SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ PHỨC CÓ
MÔ ĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT"

1


A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI NÓI ĐẦU
Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thông của nhiều nước trên thế giới, nhưng lại
là nội dung mới với học sinh trung học phổ thông ở Việt Nam, và thực sự gây không ít
khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế. Bên cạnh đó các bài toán về số phức
trong những năm gần đây không thể thiếu trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ
thông và Đại học, Cao đẳng. Đặc biệt việc giải bài toán “Tìm tập hợp các điểm trong mặt
phẳng biểu diễn số phức” không phải là bài toán quá khó đối với học sinh. Các em chỉ
cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các
phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trình đường thẳng, đường tròn,
đường Elíp,... thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán trên.Vấn đề là thông qua bài toán này
học sinh biết khai thác kiến thức cơ bản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về
bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, bài toán cực trị trong hình học,.. để từ đó giải quyết
được bài toán “Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho
trước”. Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc của
mình. Riêng bản thân, ở mối tiết dạy, ở mỗi bài dạy tôi luôn trăn trở tìm ra những phương
pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đối tượng học sinh, và tìm mọi cách để xoá
bỏ việc tiếp thu kiến thức một cách thụ động. Đồng thời nâng cao trình độ tư duy và sức

2



điểm biểu diễn z là đường thẳng có 4 cách giải; tập hợp các điểm bểu diễn số phức z là
Elíp có 3 cách giải.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Kiến thức cơ bản về số phức:
1. Một số phức là một biểu thức có dạng
mãn

i 1  1 .

x  yi ,

Ký hiệu số phức đó là z và viết

trong đó x, y là các số thực và số i thoả

z  x  yi

.

i được gọi là đơn vị ảo
x được gọi là phần thực.
y được gọi là phần ảo của số phức z = x +yi

4


Tập hợp các số phức ký hiệu là C.
2. Hai số phức bằng nhau.
Cho z = x + yi và z’ = x’ + y’i.
z = z’ 


*) Tính chất của số phức liên hợp:
(1):

zz

(2): z  z '  z  z '
(3):

z. z '  z . z '

(4): z. z =

a 2  b2

(z = a + bi )

7. Môđun của số phức.
Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu

z

là môđun của số phư z, đó là số thực không

âm được xác định như sau:
- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì
- Nếu z = a + bi, thì

z


của
z

phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:

z'
z '.z
 z.z 1  2
z
z

Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất
giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.
II.Một số kiến thức áp dụng.
1. Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực
Với 4 số thực a, b, c, d ta có: ab  cd 2  a 2  c 2 b 2  d 2 
Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc
2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
3. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên
4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và đường tròn.
5. Tính chất của hàm số lượng giác
III. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thƣờng gặp.
1.

Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0.
7


2.


z 1 i

2. z  2  2i

4.

1

z  3  5i
 2
z  1  3i

Lời giải

8


Cách 1: Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi. Khi đó:
z  2  4i  5  ( x  2)  ( y  4)i  5  ( x  2) 2  ( y  4) 2  5
 ( x  2) 2  ( y  4) 2  5 (1)

Suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2;4), bán kính

R 5

z  OM 2  x 2  y 2  ( x  2)2  ( y  4)2  4 x  8 y  20  4 x  8 y  15  4 ( x  2)  2( y  4)   25 (2) Áp
2

dụng



t 2  15  4 5t  5  t  3 5

x  1
z min  5  
 z  1  2i
y  2
x  3
z max  3 5  
 z  3  6i
y  6

9


Cách giải 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)
Đặt x  2  5 sin t, y  4  5 cost
Tacó :



x 2  y 2  2  5. sin t

  4 
2

5. cost





y

6
,
y

2
2
x

y

0



Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì OA  OM  OB Hay 5  z  3 5
Vậy:
10


x  1
z min  5  
 z  1  2i
y  2
x  3
z max  3 5  
 z  3  6i
y  6

4

M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất.
Kẻ BK  Ox , theo định lý ta lét ta có:

I

A

x
K

O

H

A

4
OI
2 5
2



BK OB 2 5  5 3
 BK  6  OK  3  z  3  6i

Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 5 cách giải trên
Đáp số:


10 5  2 5 
i,
 1 
13
13 


z  5

10 5  2 5 
i,
 1 
13
13 


Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đƣởng thẳng
( 4 cách giải)
Ví dụ2: Tìm z sao cho
1.

u   z  3  i  z  1  3i 

z

đạt giá trị nhỏ nhất.Biết số phức z thỏa mãn điều kiện sau:

là số thực.


z min  OM min  OM  (d )

Ta được M(-

2;2)  z  2  2i .
Cách giải 2. Ta có

z  x 2  y 2  x 2  4  x   2x  2   8  2 2 .
2

2

Vậy z min  2 2  x  2  y  2  z  2  2i
Cách giải 3.
Xét hàm số

z 

x 2  y 2  x 2  4  x   2 x 2  8 x  16
2

f ( x)  2 x 2  8 x  16 , f ' ( x) 

2x  4
2 x 2  8 x  16

f ' ( x)  0  x  2  z min  f ( x) min  x  2  y  2  z  2  2i

Cách giải 4: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z = x+yi.


 i
5 5

Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đƣờng Elíp
(3 cách giải)
Ví dụ 3: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.Biết số phức
z thoả mãn điều kiện:
1. z  1 

z 1  4 .

2. z  4i 

z  4i  10

3. z  2 

z2 6

Lời giải
Trong mặt phẳng Oxy .Giả sử các điểm M,

F1 , F2

lần lượt biểu số phức z, -1, 1. Suy

ra:
F1M biểu

diễn số phức z-(-1)=z+1 ; F2 M biểu diễn số phức z-1.Với


Cách giải 1: Ta có

Do

z  OM  x 2  y 2  3 

x2
4

x2 y 2
x2

1  0 
1 3  z  2
4
3
4

z min  3  z   3i

Vậy :

z max  2  z  2

Cách giải 2: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z

Khi đó:

 x2 y2

3

 

2

2

2

Từ đó ta được 3  z  2

Vậy:

z min  3  z   3i
z max  2  z  2

Cách giải 3:
Đặt x  2.sin t, y  3 cost ,
Ta có:

t  0;2 

OM 2  x 2  y 2  4 sin 2 t  3 cos2 t  3  sin 2 t

Do 0  sin 2 t  1, t  3  OM 2  4  3  z  2 .

15




TB

16

11

nghiệm
C. KẾT LUẬN
1.Kết quả thực hiện.
Qua 3 năm liên tục giảng dạy chương trình toán học 12 (2009 – 2010) , (2010 -2011) ,
(2011 – 2012), luyện thi Đại học cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường THPT
Dương Đình Nghệ, khả năng tiếp thu và vận dụng các phương pháp trên để giải các bài
tập tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất đã mang lại những kết quả đáng mừng .
+ Số học sinh hiểu bài và vận dụng giải bài tập có hiệu quả cao dần thể hiện ở số lượng
cũng như chất lượng học sinh có điểm thi vào các trường Đại học , cao đẳng tăng .
+ Đa số học sinh tỏ ra tự tin khi giải quyết các bài tập về tìm số phức có môđun lớn nhất,
nhỏ nhất khi được tiếp cận với các phương pháp giải được nêu trong sáng kiến kinh
nghiệm.
+ Học sinh có thể tự chọn cho mình một cách giải bất kỳ trong các cách giải nêu trong
sáng kiến kinh nghiệm.

17


2 . Bài học kinh nghiệm
Qua đề tài này tôi đã phân dạng và xây dựng được mmọt số phương pháp giảng dạy
cho từng dạng phù hợp với từng đối tượng học sinh. Chính điều đó sẽ thuận lợi cho giáo
viên khi dạy tiết giải bài tập trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT, cũng như luyện thi
Đại Học có tính thu hút cao .
Đề tài của tôi trên đây có thể còn mang màu sắc chủ quan, chưa hoàn thiện, do nhiều
hạn chế. Vì vậy tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến quý báu của các Thầy Cô, các bạn