luật ,đặc biệt là các bài toán số chính phơng. Đây là dạng toán khó đối với
học sinh THCS . Học sinh rất khó hiểu khi đứng trớc dạng toán này, học sinh rất
lúng túng khi tìm ra phơng pháp giải .
Trong các vấn đề thi học sinh giỏi cũng nh các đề thi vào các trờng chuyên THPT
có rất nhiều bài toán liên quan đến số chính phơng. đối với học sinh khá giỏi nói
riêng và học sinh THCS nói chung khi giải một bài toán về số chính phơng các em
gặp rất nhiều khó khăn . Để giúp các em khắc phục đợc khó khăn đó, tôi mạnh dạn
đa ra Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng . Hy vọng nó giúp đợc
các em trong việc giải loại toán này.
3.Mục đích nghiên cứu
Với bản thân tôi là một giáo viên dạy toán bậc THCS tôi đi sâu nghiên cứu
vấn đề trên, để góp phần nhỏ trong cách định hớng , phơng pháp nhận biết , nhận
dạng từng bài toán số chính phơng và giúp cho giáo viên lựa chọn phơng pháp
hợp lí , phù hợp với từng bài, từng đối tợng học sinh để giúp cho giáo viên và học
sinh giải quyết tốt vấn đề này, nhằm mục đích góp phần đào tạo nhân lực , bồi d-
ỡng nhân tài phục vụ cho đất nớc trong thời kì công nghiệp hóa - hiện địa hóa.
4.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Cơ sở lý thuyết về số chính phơng.
- Cách vận dụng lý thuyết vào từng phơng pháp cụ thể
- Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng. Mỗi phơng pháp cần giải
quyết một số bài toán cụ thể và bài toán tơng t
5. Đối tợng nghiên cứu
Truyền đạt một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng cho học sinh
THCS
6.Thời gian nghiên cứu
Bắt đầu tháng 9 năm 2012 đến hết tháng 3 năm 2013
7.Phơng pháp nghiên cứu
+ Phơng pháp đọc sách

Chứng minh : Số chính phơng khi chia cho 4 có số d là 0 hoặc 1. Còn một số khi
chia cho 4 có số d là 2 hoặc 3 thì không phải là số chính phơng.
C M :Với a làsố nguyên, a có dạng a = 2k hoặc a = 2k + 1 ( k C Z )
Với a = 2k suy ra a
2
= 4k chia hết cho 4
Với a = 2k + 1 suy ra a
2
= 4k
2
+ 4k + 1`chia cho 4 có số d là 1
Vậy với a = 4n hoặc a = 4n + 1 suy ra a là số chính phơng
Với a = 4n + 2 hoặc a = 4n + 3 khi chia cho 4 có số d là 2 hoặc 3 nên a
không là số chính phơng
3. Một số bài toán
3.1,Phơng pháp sử dụng chữ số tận cùng
Bài toán 1 : Các tổng sau có phải là số chính phơng không
a, 3.5.7.9.11 + 3
b, 2011 + 2011
2
+ 2011
3
+ 2011
4
+ +2011
2013
c, 2010
2004
+ 2012
2007


= ( 0) + ( 6)( 8)
= ( 0) + ( 8) = ( 8)
Tổng trên có tận cùng là 8 nên tổng trên không phải là số chính phơng
Bài toán tơng tự: Các tổng (số) sau có là số chính phơng không?
a. 11 + 11
2
+11
3
+ + 11
2013
b. 2010
2013
+ 2013
2007

c. 20092010201120122013
d. 2000
2013
+ 3
2. Phơng pháp dùng tính chất chia hết
Bài toán 2 : Các tổng, số sau có phải là số chính phơng không ?
a, 5 + 5
2
+ 5
3
+ +5
2013
b, 2004
2013

+ 5
3
+ +5
2013không phải là số chính phơng
b, Xét số 2004
2013
= 2004.2004
2012
Do 2004 luôn chia hết cho 3 nhng 2004 không chia hết cho 9
suy ra 2004
2013
không phải là số chính phơng
c , 3 + 3
2
+ 3
3
+ +3
2013
( tơng tự câu a )
Bài toán 3 : Tìm số chính phơng có bốn chữ số , đợc viết bởi các chữ số 3;6;8;8
( Đề thi HSG lớp 6 phòng GD-ĐT Đức Thọ năm học 2003-2004 )
Hớng dẫn giải :
Gọi a
2
là số chính phơng cần tìm
Theo tính chất ta thấy số chính phơng không tận cùng bằng 3 ; 8 do đó a
2

Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng

Bài toán 4 : Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số
chính phơng không ?
Hớng dẫn giải
Giả sử a
2
là số chính phơng gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 .
Theo bài ra ta có a
2
= A0 hoặc a
2
= A06 hoặc a
2
= A66
Với a
2
= A0 có một chữ số 0 nên A0 không thể là số chính phơng.
Với a
2
= A06 suy ra a
2
chia hết cho 2 mà a
2
không chia hết cho 4. Vậy số A06
không thể là số chính phơng.
Với a
2
= A66 suy ra a
2

1 = (d -1)(d+1)
Do (d+1) (d -1) = 2 nên hai số này không có ớc chung là 3. Vậy một thừa số
phải là bội của 9
Mặt khác từ (**) suy ra d là số chỉ có một chữ số ( vì a < 9 hay 9a + 1 < 100 ) .Do
đó d 1 < 9 và d + 1 = 9 nên d = 8
Thay vào (**) ta có a = 7 , b = 11-7 =4
Vậy số cần tìm là n
2
= 7744 = 88
2

Bài toán tơng tự : Tìm số chính phơng có bốn chữ số:
a, Đợc viết bởi các số : 0 ; 2 ; 3 ; 4 ( ĐS : 2304 = 48
2
)
b, Đợc viết bởi các số : 0 ; 2 ; 4; 7 ( ĐS : 2704 = 52
2
)
c, Đợc viết bởi các số : 0 ; 2 ; 3 ; 5 ( ĐS: 3025 = 55
2
)
3.3 , Phơng pháp sử dụng ớc số
Bài toán 6 : Viết liên tiếp từ 1 đến 12 đợc số A = 123456789101112 . Số A có thể
có 81 ớc số đợc không ?
( Đề thi khảo sát giáo viên phòng GD-ĐT Can Lộc)
Hớng dẫn giải :
Giả sử số A có 81 ớc số, theo tính chất A là số chính phơng , vì số lợng ớc của số A
là số lẻ.
6
Kinh nghiêm năm học 2012 2013

( n + 1)
2
+11 = a
2
a
2
( n + 1)
2
= 11
( a- n -1 ) ( a + n + 1) = 11
Suy ra ( a- n -1 ) và ( a + n + 1) là ớc của 11
Do a- n -1 < a + n + 1
Nên
a - n -1 = 1
a + n +1 = 11
Suy ra a = 6 và n = 4
Vậy với n = 4 ta có n
2
+ 2n + 12 = 6
2
b. Do n ( n+ 3) = a
2
là số chính phơng
Đặt n ( n + 3) = a
2
n
2
+ 3n = a
2
4n

2
4n
2
+ 4n + 6356 = 4a
2
4n
2
+ 4n + 1 + 6355 = 4a
2
( 2a)
2
- ( 2n + 1)
2
= 6355
(2a 2n -1) (2a + 2n +1) = 6355
Suy ra: (2a 2n -1) và (2a + 2n +1) là ớc của 6355
Ta có Ư( 6355) = ( 1; 5; 31; 41; 155; 205; 1271; 6355)
Do 2a 2n 1 < 2a + 2n + 1
Nên 2a 2n 1 = 1
2a + 2n + 1 = 6355
Hoặc 2a 2n 1 = 5
2a + 2n + 1 = 1271
Hoặc 2a 2n 1 = 31
2a + 2n + 1 = 205
Hoặc 2a 2n 1 = 41
2a + 2n + 1 = 155
Giải ra ta đợc n
1
= 1588; n
2

+3a+2) +1
Đặt n = a
2
+ 3a , khi đó ta có
A = n(n+2) +1 = n
2
+ 2n + 1 = ( n+1)
2
=
= ( a
2
+ 3a + 1 )
2
Do a C N nên a
2
+ 3a + 1 C N . Suy ra A là số chính phơng
Bài toán 9 : Chứng minh rằng với các số nguyên a ; b thì
M =( a + b)(a+2b)(a+3b)(a+4b) +b
4
là số chính phơng
Hớng dẫn giải :
Ta có M =( a + b)(a+2b)(a+3b)(a+4b) +b
4
=( a + b )(a+4b)(a+2b)(a+3b) +b
4
=
= (a
2
+5ab + 4b
2

2
+5ab + 5b
2
)
2
Do a ; b C Z, nên a
2
+5ab + 5b
2
C Z . Suy ra M là số chính phơng
Bài toán 10 : Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) (k C Z)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phơng
Hớng dẫn giải :
Ta có k(k+1)(k+2) =
k (k+1)(k+2) 4
4
k (k+1)(k+2)[(k+3) (k-1)]
4
k (k+1)(k+2)[(k+3) k (k+1)(k+2)(k-1)
4 4
Suy ra
4S =1.2.3.4- 0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4 + + k (k+1)(k+2)[(k+3) - k (k+1)(k+2)(k-1)
= k (k+1)(k+2)[(k+3)
Nên 4S + 1 = k (k+1)(k+2)[(k+3) + 1 là số chính phơng (Theo bài toán 8)
Bài toán 11: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889;
Dãy số trên đợc xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các chữ số đứng trớc và
đứng sau nó . Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phơng
Hớng dẫn giải
Ta có 444 488 89 = 444 488 8 + 1
n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8

3
2
Do n C N
*
nên ( 2.10
n
+ 1 ) chia hết cho 3. Suy ra 2.10
n
+ 1) là số tự nhiên
3
Vậy các số có dạng 444 889 là số chính phơng
Bài toán tơng tự :
Chứng minh rằng các số có dạng sau là số chính phơng

9
Kinh nghiêm năm học 2012 2013
Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
a, A = 111 1 + 444 4 + 1
2n chữ số 1 n chữ số 4
b, B = 111 1 + 11 1 + 66 6 + 8
2n chữ số 1 n+1 chữ số1 n chữ số 6
c, C = 444 4 + 22 2 + 88 8 + 7
2n chữ số 4 n+1 chữ số2 n chữ số 8
3.6, Phơng pháp quy nạp
Bài toán 12`.Tổng n số lẻ đầu liền là số chính phơng
Hớng dẫn giải :
Theo bài ra ta có:
1+ 3 + 5 + + ( 2n + 1 ) = n
2


+ + n
3
= ( 1 + 2 + + n)
2
Hớng dẫn giải
Ta có 1 + 2 + 3 + 4 + + n = [n(n+1)] : 2
Với n = 1 ta có 1
3
= 1 = 1
2
( luôn đúng )
n =2 ta có 1
3
+ 2
3
= 9 = ( 1 + 2)
2
( luôn đúng)
Giã sử đẳng thức đúng với n, ta có
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + n
3
= ( 1 + 2 + 3 + + n)
2
Chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1

( k
2
+ 4k + 4)
4
( k + 1)
2
( k + 2)
2
4
[( k + 1)( k + 2)]
2

2
2
Vậy 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ + n
3
= ( 1 + 2 + + n)
2
(đfcm)
10
Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013
Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng
4. Khảo sát đối tợng:
Sau khi vận dụng một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng, tôi thấy học sinh

Với khuôn khổ bài viết chỉ nêu ra những bài toán áp dụng các kiến thức mang tính
cơ bản, trọng tâm nhất. Tôi nghĩ với ngời giải toán chúng ta luôn cần suy nghĩ tìm
tòi những cách làm hay để truyền đạt lại cho học sinh trong quá trình giảng dạy.
Với các phơng pháp giải toán trên, học sinh đợc tiếp tục khai thác sâu thêm
ở chơng trình cấp 3, với những kiến thức cơ bản ở khối THCS. Chỉ áp dụng trực tiếp
vào những bài toàn trọng tâm, cơ bản khá hay để không ngừng nâng cao chất lợng,
hiệu quả cho học sinh đại trà và đặc biệt học là sinh thi học sinh giỏi thi vào cấp 3,
thi vào các chuyên trờng ,lớp chọn Vì đây là dạng toán luôn có trong các kì thi
vào chuyên trờng, lớp chọn, bởi vậy chúng ta cần phải đầu t vào lĩnh vực mũi nhọn
đối với môn toán. Đây là điều kiện khai thác các kỹ năng hết sức quan trọng và cần
thiết của giáo viên và học sinh. Với tôi sau khi đợc đứng vào hàng ngũ những nhà
giáo dục hơn 10 năm trở lại đây tôi đợc giao nhiệm vụ giảng dạy một số lớp toán và
bồi dỡng ôn luyện cho học sinh thi vào cấp 3, vào các trờng chuyên, lớp chọn, tôi
đã áp dụng cách làm này. Tôi tin rằng kết quả thi học sinh giỏi, thi vào cấp 3 trờng
chuyên, lớp chọn của năm 2012 2013 sẽ đạt kết quả cao. Với kiến thức còn hạn
chế của bản thân, rất mong nhận đợc sự trao đổi của các đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trờng và các đồng chí trong tổ
toán đã giúp đỡ và ủng hộ tôi trong thời gian qua.
Tháng 3 năm 1013
12
Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013