Trờng thpt đề luyện thi đại học. Số 2.
bắc yên thành Môn Toán Khối A. Thời gian làm bài 180 phút
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm số
2
x (5m 2)x 2m 1
y
x 1
+ +
=

có đồ thị (C
m
).
1) Khảo sát hàm số khi m =1.
2) Tìm m để đồ thị (C
m
) có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bé
hơn
2 5
.
Câu II. (2 điểm)
1) Giải phơng trình:
3 3
sin x.sin 3x cos x.cos3x 1
8
tg x .tg x
6 3
+
=


): 2x y + 1 =0 và (d
2
): x+2y7=0
Lập phơng trình đờng thẳng qua gốc tọa độ và tạo với (d
1
), (d
2
) tam giác cân có đáy
thuộc đờng thẳng đó. Tính diện tích tam giác cân nhận đợc.
2) Tìm tọa độ trực tâm H của ABC trong không gian Oxyz biết: A(3; 0; 0),
B(0; 2; 0), C(0; 0;1).
Câu V. (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
2 2 2
S x y y z z x= + +
Biên soạn đề: Ths. Nguyễn Bá Thủy
Đáp án đề luyện thi số 2
Môn: Toán. Khối A Thời gian làm bài 180 phút.
Câu ý Nội dung Điểm
I I.1)
Với m =1 ta có hàm số:
2
x 3x 3
y
x 1
+
=

(Hs tự khảo sát)
Đồ thị:


Đặt
2
x (5m 2)x 2m 1 u
y
x 1 v
+ +
= =

, ta có các điểm CĐ và CT của đồ thị thuộc đờng
thẳng
u '
y 2x 5m 2
v'
= = +
(2)
Giả sử đồ thị hàm số có điểm CĐ là A(x
1
; y
1
) và CT là B(x
2
; y
2
), theo trên ta có:
1 1 2 2
y 2x 5m 2; y 2x 5m 2= + = +
. Từ đó:
2 2 2
1 2 1 2 1 2

Điều kiện:
cos x 0;cos x 0,tg x 0,tg x 0
6 3 6 3


+ +
ữ ữ ữ ữ

Với ĐK đó ta có:
tg x cot g x cot g x
3 2 3 6


+ = + =
ữ ữ ữ

tg x .tg x 1
6 3


+ =
ữ ữ

.
Nên (1)
3 3
1

x k ,k
6

= + Â
,
0.25
II.2)
Giải phơng trình:
2 2
x x 5 x 1 x 5
4 12.2 8 0

+ =
Điều kiện
2
x 5
. Đặt
2
x x 5
t 2

=
>0, phơng trình đã cho trở thành
2
t 2
t 6t 8 0
t 4
=

+ =

1 2
x x
0 0
1 sin x
I dx dx I I
1 cos x e 1 cos x e

= =
+ +

Xét
( )
2 2
1
x
x 2
0 0
1 dx
I dx
x
1 cos x e
e .2cos
2

= =
+

.
Đặt
x






( ) ( )
2
2
1
x x
0
0
x x
tg tg
2 2
I
e e


= +

( )
( )
( )
2 2 2
2
x x
x 2
0 0 0
x x


= = =
0.25
0.5
0.25
III.2) Từ các chữ số 0, 1, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau trong đó nhất thiết có mặt các chữ số 1 và 2
Số cần lập có dạng x=
1 2 3 4 5
a a a a a
. Ta xét các trờng hợp:
T/h1: x có chứa chữ số 0.
Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0, sau đó có
2
4
A
cách chọn 2 trong 4 vị trí còn lại cho
các chữ số 1 và 2. Tiếp theo, số cách chọn 2 trong 4 số khác 0, 1, 2 cho 2 vị trí còn lại
là
2
4
A
cách Trờng hợp này có 4.
2
4
A
.
2
4
A

có vtpt lần lợt là
( ) ( )
1 2
n 2; 1 ,n 1;2= =
uur uur
, có
1 2
n .n 0=
uur uur
nên d
1
d
2
.
Gọi I = d
1
d
2
thì I = (1; 3). Đờng thẳng đi qua O(0; 0) và tạo với d
1
và d
2
tam giác cân đỉnh
I vuông góc với phân giác của góc tạo bởi d
1
, d
2
.
Phân giác của góc tạo bởi d
1

2
IAB
1 3 1 32
A ; S IA
5 5 2 5


= = =
ữ

(đvdt)
TH2:
2
l
2
và đi qua O(0; 0) nên có phơng trình:
1
y x
3
=
.

2
cắt d
1
và d
2
tơng ứng tại A, B thì
2
IA'B'




+ = = + =

=


H có toạ độ
12 18 36
H ; ;
49 49 49

=
ữ

V
Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm GTLN của:
2 2 2
S x y y z z x= + +
Cách 1. Giả sử x y z. Ta có:

( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
S x y y z z x x y z y xyz x z y x z (1 (x z))= + + + + = + = + +
Đặt t = x+ z ta đợc

z x z x
S x y y z z x x y y z
2 2
= + + = + + +

( ) ( )
2 2
2
z x z x zx z
S x y xyz xy x z x z x(x z) y
2 2 2 2

+ + + + + + = + +
ữ3
x x z z x y z 4
S 4 y 4
2 2 2 2 3 27
+ +

+ + =
ữ ữ ữ

x x z z
y
4 2 1
S z 0, x , y
2 2 2 2