BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGUYỄN TRUNG QUANG

PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM NHIỀU LỚP
DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC 3
BẰNG PHẦN TỬ MITC3+
ĐƯỢC LÀM TRƠN TRÊN PHẦN TỬ

NGÀNH: XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
MÃ NGÀNH: 60.58.02.08

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10/2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGUYỄN TRUNG QUANG

PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM NHIỀU LỚP
DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC 3
BẰNG PHẦN TỬ MITC3+
ĐƯỢC LÀM TRƠN TRÊN PHẦN TỬ

NGÀNH: XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

xây dựng và cơ học ứng dụng trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Thành phố Hồ Chí
Minh đã tận tình giảng dạy trong quá trình tôi học tập, nghiên cứu tại đây.
Và cuối cùng tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã
luôn bên cạnh động viên, hỗ trợ rất nhiều và tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể
hoàn thành tốt luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
TP.Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2016.
Nguyễn Trung Quang

ii


TÓM TẮT
Phân tích kết cấu tấm nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 bằng phần
tử MITC3+ được làm trơn trên phần tử
Nguyễn Trung Quang

Trong đề tài luận văn thạc sĩ này, phương pháp phần tử hữu hạn trơn trên
miền phần tử CS-FEM (the cell smoothed finite element method) được phát triển
cho phần tử MITC3+ dùng để phân tích tĩnh kết cấu tấm composite nhiều lớp theo
lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 của J.N. Reddy. Kết cấu được mô phỏng bằng các
phần tử tam giác ba nút với bảy bậc tự do cho mỗi nút. Nhờ vào kỹ thuật làm trơn
CS-FEM, ma trận độ cứng phần tử được tính toán dựa vào tích phân trên cạnh phần
tử hoặc miền con của phần tử.
Để giải quyết hiện tượng khóa cắt (shear locking) khi tấm có chiều dày mỏng
dần, kỹ thuật nội suy các thành phần ten xơ (mixed interpolation tensorial
components viết tắt là MITC) được sử dụng, công thức phần tử hữu hạn này được
gọi là phần tử CS-MITC3+. Tính hiệu quả và độ chính xác của phần tử CS-MITC3+
được kiểm chứng thông qua các ví dụ số phân tích cho bài toán tĩnh của kết cấu tấm
composite nhiều lớp.

Lý lịch khoa học
Lời cam đoan ......................................................................................................... i
Lời cảm ơn ............................................................................................................ ii
Tóm tắt

.............................................................................................................. iii

Mục lục

............................................................................................................. v

Danh sách các chữ viết tắt ...................................................................................... vii
Danh sách các hình ................................................................................................. viii
Danh sách các bảng ............................................................................................... x
Chương 1. Tổng quan ........................................................................................ 1
1.1. Giới thiệu ........................................................................................................ 1
1.2. Tổng quan tình hình nghiên cứu .................................................................... 2
1.2.1. Lý thuyết tính toán tấm composite .............................................................. 2
1.2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm ....................................................... 3
1.2.3. Phần tử hữu hạn trơn trên phần tử CS-MITC3+ ......................................... 4
1.3. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài ................................................................... 5
1.4. Phương pháp nghiên cứu và cách tiếp cận ..................................................... 6
1.5. Nét mới của đề tài .......................................................................................... 6
1.6. Nội dung nghiên cứu ...................................................................................... 6
Chương 2. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao cho tấm nhiều lớp ...................... 7
2.1. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ..................................................................... 7
2.1.1. Trường chuyển vị ........................................................................................ 7
2.1.2. Trường biến dạng ........................................................................................ 10
2.1.3. Trường ứng suất .......................................................................................... 11
2.1.4. Nội lực trong tấm ........................................................................................ 13

CPT

............................... Lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff – Love

CLPT

................................................... Lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển

FSDT

.................................................. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

HSDT

................................................... Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

MITC

................. Phương pháp nội suy hỗn hợp các thành phần ten-xơ

vii


DANH SÁCH CÁC HÌNH
Hình 1.1. Phần tử tam giác 3 nút MITC3 và MITC3+ .......................................... 4
Hình 1.2. Sơ đồ thuật toán tính toán ...................................................................... 6
Hình 2.1. Hình học ban đầu và hình học biến dạng trên một cạnh của tấm với các lý
thuyết tấm cổ điển (CLPT), biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và biến dạng
cắt bậc ba ............................................................................................. 7
Hình 2.2. Các chuyển vị u, v, w và các góc xoay T x ,T y trong tấm ....................... 8

Hình 4.15. Biểu đồ ứng suất cắt W yz tấm 16 lớp .................................................... 32
Hình 4.16. Độ võng chuẩn hóa của tấm 2 lớp dưới tải hình sin ........................... 34
Hình 4.17. Phân bố ứng suất V x theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+ ... 35
Hình 4.18. Phân bố ứng suất W yz theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+ ... 35
Hình 4.19. Phân bố ứng suất W yz theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+ ... 36
Hình 4.20. Phân bố ứng suất V x dưới tải hình sin của tấm 8 lớp lớp [450 / 450 ]4 với
tỉ lệ a/h = 10 ........................................................................................ 38
Hình 4.21. Phân bố ứng suất W xz dưới tải hình sin của tấm 8 lớp lớp [450 / 450 ]4 với
tỉ lệ a/h = 10 ........................................................................................ 38
Hình 4.22. Phân bố ứng suất V x theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+
(NxN=16) ............................................................................................. 40
Hình 4.23. Phân bố ứng suất W yz theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+
(NxN=16) ............................................................................................. 41
Hình 4.24. Phân bố ứng suất V x theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+
(NxN=24) ............................................................................................. 41
Hình 4.25. Phân bố ứng suất W yz theo chiều dày tấm của phần tử CS-MITC3+
(NxN=24) ............................................................................................. 42

ix


DANH SÁCH CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Tọa độ các điểm buộc của phần tử MITC3+ với d=1/10000 ................ 17
Bảng 4.1. Độ võng chuẩn hóa tại tâm của tấm với a/h = 0,1 ................................. 22
Bảng 4.2. Sự phân bố ứng suất dưới tải trọng hình sin với a/h = 4, 10, 20, 100 .. 24
Bảng 4.3. Sự phân bố ứng suất dưới tải phân bố đều với a/h = 20, 10, 5 .............. 27
Bảng 4.4. Độ võng chuẩn hóa tại tâm tấm 2 lớp ở tỉ lệ a/h = 0,01 ........................ 34
Bảng 4.5. Độ võng và các ứng suất của tấm composite hai lớp với gối tựa đơn chịu
tải trọng hình sin .................................................................................. 34
Bảng 4.6. Độ võng và các ứng suất của tấm composite tám lớp [450 / 450 ]4 với gối

phân tích thích hợp nhằm đưa ra những kết quả từ đó dự đoán chính xác các ứng xử
của kết cấu làm từ vật liệu này dưới tác dụng của các tải trọng khác nhau.
Từ những buổi đầu phát triển vật liệu nhiều lớp, phương pháp tính toán được
sử dụng nhiều nhất và ưu thế nhất là phương pháp phần tử hữu hạn. PP PTHH được
bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân

1


tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không. Alexander Hrennikoff và
Richard Courant [2,3] là những người khởi đầu sự phát triển của PP PTHH.
Sự phát triển chính thức của PPPTHH được bắt đầu vào nửa sau những năm
1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng và đã thu
được nhiều kết quả ở Berkeley [4] trong những năm 1960 trong ngành xây dựng.
Tuy nhiên, hiệu quả tính toán kết cấu làm từ vật liệu nhiều lớp bằng PP
PTHH còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như mô hình toán học, lưới phần tử, … Do
đó, việc tìm ra phương pháp tính toán hiệu quả, mang lại kết quả sát thực tế và có
độ tin cậy cao luôn là yêu cầu cần thiết.
1.2. Tổng quan tình hình nghiên cứu.
1.2.1. Lý thuyết tính toán tấm composite.
Những thập kỷ qua, để giải quyết các ứng xử của tấm composite, nhiều lý
thuyết được nghiên cứu và giới thiệu. Các lý thuyết này có thể chia thành lý thuyết
lớp tương đương và lý thuyết 3 chiều. Lý thuyết lớp tương đương gồm lý thuyết lớp
zic-zac (ZZ) [5]; lý thuyết lớp thông minh (LW) [6] hay lý thuyết lớp tương đương
(ELS) [7]. Lý thuyết đàn hồi 3 chiều (3D) của Noor [8, 9] cải thiện tính chính xác
của ứng suất cắt ngang. Trong lý thyết của Noor, các lớp được mô phỏng như vật
thể đồng nhất và độ chính xác của ứng suất cắt ngang được cải thiện đáng kể. Tuy
vậy, chi phí tính toán quá cao là một trở ngại cho việc sử dụng lý thuyết này.
Trên cơ sở lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff – Love (CPT), lý thuyết tấm
cổ điển nhiều lớp (CLPT – Classic Laminate Plate Theory ) cho ra những kết quả

chuyển vị của tấm/vỏ giảm khi bề dày giảm do năng lượng biến dạng cắt không
được loại bỏ. Mặc dù các nghiên cứu sau đó cố gắng giải quyết hiện tượng “khóa
cắt” nhưng kết quả thu được chưa thỏa đúng như kỳ vọng.
Năm 1985, Bathe và Dvorkin [26] đã tìm ra phương pháp nội suy hỗn hợp
các thành phần ten-xơ (MITC - mixed interpolation tensorial components) và
phương pháp MITC nhanh chóng giải quyết được vấn đề “khoá cắt”. Từ đây, MITC
là phương pháp ưu việt trong phân tích hay tính toán kết cấu tấm/vỏ nhiều lớp với
kết quả đạt được có độ tin cậy cao. Ngay khi ra đời MITC rất thành công với phần

3


tử tứ giác (MITC4) [27] cho kết cấu tấm/vỏ nhiều lớp và kỹ thuật này tiếp tục được
Bathe và Dvorkin phát triển với phần tử 8 nút (MITC8) [28]. Tiếp đó là phần tử 9
nút (MITC9) [29] và phần tử 16 nút (MITC16) của Bathe và Bucalem [30].
Song song với thành công của các phần tử tứ giác 4 nút và trên 4 nút, phần tử
tam giác 3 nút (MITC3 và MITC3+) cũng được quan tâm và phát triển bởi vì so với
các loại phần tử MITC khác phần tử MITC3 và MITC3+ có ưu thế hơn hẳn trong
việc rời rạc hóa hình dạng hình học phức tạp của kết cấu tấm nhiều lớp. Đây là ưu
thế rất lớn của MITC3 và MITC3+ trong việc mô hình hóa kỹ thuật nói chung.
Sự khác nhau giữa MITC3 và MITC3+:
2

2

3

3

4

cắt rời rạc (DSG) bằng lưới tam giác (CS-DSG) gần đây được đề xuất để nâng cao
độ chính xác của PP PTHH trong việc phân tích tấm đẳng hướng Reissner/Mindlin.
Có thể kể đến tác giả Trung và cộng sự [33] đã đề xuất phần tử CS-DSG3 nhằm
phân tích dao động và phân tích tĩnh cho kết cấu vỏ. Tác giả Phúc và cộng sự [32]
đã phân tích tấm composite phi tuyến nhiều lớp bằng các sử dụng lý thuyết biến
dạng cắt bậc cao sử dụng phương pháp PTHH được làm trơn trên phần tử 3 nút
(CS-FEM-MIN3) vào năm 2015. Kết quả tính toán cho thấy phương pháp này hiệu
quả hơn, chính xác hơn so với các PP PTHH thông thường.
Với những ưu thế vượt trội, PP PTHH làm trơn đã được nghiên cứu và áp
dụng trong nhiều bài toán như phân tích kết cấu tấm/vỏ nhiều lớp trong điều kiện
môi trường khác nhau, phân tích kết cấu tấm/vỏ hình học phi tuyến, phân tích các
vết nứt trong kết cấu…[34-39].
1.3. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài.
Mục đích của đề tài là phân tích kết cấu tấm nhiều lớp dùng lý thuyết biến
dạng cắt bậc 3 bằng phần tử MITC3+ được làm trơn trên phần tử.
Nhiệm vụ của đề tài là xây dựng cơ sở lý thuyết công thức PTHH trơn cho
phần tử MITC3+, gọi là phần tử CS-MITC3+, dùng để phân tích tấm nhiều lớp dựa
trên lý thuyết biến dạng cắt bậc 3. So sánh và đánh giá hiệu quả của phần tử đề xuất
với các công thức PTHH khác.

5


1.4. Phương pháp nghiên cứu và cách tiếp cận.
Đề tài sử dụng phương pháp phần tử
hữu hạn được làm trơn trên phần tử kết
hợp với kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+
để tiếp cận và phân tích bài toán kết cấu
tấm composite nhiều lớp theo lý thuyết
biến dạng cắt bậc 3. Lý thuyết này được

LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO
CHO TẤM NHIỀU LỚP
2.1. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao:

Hình 2.1: Hình học ban đầu và hình học biến dạng trên một cạnh của tấm
với các lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và biến dạng
cắt bậc 3 (TSDT) [48].
2.1.1. Trường chuyển vị:
J.N. Reddy [10,12] đã xây dựng trường chuyển vị của lý thuyết tấm biến dạng cắt
bậc cao dựa trên hàm xấp xỉ bậc 3 của chuyển vị như sau:

7


u

u0  zT x  z 2[ x ( x, y )  z 3] x ( x, y ).

v

v0  zT y  z 2[ y ( x, y )  z 3] y ( x, y ).

w

w0 ( x, y )

(2.1)

Trong đó:
u, v, w: là các chuyển vị theo phương x, y, z.

(2.2)

Từ quan hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng trượt ta có:

W xz GJ xz ;W yz GJ yz
Với

(2.3)

J xz

wu ww
ww
T x  2 z[ x  3z 29 x 

wz wx
wx

J yz

wv ww
ww
T y  2 z[ y  3z 29 y 

wz wy
wy

8

(2.4)

T x  2 [ x  3¨ ¸ 9 x 
wx
2
© 2 ¹

0

(2.6)

2

J yxz

h
ww
§h·
T x  2 [ y  3¨ ¸ 9 y 
wy
2
©2¹

h/ 2

0

(2.7)

2

J yz

vào (2.5) và (2.6) suy ra ] x

Thực hiện tương tự với phương trình (2.7) và (2.8) ta có:

4
3

[ y 0 và ] y  h2 (T y 
Thay

ww
)
wy

[ x , [ y , ] x , ] y vừa tìm được vào (2.1) ta có:
u( x, y, z ) u0 ( x, y)  zT x ( x, y) 
v( x, y, z )

v0 ( x, y)  zT y ( x, y) 

ww ·
4 3§
z ¨T x  0 ¸
2
wx ¹
3h
©

ww ·
4 3§

4z3
u( x, y, z ) u0  ¨ z  2 ¸T x  2 E x
3h
© 3h ¹
§
4z3 ·
4z3
v( x, y, z ) v0  ¨ z  2 ¸T y  2 E y ;
3h
© 3h ¹

(2.12)

w( x, y) w0
Trường chuyển vị (2.11) chứa 7 ẩn số độc lập ^u0 v0 w0 T x T y E x E y

^

Trong đó: ^u0 v0 ` là các chuyển vị màng, w0 là độ võng, T x T y
T

quanh trục y, và trục x, E

^E , E `

T

x

y


­ wu0 ½
°
°
w
x
°
°
° wv0 °
®
¾
w
y
°
°
° wu0 wv0 °

°
°
w
wx ¿
y
¯

(2.14)

10


Vi

ẵ
wT x wE x



wx
wx




wT y wE y



cđ
ắ
wy
wy


Đ wT
wT ã Đ wE
wE ã
ă x  y á  ă x  y á
wx ạ â wy
wx ạ
â wy



(2.18)

ê Ex  Tx
s c ô
ằ
ơE y  T y ẳ

(2.19)

s

2.1.3. Trng ng sut:
Quan h ng sut bin dng trong mt lp composite ca vt liu trc hng.

11


+ Ứng suất trong mặt phẳng:
­V 1 ½
° °
®V 2 ¾
°W °
¯ 12 ¿

ª Q11 Q12
«Q
« 21 Q22
«¬Q61 Q62

Q16 º ­ H1 ½

Q 12 E2
;
1 Q 12Q 21

Q44 G23 ;

Q22

E2

1 Q 12Q 21

;

Q55 G13 .

(2.22)

Với E1, E2 là các mô đun đàn hồi theo phương dọc và phương ngang sợi.

Xij : là các hệ số Poisson.
Gij : là các mô đun đàn hồi trượt

Hình 2.3: Tấm composite gia cường sợi một phương
với hệ tọa độ tổng thể (x,y,z) và hệ tọa độ địa phương (x1,x2,x3) [48].
Nếu lớp thứ k của tấm có trục 1 (trục theo phương hướng sợi) tạo với phương x một
góc

D