ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A – KIẾN THỨC CHUNG
Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M  x 0 ; y 0  thuộc đồ thị hàm số:
Cho hàm số  C  : y  f  x  và điểm M  x 0 ; y 0    C  . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.
- Tính đạo hàm f '  x  . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f '  x 0 
- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y  f '  x  x  x 0   y0
Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
- Gọi    là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
- Giả sử M  x 0 ; y 0  là tiếp điểm. Khi đó x 0 thỏa mãn: f '  x 0   k (*) .
- Giải (*) tìm x 0 . Suy ra y 0  f  x 0  .
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  k  x  x 0   y0
Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho hàm số  C  : y  f  x  và điểm A  a; b  . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi
qua A.
- Gọi    là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó    : y  k  x  a   b (*)
f  x   k  x  a   b 1
- Để    là tiếp tuyến của (C)  
có nghiệm.

D. y  9 x  7.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
y '  3x 2  6 x  y '  1  9.
Vậy phương trình tiếp tuyến là : y  9  x  1  2  y  9 x  7.

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đường cong  C  : y  x 4  3 x 2  4 tại điểm A 1; 2  là
A. y  3x  5 .
B. y  2 x  4 .
C. y  2 x  4 .
D. y  2 x .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
y '  4 x3  6 x  y ' 1  2.
Vậy phương trình tiếp tuyến: y  2  x  1  2  y  2 x.

Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3x  2 tại điểm M  2;4 
A. y  3 x  10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
Ta có y   3x 2  3 .

hoành độ bằng –3 .
A. y  30 x  25 .

B. y  9 x  25 .

C. y  30 x  25 .

D. y  9 x  25 .

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
 y  3  2
, do đó phương trình tiếp tuyến là
Ta có y   3x 2  6 x nên 
 y   3  9

y  9  x  3  2  y  9 x  25 .
Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  
A. y  x  2 .
Hướng dẫn giải:

B. y   x  2 .

4
tại điểm có hoành độ x0  1 có phương trình là
x 1
C. y  x  1 .
D. y   x  3 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

2  y '  0   3.
 x  1
x0  0  y0  1.

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  3  x  0   1  y  3 x  1.
Câu 8. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  x 2  x  1 tại điểm có tung độ bằng 2
B. y  9 x  11 .
A. y  2 x .
C. y  2 x và y  2 x 

32
.
27

D. y  2 x  4 .

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
TXĐ: D   .
Gọi M 0  x0 ; y0  là tiếp điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến.
Ta có y 0  2  x03  x02  x0  1  0   x0  1  x02  1  0  x0  1 .
y   3 x 2  2 x  1  y 1  2 .

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng hai là y  2 x .
2x  4
tại điểm có tung độ bằng 3.
x4
C. 4 x  y  20  0 .
D. 4 x  y  5  0 .



B. y  9 x  5 .

C. y  9 x  5 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. y  9 x  5 .

Trang 4


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Ta có y '  3x 2  6 x .
Với x0  1  y0  4, y  1  9 .
Vậy phương trình tiếp tuyến tại  1; 4  là y  9  x  1  4  9 x  5 .
Câu 11. Cho hàm số y 

2x  4
có đồ thị là  H  . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của  H  với
x3

trục hoành là:
B. y  3 x  1.
A. y  2 x  4.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.

Câu 13. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  2 tại điểm thuộc đồ thị có
hoành độ x0 thỏa điều kiện y ''  x0   0
A. y  3 x  3 .

B. y  9 x  7 .

C. y  0 .

D. y  3 x  3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Ta có: y  x 3  3 x 2  2 .
y '  3x 2  6 x .

y ''  6 x  6 .
y ''( x0 )  0  6 x0  6  0  x0  1  y0  0 .

Tiếp tuyến tại x0  1 có phương trình là: y  f '( x0 )( x  x0 )  y0   3 x  3 .
1 3
x  2 x 2  3x  5
3
B. Song song với trục hoành.
D. Có hệ số góc bằng 1 .

Câu 14. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y 
A. Song song với đường thẳng x  1 .
C. Có hệ số góc dương.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.

9
3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Giao điểm của đồ thị và trục hoành là A  2;0  .
x2
3
1
 y 
 y  2   .
y
2
2 x 1
3
 2 x  1

x2
với trục Ox . Tiếp tuyến tại A của đồ thị
2x 1
1
C. k   .
3

D. k 

5
.
9

1

 x  5

A.

Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  4 x2  4 x  1 tại điểm A  3; 2  cắt đồ thị tại điểm thứ
hai là B . Điểm B có tọa độ là
A. B  1;0  .
B. B 1;10  .
C. B  2;33 .
D. B  2;1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
y  3x2  8x  4
Phương trình tiếp tuyến tại A  3;  2  , y  3  7 là y  7 x  19 .
 x  2; y  33
Phương trình hoành độ giao điểm x 3  4 x 2  4 x  1  7 x  19  
.
 x  3; y  2
Vậy B  2; 33 .

Câu 18. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  1 tại điểm có hoành độ x0 thỏa
2 y  x0   y  x0   15  0 là
A. y  9 x  7.
B. y  9 x  6.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Ta có: y  3 x 2  6 x và y  6 x  6.
Thay vào điều kiện đề bài ta có:

C. y  9 x.

.
D.
.
6
6
6
6
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
2x 1
Theo đề bài, ta có yM  5  M
 5  xM  2 .
xM  1
3
Ta có y  
 y   2   3 .
2
 x  1

Câu 19. Gọi M   C  : y 

Phương trình tiếp tuyến  của  C  tại M là y  3 x  11 .
11
 11 
 A  ;0  .
3
3 
Giao điểm của  với Oy : cho x  0  y  11  B  0;11 .

Giao điểm của  với Ox : cho y  0  x 

Chọn đáp án A.
1
.
y 
2
 x  1
Ta có AB 

x  0  y  1 , y  0  1 .
Phương trình tiếp tuyến y  x  1 , ta được A  0;1 , B  1;0  .
1
1
S OAB  OA.OB  .
2
2

Câu 21. Cho hàm số có đồ thị  C  : y  2 x3  3x 2  1 . Tìm trên  C  những điểm M sao cho tiếp tuyến
của  C  tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8
A. M  0;8  .

B. M  1; 4  .

C. M 1;0  .

D. M  1;8  .

Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7

Chọn đáp án D.
2x  1
I (1;2), M ( x0 ; 0 ), x0  0
x0  1
2x  4
), B (2 x0  1;2)
Có A(1; 0
x0  1
2x  4 2
2
)  40
IA2  IB 2  40  AB 2  40  2 x0  2  (2  0
x0  1

D. 2 .

  x0  12  1
 4 x0  1  40 x0  1  36  0  
 x0  2  0, y0  1
2
 x0  1  9
Vậy x0 y0  2 .
4

2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


Câu 2. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  3x 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
3 .
A. y  3x  2 .
B. y  3 .
C. y  3 x  5 .
D. y  3 x  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Ta có y  3x 2  6 x .
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình y  3  3x 2  6 x  3  x  1.
Với x  1  y 1  2 . Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  3  x  1  2  y  3 x  1 .
2x 1
, biết tiếp tuyến tại M có hệ số góc bằng 1 .
x 1
5

B. M (0;1), M ( 1;3) .
C. M (0;1), M (2;3) .
D. M  2;  .
3


Câu 3.Tìm tọa độ các điểm M trên đồ thị (C): y 
 5
A. M  3;  .
 2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
2x 1
y

 x0  2


 x0  1  1  x0  0
Vậy M (0;1), M (2;3) .
Câu 4. Cho hàm số y 

2x 1
có đồ thị là  C  . Phương trình tiếp tuyến của  C  có hệ số góc bằng
x2

5 là:
A. y  5 x  2 và y  5 x  22 .
C. y  5 x  2 và y  5 x  22 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.

B. y  5 x  2 và y  5 x  22 .
D. y  5 x  2 và y  5 x  22 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ta có: y  

5


C. y  9x  32 .
D. y  9x  32 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
2
Ta có : y '  3x  12 x  9 ;

 x  0  y  0.
y
'

9


Theo đề :
 x  4  y  4.

PTTT : y  9 x
PTTT : y  9  x  4   4  y  9 x  32

.

Suy ra chọn đáp án D.

x3
 2 x 2  x  2 . Có hai tiếp tuyến của  C  cùng song song
3
với đường thẳng y  2 x  5 . Hai tiếp tuyến đó là :
10
và y  2 x  2 .

A. 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.

B. 1 .

C. 2 .

D. 1 .

a  2  0
a  2
1 b


a2
2  a  2   1  b
b  3  2a
2  ab
2  ab
 3 (2)
Ta lại có: y ' 
. Hệ số góc của tiếp tuyến y ' 1  3 
2
2
 a  2
 ax  2 

Ta có : M 1; 2    C   2 



B. 1.

C. 2.

D. 3.

3

x0 

8
2
y '  x0  
.
2  2  
 2 x0  1
x   1
 0
2
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
1
Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  3x  2 vuông góc với đường thẳng y   x là
9
1
1
B. y   x  18; y   x  5
A. y  9 x  18; y  9 x  14.
9
9

 y  0  9  x  2 
x2
Câu 10. Cho hàm số y 
có đồ thị là  C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  , biết tiếp tuyến
2x 1
1
vuông góc với đường thẳng y   x  1
5
A. y  5 x  3 và y  5 x  2 .
B. y  5 x  8 và y  5 x  2 .
C. y  5 x  8 và y  5 x  2 .

D. y  5 x  8 và y  5 x  2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
 1
TXĐ: D   \   .
 2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Gọi đường thẳng  có phương trình y  k  x  x0   y0 là tiếp tuyến với đồ thị  C  , vì tiếp tuyến

2
A. .
B. .
C.  .
D.  .
2
3
2
3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Ta có:
2
2017
3
2 x  3 y  2017  0  y   x 
 Hệ số góc của tiếp tuyến là
3
3
2
3
2
Câu 12. Cho hàm số y  x  ax  bx  c đi qua điểm A  0; 4  và đạt cực đại tại điểm B (1; 0) hệ số
góc k của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
B. k  24 .
C. k  18 .
A. k  0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
 y  0   4

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Hệ số góc của tiếp tuyến: k  3x02  6 x0  3( x0  1)2  3  3
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến nhỏ nhất bằng -3
Câu 14.Cho đường cong (C ) : y  x 3  3 x 2  5 x  2017 . Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có
hệ số góc nhỏ nhất bằng:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.

(C ) : y  x 3  3 x 2  5 x  2017
y '  3x 2  6 x  5
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) là k  y '( x0 )  3 x0 2  6 x0  5  3( x  1) 2  2  2 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


và
Câu 2. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số sau đây y  f ( x ) 
x2
1
5
53
y  g ( x)   x 2  x 
6
3
6
A. y  13 .
B. y  15 .
C. y  13 .
D. y  15 .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
 x02  3 x0  1
1
5
53
  x02  x0 
1

6
3
6
 x0  2
Gọi x0 là hoành độ tiếp xúc của f  x  và g  x   2
 x0  4 x0  5   x0  5
 2


Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Xét hệ phương trình

 x  0

 x  3x  2x
3x  3x  0   x  1
 3

 x  1.
 3
4x  6x  2
 4x  6x  2
  x  1
 4x 3  6x  2

4

2

4

2






điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y  2 x  4 .
Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y  2 x  4 có dạng:  x  2 y  c  0
Vì d đi qua A  1;1 nên c  3 .
Vậy d :  x  2 y  3  0  y 

1
3
x .
2
2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15


ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ HÀM SỐ
Câu 1: Hỏi điểm I (0; 2) thuộc đồ thị hàm số nào?
2
2x  2
.
B. y 
.
C. y  x 4  2 x 2 .
x 1
x 1

Hướng dẫn giải:

Chọn D.
Đồ thị hàm số y  x 3  3 x  2m đi qua điểm A  1;6  nên 1  3  2m  6  m  2
Câu 4: Tìm tất cả giá trị của m để đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  2m  1 đi qua điểm N 2; 0
5
17
17
.
B.  .
C.
.
2
6
6
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  2m  1 đi qua điểm N 2; 0 thì
A.

D.

3
.
2

(2)4  2m(2)2  2m  1  0
 6m  17  0
17
m 


3
2  m.13   m  2  .1  3  m  .
2

3x  2
có bao nhiêu điểm có toạ độ nguyên?
x 1
B. 3 .
C. 4 .
D. 6 .

Câu 6: Tìm trên đồ thị hàm số y 

A. 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3x  2
5
 3
.
y
x 1
x 1
Để y nguyên thì x  1 là ước của 5  x  1  1; 5  x  0; 2;4; 6.

 

2x  2
mà tọa độ là số nguyên?

sau có nghiệm khác  0;0  :

 x 3  3x 2  m  y

3
2
  x   3   x   m   y

1
 2

Lấy 1   2  vế theo vế ta có : 2m  6 x 2  0  x 2 
Ycbt thỏa mãn 

m
.
3

m
 0  m  0.
3

Câu 9: Tìm m để trên đồ thị hàm số y  x 3   2m  1 x 2   m  1 x  m – 2 có hai điểm A, B
phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ
1
 m  1.
2
1
C. m  (; )  (1;  ) .
2

Lấy 1   2  vế theo vế ta có : 2  2m  1 x 2  2  m  2   0

 3

1
2m
điều kiện m  .
2m  1
2
Ycbt   3 có hai nghiệm phân biệt khác 0 .

Do đó ta có :  3  x 2 

Để  3 có hai nghiệm phân biệt khác 0 

2m
1
0  m2.
2m  1
2

Câu 10: Tìm trục đối xứng của đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  5 ?
A. Đường thẳng y  4.
B. Trục hoành.
C. Trục tung.
D. Đường thẳng y  5.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Hàm số trùng phương là một hàm chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.
x2

 x  4
 2
  x  x  4  0
Câu 12: Tìm trên hai nhánh của đồ thị hàm số y 

MN nhỏ nhất
A. M  3;0  và N  0;3 .
C. M





x3
hai điểm M và N sao cho độ dài đoạn thẳng
x 1

B. M  0;3 và N  3;0  .





2  1;1  2 và N  2  1;1  2 .

D. M





ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Phần Hàm số - Giải tích 12

Ta có:
2

4
4
4 
 2 2
MN   m  n       m2  2  n 2  2  2 m  n  
  4  4  2.4  16 .
m
n
m  n  
m n

2

2

Đẳng thức xảy ra khi m  2; n   2 .
Vậy M







  x0
x0  1
x0  1
x0  1


x02  3
 x  1, y0  1
 2
 0
 M 1;1, N  3;3  MN  4 2 .
 x0  3, y0  3
 x0  2 x0  3  0

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19