Chứng minh đẳng thức tích trong hình hocï
Híng dÉn häc sinh chøng minh ®¼ng thøc tÝch
trong h×nh häc.
Trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS cã nhiỊu d¹ng to¸n, nhng mét d¹ng to¸n mµ
khã vµ thêng gỈp trong gi¶i to¸n lµ chøng minh ®¼ng thøc. ViƯc chøng minh mét
®¼ng thøc A = B hay ®¼ng thøc a.d = b.c trong sè häc kh«ng khã vµ cã thĨ ¸p dơng
mét sè ph¬ng ph¸p nh sau:
+ Chøng minh VT - VP = 0
+ BiÕn ®ỉi VT vỊ kÕt qu¶ b»ng VP hc ngỵc l¹i.
+ BiÕn ®ỉi ®ång thêi VT, VP vỊ cã cïng mét kÕt qu¶ chung.
Nãi chung viƯc chøng minh mét ®¼ng thøc sè th× kh«ng khã ®èi víi häc sinh,
nhng viƯc chøng minh mét ®¼ng thøc tÝch trong h×nh häc THCS th× vÉn cßn lµ mét
c©u hái. LiƯu cã thĨ sư dơng c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh ®¼ng thøc trong sè häc vµo
®Ĩ chøng minh mét ®¼ng thøc tÝch trong h×nh häc hay kh«ng , nÕu ®ỵc th× cÇn ¸p
dơng nh thÕ nµo?
Qua thêi gian gi¶ng d¹y to¸n THCS vµ kiÕn thøc vèn cã b¶n th©n, häc hái kinh
nghiƯm cđa nh÷ng ngêi thÇy ®i tríc t«i rót ra mét kinh nghiƯm ®Ĩ gi¶i c¸c bµi to¸n
d¹ng chøng minh ®¼ng thøc tÝch trong h×nh häc.
Nh ta ®· biÕt ®¼ng thøc a.d = c.b cã thĨ viÕt díi d¹ng c¸c tØ lƯ thøc nh sau
a c a d b c b d
= ; = ; = ; =
d b c b d a c a
mµ trong h×nh häc th× khi nãi ®Õn c¸c tØ lƯ thøc th× ta liªn
tëng ®Õn ngay c¸c kiÕn thøc: §o¹n th¼ng tØ lƯ; Tam gi¸c ®ång d¹ng; §Þnh lý ®êng
ph©n gi¸c trong tam gi¸c; §Þnh lý TalÐt.
VËy ®Ĩ lµm ®ỵc c¸c bµi to¸n nh trªn ®· ®Ỉt ra th× gi¸o viªn ph¶i n¾m c¸c kiÕn
thøc trªn mét c¸ch ch¾c ch¾n, vµ ph¶i trun ®¹t cho häc sinh hiĨu mét c¸ch têng
minh c¸c kiÕn thøc: §o¹n th¼ng tØ lƯ; Tam gi¸c ®ång d¹ng; §Þnh lý ®êng ph©n gi¸c
trong tam gi¸c; §Þnh lý TalÐt.
Sau ®©y t«i xin minh ho¹ b»ng c¸ch híng dÉn häc sinh gi¶i mét sè bµi to¸n
d¹ng trªn trong ch¬ng tr×nh To¸n H×nh häc 8, 9.

d¹ng tõ tØ lƯ thøc
OA OC
=
OB OD
nh sau:
- NÕu lÊy trªn tư ta ph¶i cã
ΔOAC ΔOBD∞
- NÕu lÊy trong mét tØ sè ta ph¶i cã
ΔOAB ΔOCD∞
! Cho HS ph¸t hiƯn c¸c u tè ®· b»ng nhau
cđa hai tam gi¸c vµ yªu cÇu häc sinh chän
mét trong hai cỈp tam gi¸c trªn.
! GV yªu cÇu häc sinh chøng minh hai tam
gi¸c ®ång d¹ng
! Tõ ®ã yªu cÇu häc sinh rót ra tØ lƯ thøc vµ
suy ra ®iỊu cÇn chøng minh.
- HS nªu ®ỵc chøng minh
OA OC
OB OD
=

- HS ph¸t hiƯn c¸c u tè b»ng nhau
vµ chän mét trong hai cỈp.
- HS chØ chän ®ỵc
ΔOAB ΔOCD∞
- HS chøng minh
ΔOAB ΔOCD∞
∠AOB = ∠COD(®èi ®Ønh)
∠ABO = ∠CDO(so le trong)
ΔOAB ΔOCD⇒ ∞

AH CH
=
BH AH
nh
sau:
- NÕu lÊy trªn tư ta ph¶i cã
AHC BHA∆ ∞ ∆

- NÕu lÊy trong mét tØ sè ta ph¶i cã
AHB CHA∆ ∞ ∆
! Yªu cÇu häc sinh chøng minh
- Häc sinh chøng minh
VÝ dơ 3. Tam gi¸c ABC, ph©n gi¸c AD. Qua B kỴ tia Bx sao cho
CBx = BAD∠ ∠
.
Tia Bx c¾t tia AD ë E.
Chøng minh BE
2
= DE.AE
H§ GV H§HS
x
E
D
B
A
C
2
BE = DE.AE
BE.BE = AE.DE
BE DE

D
C
B
A
! ViÕt ®¼ng thøc AE.DF = AF.DE díi d¹ng tØ lƯ thøc
? Mn cã tØ lƯ thøc
AE DE
=
AF DF
th× ph¶i cã hai tam
gi¸c nµo ®ång d¹ng
? Em cã nhËn xÐt nh thÕ nµo vỊ hai cỈp tam gi¸c trªn
! VËy kh«ng thĨ chøng minh ®ỵc tØ lƯ thøc trªn dùa
vµo hai cỈp tam gi¸c trªn .
! Híng dÉn häc sinh chøng minh.
+ AD ph©n gi¸c cho ta tØ sè nµo?
+ §Ĩ chøng minh ®ỵc
AE DE
=
AF DF
ta cÇn chøng minh
AB AE
=
AC AF
vµ
BD ED
BC DF
=
! Yªu cÇu häc sinh chøng minh hai tØ lƯ thøc trªn.
+

Chøng minh EA.ED = EB.EC
Hoàng Thái Anh – THCS Mỹ Thủy
Chứng minh đẳng thức tích trong hình hocï
VÝ dơ 6 (Bµi 55 SBT T8_2 tr 77). Tam gi¸c ABC cã ba ®êng cao AD, BE, CF ®ång
quy t¹i H. Chøng minh AH.DH = BH.EH = CH.FH
VÝ dơ 7. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, F trªn c¹nh BC. Tia AF c¾t BD vµ DC lÇn lỵt ë
E vµ G. Chøng minh AE
2
= EF.EG
VÝ dơ 8. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH, ph©n gi¸c BD. Gäi I giao ®iĨm
cđa AH, BD.
Chøng minh AB.BI = BD.HB
VÝ dơ 9. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH Gäi M,N lÇn lỵt h×nh chiÕu cđa
H trªn AB, AC.
Chøng minh AM.AB = AN.AC
VÝ dơ 10. Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, E trung ®iĨm AB . tia DE c¾t AC t¹i F c¾t CB t¹i
G. Chøng minh FD
2
= FE.FG
VÝ dơ 11. Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a, gãc A = 60
0
. Mét ®êng th¼ng bÊt kú ®i qua C
c¾t tia ®èi cđa tia BA, DA t¬ng øng ë M,N.
Chøng minh BM.DN = a
2
.
* C¸c bµi to¸n d¹ng nµy còng cã trong ch¬ng tr×nh H×nh häc 9.
VÝ dơ 12.. Tõ mét ®iĨm A ë bªn ngoµi ®êng trßn (O) ta vÏ tiÕp tun AB vµ c¸t tun
ACD . VÏ d©y BM vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cđa gãc BAC, d©y nµy c¾t CD t¹i E.
Chøng minh MD