TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ HOẶC KHÔNG CÓ CỰC TRỊ.
Phương pháp .
Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2
• Tìm f '( x)
• Tìm

điểm

các
PHIẾU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY

BÀI 2. CỰC TRỊ
PHIẾU 3. VẬN
DỤNG THƯỜNG
xi ( i = 1,2,3...) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Xét dấu của f '( x) . Nếu f '( x) đổi dấu khi x qua điểm x0 thì hàm số có cực trị tại điểm x0 .

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3
• Tìm f '( x)
• Tìm các nghiệm xi ( i = 1,2,3...) của phương trình f '( x) = 0 .
• Với mỗi xi tính f ''( xi ) .
− Nếu f ''( xi ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi .


− Nếu f ''( xi ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi .

Các ví dụ
Ví dụ 1 :
2
1. Định m để hàm số y = x + mx + 2 không có cực trị.

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt , tức phải có:
m ≠ −2
m ≠ −2 m ≠ −2
m ≠ −2
⇔
⇔
⇔
⇔
2
∆ ' > 0
9 − 3m(m + 2) > 0 −3m − 6m + 9 > 0 −3 < m < 1
m ≠ −2
thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
 −3 < m < 1

Vậy, với 

2. Hàm số đã cho xác định D = ¡
x = 0

Ta có y' = 4mx3 − 2( m − 1) x và y' = 0 ⇔ 

2
 2mx + m − 1 = 0

( *)

Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y' = 0 có một nghiệm duy nhất và y' đổi dấu khi x đi qua
nghiệm đó .Khi đó phương trình 2mx2 + m − 1 = 0 ( *) vô nghiệm hay có nghiệm kép x = 0
m = 0
0 ⇔ m < −2 (Do m < 0 ).

=

m
( 1)
2

x2 − 4x0 + 5
Với m < 0 thì ( 1) ⇒ x0 < 2 . Xét hàm số : f ( x0 ) = 0
,x0 < 2
x0 − 2

lim f ( x0 ) = lim

x→−∞

x→−∞

Ta có f '( x0 ) =

x02 − 4x0 + 5
x0 − 2

= −1, lim f ( x0 ) = lim
x→2−

−2

( x0 − 2)

2

2
Ví dụ 4: Tìm m∈ ¡ để hàm số y = x + mx + 2 có điểm cực tiểu nằm trên Parabol ( P ) : y = x2 + x − 4 .

x−1

Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D = ¡ \ { 1}
4


Ta có y' =

x2 − 2x − m − 2

( x − 1)

2

,x ≠ 1. Đặt g ( x) = x2 − 2x − m − 2 .

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình g ( x) = 0 có hai nghiệm
∆ ' = 1− ( −m − 2) > 0


phân biệt khác 1 ⇔ 

g ( 1) = − m − 3 ≠ 0


(

cực đại, cực tiểu đồng thời thời khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ O bằng 3 lần
khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị đến O .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D = ¡

(

)

2
2
Ta có: y' = 3x − 6mx + 3 m − 1

(

)

y' = 0 ⇔ 3x2 − 6mx + 3 m2 − 1 = 0 ⇔ x2 − 2mx + m2 − 1 = 0 ⇔ x = m − 1 ∨ x = m + 1

àm số có cực đại, cực tiểu ∀m ∈ ¡ .
Điểm cực đại của đồ thị là A ( m − 1;2 − 2m) ;

Điểm cực tiểu của đồ thị là B( m + 1; −2 − 2m) .
OB = 3OA ⇔

( m + 1) 2 + ( −2 − 2m) 2 = 3 ( m − 1) 2 + ( 2 − 2m) 2

2
2
2


g ( x)

( x − 1)

2

,x ≠ 1 , g ( x) = x2 − 2x + m2 − 3m + 3

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình g ( x) = 0,x ≠ 1
∆ ' > 0


có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác 1. ⇔ 

g ( 1) ≠ 0

⇔ 1< m < 2

Gọi A ( x1;y1) ,B( x2;y2 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x1,x2
là nghiệm của phương trình g ( x) = 0,x ≠ 1 .
 x = 1− − m2 + 3m − 2 ⇒ y = 1− m + 2 − m2 + 3m − 2
1
1

Khi đó y' = 0 ⇔ 

2
2
 x2 = 1+ − m + 3m − 2 ⇒ y2 = 1− m − 2 − m + 3m − 2


{ 0}

B. ( - 3;0) È ( 3;+¥

)

C. ( - ¥ ;- 3) È ( 0;3)

D. ( 3;+¥ ) ”

y' = 4mx3 + 2(m2 - 9)x = 2x(2mx2 + m2 - 9)
ém 0 Û ê
ê
ë0< m< 3
2
2
“Tìm m để hàm số y = x3 - 3x2 + mx - 1 có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 + x2 = 3

6


A. m=

3
2

B.m = 1

Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0 ) = 0 , từ điều kiện này ta tìm được giá trị của
tham số .
Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa
tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?
Chú ý:
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng ( a;b) chứa điểm x0 , f'( x0 ) = 0 và f có đạo
hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .
Nếu f ''( x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .
Nếu f ''( x0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .
f '(x0 ) = 0
Trong trường hợp f '( x0 ) = 0 không tồn tại hoặc 
thì định lý 3 không dùng được.
f ''(x0 ) = 0

Các ví dụ
7


(

)

1
Ví dụ 1 : Cho hàm số: y = x3 − mx2 + m2 − m + 1 x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại
3

điểm x = 1.
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định trên ¡
Ta có: y' = x2 − 2mx + m2 − m + 1 , y'' = 2x − 2m

Ta có đạo hàm y' =

a2x2 + 2abx + b2 − a2b

( ax + b) 2

• Điều kiện cần :

 b2 − a2b
=0

2
a = −2
 y'( 0) = 0  b
⇔
⇔
Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0 và x = 4 khi và chỉ khi 
2
2
2
 y'( 4) = 0  16a + 8ab + b − a b = 0  b = 4

( 4a + b) 2

a = −2
x2 − 4x
⇒ y' =
• Điều kiện đủ : 
b = 4
( −x + 2) 2


B. m³ 2.

C. - 16 < m£ 2.

D. : - 2 £ m£ 16.

9


Câu 103. Đồ thị hàm số y = mx3 + 3mx2 - (m- 1)x- 1 không có cực trị khi:
A. 0£ m£

1
×
4

B. 0< m£

1
×
4

C. m< 0.

D. m³

1
×
4


B. - 1.

C. 0.

D. 1.

Câu 108. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - m2x2 + 3 có 3 điểm cực trị ?
A. m< 0.

B. m¹ 0.

C. m> 0.

D. mÎ ¡ .

Câu 109. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m+1)x2 - 3 có 3 điểm cực trị ?
A. m ≥ 0.

B. m>- 1.

C. m> 1.

D. m> 0.

Câu 110. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 + (m+1)x2 - 2m- 1 có 3 điểm cực trị ?
A. m>- 1.

B. m³ - 1.



Câu 114. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m+1)x2 + m+1 có đúng 1 cực trị ?
A. m ×
2

D. m³


1
D. m< ×
2

m 4
x + (m- 1)x2 + m+1 có đúng 1 điểm cực trị khi:
4

A. 0< m 1.

C. m< 0.

D. mÎ ( - ¥ ;0] È [1;+¥ ) .

Câu 119. Đồ thị hàm số y = x4 + 2(1- m)x2 + 2 có cực tiểu mà không có cực đại khi:
A. m£ 1.

B. m 1.

D. m³ 1.

Câu 120. Đồ thị hàm số y =- x4 + 2(5- m)x2 + 2 có cực đại mà không có cực tiểu khi:
A. m< 5.
Câu 121. Đồ thị hàm số y =
A. mÎ [ - 1;0].



C. y =- x4 + 2x2 - 1.

D. y =- x4 + (m2 +1)x2 - 1.

Câu 124. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = (1- m)x4 - mx2 + 2m- 1 có đúng 1 cực trị ?
A. mÎ Æ.

B. m£ 0.

C. 0< m- 1.

C. m
D. mÎ Æ.

x2 + mx +1
Câu 126. Hàm số y =
luôn có cực trị khi:
x+ m

A. m= 0.

B. m= 1.

Câu 127. Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị A(0;0), B(1;1) thì các hệ số
a, b, c, d có giá trị lần lượt là:
A. a =- 2, b = 0, c = 0, d = 3.

B. a = 0, b = 0, c =- 2, d = 3.

C. a =- 2, b = 0, c = 3, d = 0.

D. a =- 2, b = 3, c = 0, d = 0.
ĐÁP ÁN

1B

2B

3A

4A


20

21

22

23

24C

25A

26A

27A

28A

29A

30A

31A

32A

33A

34A


50C

51C

52C

53C

54C

55D

56D

57B

58D

59A

60A

61C

62A

63B

64A


80C

12


81D

82D

83B

84C

85A

86D

87C

88A

89

90B

91A

92B

93D


109B

110C

111C

112D

113A

114C

115B

116D

117

118D

119A

120B

121A

122B

123B