BÀI GIẢNG

HÌNH HỌC HOẠ HÌNH
Giảng viên: Th.s Nguyễn Thị Thu Nga

1


Bài 6
Mặt cong

2


I- Biểu diễn mặt cong
Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó.
Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón)
- Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh.

S1
l1
O1

O1

O2

O2
S2

l2

J1

E1≡E’1

điểm P
- Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q.

I1
Q’1
I2

E’2

Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón

M’2

P’2

Q2
K2

J2
N2

S2 ≡ O2
M2

Hình 6.2. Điểm thuộc mặt nón.
Tìm M2 , N2, P2, Q1


T2

P1
G1

E’2

N1 ∈ s 1 , N 2 ∈ s 2 .
- Tìm P1: Ngược lại cách tìm M2

G2

M’2

J2

O2T2 ⊥ l2.

N2

Từ T1 vẽ đường sinh l1 ⇒ Q1 ∈ l1

P2

O2

Q2

l2

N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3)

s2
T’2

Hình 6.3. Điểm thuộc mặt trụ.
Tìm M2 , N2, P1, Q1

M2
a2

5


Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu.
Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các

N1

E1

(u1)

M1

điểm đó. (Hình 6.4)
Giải:
- Tìm M2: Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu

P1


P2

6


III- Giao tuyến của mặt phẳng với mặt cong
1- Một số định nghĩa
- Bậc của đường cong phẳng là số giao điểm tối đa của đường cong đó với đường thẳng.
- Bậc của đường cong ghềnh trong không gian là số giao điểm tối đa của đường cong đó
với một mặt phẳng.
- Bậc của mặt cong là số giao điểm tối đa của mặt cong đó với một đường thẳng.
- Giao tuyến của một mặt bậc hai với một mặt phẳng là một đường bậc hai.
- Giao của mặt cong bậc m với một mặt cong bậc n là một đường cong có bậc bằng m.n

7


S1
2- Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với
mặt nón tròn xoay trong 3 trường hợp:
a) Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất cả các đường
sinh của nón, giao tuyến là elíp (E) (Hình 6.5)
- (α) cắt mặt nón theo đường elíp (E) có hình
chiếu đứng là đoạn A1B1.
- A2B2 là trục dài của elíp trên hình chiếu bằng.

B1
J1 C1≡D1≡ I1


B2

K2

S2

D2

X’2

8


S1

b) Trường hợp mặt phẳng (α) song song với một
đường sinh SM, giao tuyến là parabol (P).
(Hình 6.6)
Giải:
- (α) cắt nón theo parabol (P) có hình chiếu đứng
là đoạn A1B1.

α1

B1

I1

J1


c) Trường hợp mặt phẳng (α) song song với hai
đường sinh SM và SP, giao tuyến là hypecbol (H).
(Hình 6.7)
Giải:
- (α) cắt nón theo hypecbol (H) có hình chiếu
đứng là đoạn A1B1.

α1

B1
J1

I1

A1

- Tìm hình chiếu bằng: bài toán điểm thuộc
mặt nón. B2 là đỉnh của hypecbol (H).

M1 ≡ P1

- Để vẽ hypecbol, ta tìm các điểm trung gian,
ví dụ điểm I.

M2

A2

I2

X1

B
C

mα

mα
x

O

U

Y1

11

X2
C2

D1

22

d2
B2

O2



d1

C1

Π1

nα

Hình 6.9.
Giao của (α )
với trụ chiếu
đứng trong
không gian

f1

Π2

h2

Hình 6.8. Tìm giao tuyến của α(mα, nα)
11
với mặt trụ chiếu bằng


I1

IV- Giao tuyến của đường thẳng với mặt cong
Ví dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng l với mặt trụ

H1

Giải:
- Vì l là đường thẳng chiếu bằng ,
do đó biết hình chiếu bằng I2 ≡ K2≡ l2
- Tìm I1, K1: Bài toán điểm thuộc mặt nón

S1

O1

G1

I1

T’1
S2
l2 ≡I2≡K2

H2 ≡ G2
O2

Hình 6.10. Ví dụ 2: Vẽ giao của đường thẳng chiếu bắng l với mặt nón

13


Ví dụ 3: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S)
được cho như trên hình 6.11.
Giải:

I2

(C2)

K2

f 2 ≡ φ2

12

14


* Chú ý:
Để tìm giao điểm của đường thẳng với mặt cong trong trường hợp tổng
quát chưa biết hình chiếu nào của giao điểm ta dùng phương pháp mặt
phẳng phụ trợ.
Mặt phẳng phụ trợ phải cắt mặt cong theo giao tuyến sao cho hình chiếu
của giao tuyến đó phải là đường thẳng hoặc đường tròn.
Muốn vậy:
+ Với mặt nón, mặt phẳng phụ đi qua đường thẳng và đỉnh nón.
+ Với mặt trụ, mặt phẳng phụ đi qua đường thẳng và song song với trục.
+Với mặt cầu ta có thể sử dụng mặt phẳng phụ đi qua đường thẳng và
tâm cầu rồi xoay quanh đường bằng hoặc đường mặt, hoặc thay mặt phẳng
hình chiếu.

15


* Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp tổng quát (Hình 6.12)


J

F

1

R

K

2

J

Hình 6.12. Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp
tổng quát bằng phương pháp mặt phẳng phụ trợ

-

Lập mặt phẳng phụ trợ α(S, l)
Kéo dài đường thẳng l cắt mặt phẳng đáy nón tại J.
Trên l lấy điểm T tùy ý, kéo dài ST cắt mặt phẳng đáy nón tại F.
JF cắt đáy nón tại hai điểm 1, 2 . Nối S1, S2 cắt l tại I và K. I, K là giao điểm cần tìm.
* Trường hợp giao điểm của đường thẳng l với mặt phẳng đáy nón quá xa,
ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng l (Hình 6.12.b)
16


S1


Hình 6.13. Tìm giao của đường bằng h với mặt nón

h2

17


S1

Ví dụ 5: Tìm giao điểm của đường thẳng
l(l1, l2) với mặt nón. (Hình 6.14)
Giải:
- Nhận xét:
+ Đáy nón là elíp có hình chiếu
bằng là đường tròn,
+ l song song với đáy nón.
- Dùng mặt phẳng phụ trợ α(α1) chứa l :

J1
I1

O’1
K1

O1

(C
1)


18


* Tìm giao của đường thẳng với mặt trụ trong trường hợp tổng quát (Hình 6.15)
a)

α

l

b)

T

α

l T
K

I
I

R

K
O

O

F

S1

V- Giao của đa diện với mặt cong
Mỗi một mặt đa diện cắt mặt cong bậc 2 theo một đường bậc 2.Vì
vậy, giao của đa diện với mặt cong là tổ hợp của các đường bậc 2.

11

A1 ≡A’1

B1 ≡B’1
21

Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng với hình
nón tròn xoay được cho trên hình 6.16.

41

Giải:
- Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó đã biết hình
chiếu đứng của giao tuyến là các đoạn 1-2-3-4
- Tìm hình chiếu bằng giao tuyến : bài toán điểm thuộc mặt nón.
Bổ xung thêm các điểm 5-6 để vẽ giao tuyến được chính xác.
- Nhận xét:
+ Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, do đó mặt
phẳng này cắt mặt nón theo cung tròn 1-2
+ Mặt (BB’C’C) song song với một đường sinh của hình
nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3
+ Mặt (AA’C’C) cắt tất cả các đường sinh của hình nón,
do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4.

A’2

C’2

5’2

B’2

20


S1

Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của đa diện với
trụ chiếu đứng (Hình 6.17)
Giải:
- Vì mặt trụ đã cho là mặt trụ chiếu đứng,
do đó hình chiếu đứng của giao tuyến đã
biết, đó là cung elíp 1-2-3-4.
- Có 2 mặt (SAB) và (SAC) cắt trụ.
- Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm
thuộc đa diện.

11

21
41
31

A1

(Hình )
Giải:
- Giao của trụ chiếu đứng và nón tròn xoay là
đường cong ghềnh bậc 4.
- Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu
đứng của giao tuyến.
- Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau:
+ Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên của nón cắt trụ.
+ Điểm 2 là điểm xét giới hạn thấy khuất.
+ Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất.
- Để vẽ đường cong ghềnh chính xác hơn có thể tìm
thêm các điểm X, Y...
Hình 6.18
Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay

11
X1

21
41

Y1
31

Y2

32

22
X2

71

51

61

21

31

32
22
62

52
72

5’2

6’2

Hình 6.19
Tìm giao của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu

2’2
3’2

23



3’2

25