BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TRẦN THANH BÌNH

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ BÀI TOÁN CAUCHY CHO CÁC
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TP. HỒ CHÍ MINH - NĂM 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRẦN THANH BÌNH

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ BÀI TOÁN CAUCHY CHO
CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số chuyên ngành: 62 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS Nguyễn Bích Huy
PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn



5

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

11

1.1

Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Toán tử tuyến tính và chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Bài toán chỉnh và lý thuyết chỉnh hóa Tikhonov . . . . . . . . . . 13

Chương 2. Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình parabolic
15
2.1

Bài toán xác định hàm nguồn với hệ số phụ thuộc thời gian không
bị nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1

Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2


Kết quả thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3

Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Chương 4. Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic dạng phi
tuyến

63

4.1

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2

Các kết quả chính

4.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.1

Chứng minh Định lí 4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.2



: Tập hợp các hàm liên tục trên [0, T ] và nhận giá trị trên R.

C [0, 1], H

: Tập hợp các hàm liên tục trên [0, 1] và nhận giá trị trên
không gian Hilbert H .

C 1 [0, 1], H

: Tập hợp các hàm khả vi liên tục trên [0, 1] và nhận giá trị trên
không gian Hilbert H .

·,·
·
u

: Tích vô hướng trong không gian Hilbert.
H

: Chuẩn trong không gian Hilbert.
: Đạo hàm của hàm u ∈ C 1 [0, 1], H .


5

LỜI NÓI ĐẦU

Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của toán học và có nhiều ý nghĩa trong khoa học kỹ


∂u


(x, t) ∈ (0, π) × (0, T ) ,
− ∂ a (t) ∂u

∂x = F (x, t),
 ∂t ∂x
u (0, t) = u (π, t) = 0,




 u (x, 0) = 0,

(0.1)

u (x, T ) = g (x) , x ∈ (0, π) ,

trong đó a(t) > 0, a ∈ C ([0, T ]) , g ∈ L2 (0, π) là những hàm cho trước. Bài toán
xác định hàm nguồn là bài toán tìm hàm F khi biết trước các dữ liệu a(t) và
g(x). Bài toán này là không chỉnh theo nghĩa của Hadamard. Một sai số nhỏ

của dữ liệu (a, g) có thể dẫn đến sai số lớn của F . Hiện nay, đa số các kết quả
chỉ khảo sát cho trường hợp F chỉ phụ thuộc vào một biến không gian (biến x).
Các kết quả khi F phụ thuộc cả hai biến có dạng F (x, t) = ϕ(t)f (x) còn hạn chế.
Ta lược sơ qua các kết quả đã khảo sát về bài toán xác định hàm nguồn khi
F (x, t) = F (x).
• Năm 2010, Chu Li Fu và Fan Yang [43] đã dùng phương pháp Tikhonov để



t ∈ [0, 1),

(0.3)

u(x, 1) = ϕ(x).

Bài toán (0.3) đã được khảo sát nhiều gần đây bởi nhiều tác giả Đặng Đức Trọng,
Nguyễn Huy Tuấn, Phạm Hoàng Quân, Đinh Nho Hào, Nguyễn Văn Đức, Phan
Thành Nam, Rashidinia, Wang, Qian,...
• Gần đây nhất, với trường hợp toán tử A trong bài toán (0.2) không phụ thuộc

thời gian, nghĩa là A(t) ≡ A và f là hàm số thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa
phương, bài toán (0.2) trở thành

 ut + Au = f t, u(t) ,

u(1) = ϕ.

t ∈ (0, 1),

(0.4)

Bài toán (0.4) được các tác giả Đặng Đức Trọng và Nguyễn Huy Tuấn nghiên
cứu trong bài báo [35]. Trong đó, tác giả đã dùng phương pháp Quasi-reversibility
có điều chỉnh để chỉnh hóa bài toán (0.4).
• Từ những liệt kê trên, các bài toán liên quan đến phương trình parabolic đã

được khảo sát rất nhiều từ trước đến nay tuy nhiên số lượng công trình nghiên

u(0) = ϕ,

(0.5)




 u (0) = g,
t
trong đó ϕ, g là các hàm cho trước trong H.
• Đối với trường hợp tuyến tính không thuần nhất, đã có một số kết quả đã

được công bố như:
◦ Năm 2006, các tác giả Hans-Jurgen Reinhardt, Houde Han và Dinh Nho

Hao trong [15] đã đưa ra sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa của
bài toán:



∆u = f (x, y),




(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1],

u(0, y) = γ0 (y), u(1, y) = γ1 (y),

y ∈ [0, 1],




 u(0, y) = g (y), u(π, y) = g (y),
0
1

0 ≤ y ≤ 1.

(0.7)


9
Phương trình ở bài toán (0.6) và (0.7) là một dạng của phương trình Poisson, có
nhiều ứng dụng khá quan trọng trong nhiều ngành khoa học như điện từ trường,
thiên văn học, cơ chất lỏng, ... Hiện nay, có nhiều công trình khảo sát bài toán
Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính, nhưng kết quả cho trường hợp phi
tuyến vẫn còn hạn chế vì độ khó của bài toán này. Khi hàm nguồn phụ thuộc
vào u thì ta có nhiều dạng phương trình phi tuyến có nhiều ứng dụng trong thực
tiễn như
• Nếu f (u) := sin u, thì phương trình (0.5) gọi là phương trình elliptic-sine

Gordan có nhiều ứng dụng trong vật lý, cơ học,..
• Nếu f (u) := u − u3 , thì phương trình (0.5) gọi là phương trình Allen-Cahn

có nhiều ứng dụng trong vật lý, cơ học, sinh học..
Do tính thời sự của bài toán phi tuyến mà trong luận án chúng tôi tập trung
khảo sát và trình bày bài toán phi tuyến. Chúng tôi điểm sơ qua một số công
trình khảo sát về bài toán phi tuyến như sau
◦ Năm 2014, các tác giả Nguyễn Huy Tuấn, Đặng Đức Trọng, Lê Đức


Lesnic trong [37] đã xét bài toán sau với hàm nguồn phi tuyến thỏa Lipschitz
địa phương:

d2



u(z) = Au(z) + G(z, u(z)), z ∈ (0, L),

 dz 2
u(0) = f,




 du (0) = h.
dz

(0.9)


10
Các công trình trên đưa ra các phương pháp chỉnh hóa khá tốt, nhưng điều kiện
cho nghiệm chính xác u phải thuộc không gian Gevrey. Tính trơn của nghiệm
chính xác trong không gian này còn là bài toán mở. Ta thấy rằng với giả thiết
như vậy, ứng dụng của bài toán phi tuyến sẽ hạn chế. Để khắc phục nhược điểm
đã nêu, trong luận án này, chúng tôi sẽ đưa ra một phương pháp chỉnh hóa mới,
và dùng phương pháp này, chúng tôi thiết lập được sai số hội tụ khi nghiệm
chính xác chỉ cần thuộc không gian Hilbert H .

Không gian Lp (0, T ; X)

Không gian Lp (0, T ; X) gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → X với chuẩn
 T
 p1
u

= 

Lp (0,T ;X)

u(t)

p
dt
X

< ∞, ∀p ≥ 1, p ∈ N

0

Định nghĩa 1.1.2.

Không gian C m [0, T ]; X

Không gian C m [0, T ]; X là không gian gồm tất cả các hàm liên tục f : [0, T ] → X
có đạo hàm đến cấp m, tức là f , f , ..., f (m) : [0, T ] → X là các hàm liên tục.
Khi đó, C m [0, T ]; X là không gian Banach với chuẩn sau
m



< ∞.

Toán tử tuyến tính và chuỗi Fourier

Cho không gian Hilbert H với chuẩn

·

H

, tích vô hướng · , · và toán tử

A : D(A) ⊂ H −→ H là toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H

với D(A) = H , với D(A) là miền xác định của A.
Khi đó, toán tử A∗ : D(A∗ ) ⊂ H −→ H được xác định bởi
u, Av = A∗ u, v .


12
Ta nói u ∈ D(A∗ ) nếu u ∈ H và tồn tại f ∈ H sao cho
u, Av = f, v ,

∀v ∈ D(A),

trong đó
A∗ u = f.

Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu A = A∗ .


Định lý 1.2.1. Cho {φp } là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H . Khi
đó các mệnh đề sau là tương đương
i) {φp } là hệ trực chuẩn đầy đủ,
∞

ii) ∀u ∈ H : u =

u, φp φp , (khai triển chuỗi Fourier),
p=1

iii) ∀u ∈ H : u

2
H

∞

=

ξp2 , với ξp = u, φp , (đẳng thức Parseval),

p=1
∞

iv) ∀u, v ∈ H : u, v =

ξp θp , với ξp = u, φp , θp = v, φp ,
p=1


1.3

Bài toán chỉnh và lý thuyết chỉnh hóa Tikhonov

Định nghĩa 1.3.1. (Tính chỉnh và không chỉnh theo nghĩa Hadamard )
Giả sử U, V là các không gian định chuẩn và một ánh xạ K : U −→ V (tuyến tính
hoặc phi tuyến). Bài toán Ku = v gọi là chỉnh, nếu thỏa các tính chất sau
i) Tính tồn tại (existence): Với mọi v ∈ V tồn tại u ∈ U sao cho Ku = v,
ii) Tính duy nhất (uniqueness): Với mọi v ∈ V có không quá một u ∈ U sao
cho Ku = v,
iii) Tính ổn định (stability): Nghiệm u phụ thuộc liên tục vào v , nghĩa là với
mọi dãy {un } ⊂ U và Kun −→ v thì un −→ u.
Nếu bài toán không thỏa ít nhất một trong ba tính chất trên thì bài toán
đó được gọi là không chỉnh (ill-posed).
Sự chỉnh hóa, nghĩa là ta xét sự xấp xỉ giữa nghiệm chính xác (ứng với dữ
liệu chính xác) và nghiệm chỉnh hóa (ứng với dữ liệu nhiễu). Một sự chỉnh hóa
được gọi là tốt nếu sai số xấp xỉ càng nhỏ.
Định lý 1.3.1. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn và U là tập mở trong
X . Nếu K : U −→ Y compact và X vô hạn chiều thì K −1 không liên tục; nghĩa

là, phương trình Kf = g không chỉnh.


14
Định nghĩa 1.3.2. Một sơ đồ chỉnh hóa là một họ các toán tử tuyến tính, bị
chặn Rα : Y −→ X, α > 0 sao cho
lim Rα Kx = x, ∀x ∈ X.

α→0



thì
u(t) ≤ aebt

(ii) Nếu
T

u(t) ≤ a + b

u(s)ds,
t

thì
u(t) ≤ aeb(T −t)t .


15

Chương 2
BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HÀM NGUỒN CHO PHƯƠNG
TRÌNH PARABOLIC
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán tìm hàm nguồn f (x) = u(x, t) thỏa

∂u
∂
∂u


 ∂t − ∂x a (t) ∂x = ϕ (t) f (x) , (x, t) ∈ (0, π) × (0, T ) ,



Bổ đề 2.1.1. Với mọi hàm liên tục h ∈ [E1 , E2 ], ta có

k
 E k p−2k D−k 1 − e−p2 D2 T , k ≥ 0,
2
1
(φ(p, h))k ≤
 E k p−2k D−k 1 − e−D1 T k , k < 0,
1
2

∀p ∈ N.

(2.2)

(2.3)


16
Để áp dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, trước tiên, chúng ta biểu diễn
mối liên hệ giữa hàm nguồn f và giá trị cuối g thông qua phương trình toán tử,
thể hiện ở định lý sau.
2
sin px
π

Định lý 2.1.1. Chọn {φp (x)} =

là cơ sở trực chuẩn của L2 (0, π).

p=1
T

và B(t) = −

a(s)ds.
t

Chứng minh.
Bằng phương pháp tách biến và do φp (x) = −p2 φp (x), phương trình (2.1) được
đưa về phương trình vi phân dạng thường như sau
up (t) + p2 a(t)up (t) = ϕ(t) f (x), φp (x) ,

(2.5)

trong đó up (t) = u(x, t), φp (x) .
t

Đặt A(t) =

a(s)ds.
0

Nhân hai vế của phương trình (2.5) với ep
up (t)ep

2

A(t)


ϕ(t)ep

dt =

2

A(t)

f (x), φp (x) dt.

0

Do cách đặt up (t), ta có
up (0) = u(x, 0), φp (x) = 0,
up (T ) = u(x, T ), φp (x) = g(x), φp (x) .

(2.6)


17
Từ đó, ta thu được
ep

2

T
A(T )

ϕ(t)ep



g(x), φp (x) φp (x).

(2.9)

dt

0

Dẫn đến
∞

T

−p2 A(T )

g(x) =

ϕ(t)ep

e

2

A(t)

dt

0


ep

Kf (x) =

2

π
B(t)

ϕ(t)dt

f (x), φp (x) φp (x) =

k(x, ξ)f (ξ)dξ,

0

p=1

T

∞

ep

trong đó k(x, ξ) =
p=1

(2.10)



0

Chứng minh.
• Chứng minh K tuyến tính.

Với mọi f1 , f2 ∈ L2 (0, π) và λ ∈ R, ta có
π

K (f1 + λf2 ) (x) =

k(x, ξ) (f1 + λf2 ) (ξ)dξ
0

=

π

π

k(x, ξ)f1 (ξ)dξ + λ
0

= Kf1 (x) + λKf2 (x).

k(x, ξ)f2 (ξ)dξ
0


18

D2 T

∞

fp2

p4 D12

p=1

Do đó Kf ≤

B(t)

0

p=1
∞

2

≤
p=1

B22 2 B22
f = 2 f
D12 p
D1

2


ϕ(t)dt f (x), φp (x) φp (x).

0

Dễ thấy Km là toán tử hữu hạn chiều. Tương tự, ta cũng chứng minh được
Km tuyến tính và bị chặn.

Mặt khác, ta cũng có
∞

Km f − Kf

2

=

e

p2 B(t)

B22 1 − e−p

∞

≤

fp2

ϕ(t)dt


p=m+1

2

fp2

p4 D12

p=m+1

=

2

T

B22
≤
(m + 1)4 D12

∞

fp2
p=1

,

do đó
Km f − Kf ≤

π

g(x)
0

π

π

=

π

π

g(x)k(x, ξ)f (ξ)dξdx =
0

0

=

f (ξ)k(ξ, x)g(x)dxdξ
0

π

0
π



.

0

Mặt khác, vì Kf (x), g(x) = f (x), K ∗ g(x) nên
π

k(x, ξ)g(ξ)dξ − K ∗ g(x)

f (x),

= 0.

0

Chọn
π

k(x, ξ)g(ξ)dξ − K ∗ g(x) ∈ L2 (0, π).

f (x) =
0

Khi đó, ta có
π

π
∗


2
p2 B(t)

e

ϕ(t)dt

f

0
T

ep

nên suy ra σp =

2

B(t)

ϕ(t)dt là giá trị kỳ dị của K .

0

Mặt khác, do {φp (x)}p∈N∗ là cơ sở trực chuẩn trong L2 (0, π) nên
∞

T

ep

B(T )

ϕ(t)dt φm (x), φp (x) φp (x) = σp φm ,

0

do đó (σp , φp , φp ) là hệ kì dị của K .
Nhìn chung, các bài toán trên thường đặt không chỉnh. Chẳng hạn, ta xét ví dụ
sau, xét bài toán tìm hàm nguồn f thỏa

2
∂u


− ∂∂xu2 = f (x) ,

∂t


(x, t) ∈ (0, π) × (0, 1) ,

u (x, 0) = 0, u (x, 1) = 1 − e−1 sin x,




 u (0, t) = u (π, t) = 0,

x ∈ (0, π) ,
t ∈ (0, 1) .

π
=
,
m √
m π
=
2.
1 − e−m

Khi m → ∞, ta có
gm − g

L2 (0,π)

→0

fm − f

L2 (0,π)

→∞

Điều này chứng tỏ nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện
đã cho. Do đó, bài toán trên đặt không chỉnh.


21
Vì bài toán (2.4) đặt không chỉnh nên ta không thể xấp xỉ nghiệm f thông qua
toán tử ngược K −1 , do đó cần phải chỉnh hóa để xây dựng nghiệm xấp xỉ của
bài toán. Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov được ứng dụng rộng rãi cho các bài

σp2 fµ , φp + µ2 fµ , φp = σp g, φp .

Suy ra
fµ , φp =

Do đó

µ2

∞

fµ =

σp
g, φp .
+ σp2
∞

fµ , φp φp =
p=1

p=1

σp
g, φp φp .
µ2 + σp2


22
T


T

ep



B(t)

ϕ(t)dt g, φp φp .

(2.14)

0

0

p=1

2

Trường hợp dữ liệu đầu vào bị nhiễu, ta cũng có
−1

∞

2

T


Kết hợp (2.14) và (2.15), ta được
∞

φ(p, ϕ)

fµ (x) =
p=1
∞

fµε (x) =
p=1

µ2

+ (φ(p, ϕ))2

(2.16)

g(x), φp (x) φp (x),

φ(p, ϕε )
µ2 + (φ(p, ϕε ))2

(2.17)

gε (x), φp (x) φp (x),
T

ep


.

Chứng minh.
Ta có
∞

f

2

−2

T

p2 B(t)

e

=
0

p=1
∞

−2

T

=




p=1

2

0

p=1

=

4+2k

gp2+k

ϕ(t)dt

0

p=1

∞

gp2

ϕ(t)dt

0




T

ep


p=1

0

∞

T



2

B(t)

ϕ(t)dt

2
 k+2

−(k+2)

ep


2

B(t)

≤

.

gp2
p=1

2
k+2

D2k p2k
fp2
k
k
−D1 T )
p=1 B1 (1 − e
D2
B1 (1 − e−D1 T )
D2
B1 (1 − e−D1 T )

k
k+2

∞



p=1

gp2

0

2k k+2
. k
k+2

gp

∞

gp2 

ϕ(t)dt

∞

2k
k+2

k
k+2

∞

gp2

D2
f ≤
B1 (1 − e−D1 T )

k
k+2

2

M k+2 g

k
k+2

.

Ta chứng minh xong định lý.
2.1.2

Chỉnh hóa Tikhonov dưới cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm

Trong mục này, chúng tôi sẽ đưa ra đánh giá sai số cho f − fµε bằng việc chọn
một tham số chỉnh hóa thích hợp. Rõ ràng ta có
f − fµε ≤ f − fµ + fµ − fµε .

(2.18)

Để thu được đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa, ta
thực hiện đánh giá lần lượt các số hạng trong vế phải của (2.18) thông qua việc
chứng minh hai bổ đề sau: