Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

KIỂM TRA HỌC KỲ II
MÔN: TOÁN - LỚP 12

Câu 1: (3,5 điểm) Cho hàm số: y = x4 - 4x2 + 2m + 1 có đồ thị là (Cm).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1. (C1)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) biết hoành độ tiếp điểm x0 = 1.
c. Giả sử đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị (Cm) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng
nhau.
Câu 2: (1,5 điểm) Tính các tích phân sau:
3

a. I 


0

xdx
x 1
2



3
b. J   x sin 3xdx .

;

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1: (3,5 điểm)

Điểm
4

2

Với m = 1 ta có: y = x - 4x + 3. (C1)

0,25

 x0
y' = 4x3 - 8x, y' = 0  4x3 - 8x = 0  
x   2

0,25

x



y'

 2

-

0



y

 2

-

0 + 0
CT

a.
(2đ)

yCĐ = y (0) = 3
yCT = y ( 

0,25
0

2

CĐ
DD
CT

0

+


x0 = 1 -> y0 = 0

0,25


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

y'(1) = -4

0,25

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm M0 là: y = -4x + 4

0,25

Phương trình hoành độ giao điểm x4 - 4x2 + 2m + 1 = 0 (1)
Đặt t = x2, t  0
Ta được phương trình: t2 - 4t + 2m + 1 = 0 (2)
Để PT (1) có 4 nghiệm phân biệt  PT (2) có 2 nghiệm 0 < t1 < t2

 '  0
3

m 2
1
3

Ta có  S  0  

t2

0

(x 4 - 4x 2  2m  1 )dx  0  3t 22  20t 2  15(2m  1)  0 (3)

0,25

Mặt khác t2 là nghiệm PT (2) ta có: t22  4t2  2m  1  0 (4)
Từ (3) và (4) tìm được m =
Kết luận: m =

11
thoả mãn điều kiện (*)
18

11
…
18

Câu 2: (1,5 điểm)

Đặt t = x2 + 1 => xdx 

1
dt
2

Với x = 0 thì t = 1; Với x =
a.

(0,5)

J   xsin3 3xdx 
0

J=

2
9

3 
1 
xsin 3xdx   xsin9 xdx

4 0
4 0

0,25
0,25

Câu 3: (1,5 điểm)
a.

z = -4 - 26i

0,5


Gia sư Thành Được
(1đ)

PT tham số đt (d) là:  y  2  t (t  R)
 z  3  t

MP (  ) đi qua đt (d) và vuông góc với MP (Oxy)

đt (d) đi qua điểm M0(-1;2;-3) và có VTCP u  (2;1;1)

MP (Oxy): z = 0 có VTPT n1 =(0;0;1)

 
MP (  ) có VTPT n  u ; n1   (1;2;0) đi qua điểm M0(-1;2;-3)

0,25

MP (  ) : x - 2y + 5 = 0

0,25

Gọi ( ) đi qua điểm I(1;-2;3) và vuông góc với đt (d)

MP ( ) đi qua điểm I(1;-2;3) có VTPT u  (2;1;1) là 2x+y-z+3 = 0

0,25

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I trên đường thẳng (d) ta có H(-1+2t; 2 + t;
-3-t)
H  ( ) ta có 6t + 6 = 0  t = -1
c.
(1đ)


R2 =202 + 50 = 450
Vậy phương trình mặt cầu (S) thoả mãn yêu cầu bài toán là:
(x-1)2 + (y+2)2 + (z-3)2 = ( 15 2 )2
Chú ý:
- Học sinh làm cách khác đúng, lập luận chặt chẽ cho điểm tối đa.
---------------- Hết -----------------

0,25