Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

ĐỀ TÀI:
PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM NHIỀU LỚP
DÙNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO VÀ
PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐẲNG HÌNH HỌC
(ANALYSIS OF MULTI-LAYER BEAM USINGHIGH-ORDER
SHEAR DEFORMATION THEORYAND ISOGEOMETRIC METHOD)

HV: Vũ DiễmTrang
Lớp: CHXD1- ĐH Mở TP.HCM

i


Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này “Phân tích kết cầu dầm nhiều lớp dùng lý thuyết biến
dạng cắt bậc cao và phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học” là bài nghiên cứu
của chính tôi.
Ngoài trừ những tài liệu tham khảo đƣợc trích dẫn trong luận văn này, tôi cam đoan
rằng toàn phần hay những phần nhỏ của luận văn này chƣa từng đƣợc công bố hoặc
đƣợc sử dụng để nhận bằng cấp ở những nơi khác.
Không có sản phẩm nghiên cứu nào của ngƣời khác đƣợc sử dụng trong luận văn này
mà không đƣợc trích dẫn theo đúng quy định.
Luận văn này chƣa bao giờ đƣợc nộp để nhận bất kỳ bằng cấp nào tại các trƣờng đại

hình học sử dụng các hàm NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) có trong CAD
để mô tả cả dạng hình học đồng thời xấp xỉ các biến chƣa biết trong việc phân tích.
Việc kết hợp phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học để nghiên cứu ứng xử cơ
học của kết cấu dầm nhiều lớp dựa trên lý thuyết dầm bậc cao (bậc 5) sẽ cho đƣợc kết
quả tin cậy so với một số mô hình khác. Do kết cấu dầm đƣợc mô hình trong 1 chiều,
nên đặc trƣng hình học chính xác dùng IGA không là lợi thế. Tuy nhiên, luận văn này
khai thác tính liên tục của đạo hàm bậc cao của hàm cơ sở (hay hàm dạng trong IGA)
để phát huy hiệu quả của nó khi kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Do đó,
để phát huy ƣu điểm mô tả hình học chính xác của IGA, việc nghiên cứu cho dầm
cong sẽ là rất hứa hẹn cho công việc tƣơng lai.
Để kiểm chứng tính tin cậy và hiệu quả của lý thuyết áp dụng và phƣơng pháp
IGA, các kết quả đạt đƣợc của luận văn sẽ đƣợc so sánh với các kết quả tính toán
bằng những lời giải khác nhau đã công bố nhƣ: lời giải giải tích, lời giải chính xác
3D, hoặc các mô hình lý thuyết khác đƣợc nêu trong các bài báo đã công bố trên các
tạp chí uy tín. Các kết quả số của phân tích tĩnh, dao động tự do và phân tích ổn định
HVTH: Vũ Diễm Trang
Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM

iv


Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

này sẽ đƣợc đƣa ra với các điều kiện biên khác nhau, các thông số vật liệu khác nhau
dƣới tác dụng của tải trong phân bố đều, tải trọng phân bố hình sin.

Từ khóa liên quan:
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học, IGA, hàm NURBS, lý thuyết dầm bậc

2.2. Chuyển vị, biến dạng, ứng suất của dầm nhiều lớp ............................................ 17
2.3. Dạng yếu của mô hình dầm composite ............................................................... 20
CHƢƠNG 3 : PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐẲNG HÌNH HỌC ........ 27
3.1. Giới thiệu hàm B-splines và NURBS ................................................................. 27
3.2. Lý thuyết hàm cơ sở B-spline và knot vector[16] .............................................. 29
3.3. Hàm NURBS ...................................................................................................... 31
3.4. Công thức đẳng hình học của dầm composite nhiều lớp dựa trên lý thuyết dầm
bậc cao ....................................................................................................................... 32
CHƢƠNG 4 : CÁC ỨNG DỤNG SỐ ....................................................................... 35
4.1. Phƣơng pháp so sánh kết quả ............................................................................. 35
4.2. Phân tích tĩnh ...................................................................................................... 36
4.3. Phân tích dao động tự do .................................................................................... 61
4.4. Phân tích ổn định ................................................................................................ 68
CHƢƠNG 5 : KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ......................................... 75
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 77
HVTH: Vũ Diễm Trang
Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM

vi


Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

PHỤ LỤC .................................................................................................................. 81
PHỤ LỤC A: ĐOẠN CODES CHÍNH VIẾT CHO PHÂN TÍCH TĨNH DẦM
NHIỀU LỚP CHỊU TẢI TRỌNG PHÂN BỐ HÌNH SIN ........................................ 81
PHỤ LỤC B: ĐOẠN CODES CHÍNH VIẾT CHO PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ
DO CỦA DẦM NHIỀU LỚP .................................................................................... 89

Hình 2.2: Hệ trục của vật liệu (1, 2, 3) và hệ trục quy chiếu chung (x, y, z) [53]. ...... 16
Hình 2.3: Kích thƣớc hình học và hệ tọa độ của dầm nhiều lớp. ................................ 16
Hình 3.1: Sơ đồ minh họa các tham số của hàm NUBRS trong IGA [16]. ................. 28
Hình 3.2: Sự khác nhau giữa FEM và IGA[16]........................................................... 29
Hình 3.3: Sự khác nhau giữa Nodes (FEM) và knot vector (IGA) [16]. ..................... 29
Hình 3.4:Hàm cơ sở B-splines 1D – 2D [11]. ............................................................. 30
Hình 3.5:Sơ đồ khối tính toán chungtrong phƣơng pháp IGA [16]. ........................... 31
Hình 4.1:Kích thƣớc hình học và tải trọng tác dụng lên dầm nhiều lớp. .................... 35
Hình 4.2: Minh họa phân chia phần tử và các điểm điều khiển. ................................. 36
Hình 4.3: So sánh độ võng tại vị trí giữa dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, ................ 40
Hình 4.4: So sánh độ võng tại vị trí đầu mút dầm 3 lớp (0/90/0), ............................... 40
Hình 4.5: So sánh ứng suất trong mặt phẳng dầm 2lớp (0/90), gối tựa đơn, .............. 44
Hình 4.6: So sánh ứng suất cắt ngang dầm 2lớp (0/90), gối tựa đơn, ......................... 44
HVTH: Vũ Diễm Trang
Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM

viii


Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

Hình 4.7: So sánh ứng suất trong mặt phẳng dầm 2lớp (0/90), ................................... 45
Hình 4.8: So sánh ứng suất cắt ngang dầm 2lớp (0/90), 1 đầu ngàm, ......................... 45
Hình 4.9: So sánh ứng suất trong mặt phẳng dầm 2lớp (0/90), 2 đầu ngàm, .............. 46
Hình 4.10: So sánh ứng suất cắt ngang dầm 2lớp (0/90), 2 đầu ngàm, ....................... 46
Hình 4.11: So sánh ứng suất trong mặt phẳng dầm Cantilever 2 lớp (0/90), chịu tải
trọng phân bố đều, L/h=5. ............................................................................................ 47
Hình 4.12: So sánh ứng suất cắt ngang dầm Cantilever 2lớp (0/90), .......................... 47


Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

Hình 4.36: Hình dạng Mode 1 =9,316 dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5. ... 62
Hình 4.37: Hìnhdạng Mode 2 =22,4 dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5. ...... 63
Hình 4.38: Hình dạng Mode 3 = 39,08 dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5. .. 63
Hình 4.39: Hình dạng Mode 1 = 11,048 dầm10 lớp (0/90)5, gối tựa đơn, L/h =10.64
Hình 4.40: Hình dạng Mode 2 = 33,2418 dầm 10 lớp (0/90)5, gối tựa đơn, L/h =10.
..................................................................................................................................... 64
Hình 4.41: Hình dạng Mode 3  = 58,148 dầm 10 lớp (0/90)5, gối tựa đơn, L/h =10.
..................................................................................................................................... 65
Hình 4.42: Dầm 3 lớp (0/90/0), gối tựa đơn, L/h =5, Pcr= 8,613. ................................ 70
Hình 4.43: Dầm 3 lớp (0/90/0), 1 đầu ngàm, 1 đầu gối tựa đơn, L/h =5, Pcr= 10,32. . 70
Hình 4.44: Dầm 3 lớp (0/90/0), 2 đầu ngàm, L/h =5, Pcr= 12,729. ............................. 71
Hình 4.45: Dầm Cantilever, 3 lớp (0/90/0), L/h =5, Pcr= 4,736. ................................. 71

HVTH: Vũ Diễm Trang
Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM

x


Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1: Một vài hàm dạng trong các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ..................... 19



Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
CBT:

Class Beam Theory:

Lý thuyết dầm cổ điển

FEM:

Finite Element Method:

Phƣơng pháp phần tử hữu hạn

FOBT:

First-Order Beam Theory:

Lý thuyết dầm bậc nhất

HOBT:

High-Order Beam Theory:

Lý thuyết dầm bậc cao


Lý thuyết dầm hình sin

TOBT:

Third-Order Beam Theory:

Lý thuyết dầm bậc ba

HVTH: Vũ Diễm Trang
Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM

xii


Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

CHƢƠNG 1 : MỞ ĐẦU
1.1. Giới thiệu chung
Nội dung chƣơng này sẽ mô tả tổng quan về vật liệu composite, ứng dụng của
vật liệu composite trong cuộc sống từ cấu kiện đơn giản đến các kết cấu phức tạp
trong ngành xây dựng, đến những thiết bị, vật liệu cao cấp đƣợc sử dụng trong các
ngành: hàng hải, hàng không, vũ trụ. Ngoài ra, chƣơng này cũng giới thiệu tổng quan
về các lý thuyết đƣợc áp dụng trong luận văn, tình hình nghiên cứu tính toán kết cấu
dầm nhiều lớp trong nƣớc và thế giới. Từ đó sẽ đƣa ra mục tiêu, quy mô nghiên cứu
và bố cục của luận văn.
1.1.1. Giới thiệu về vật liệu composite và các ứng dụng
Cùng với sự phát triển của khoa học và kỹ thuật nhƣ hiện nay, việc nghiên cứu

composite từ những ứng dụng đơn giản trong thực tế cuộc sống (lan can bờ biển), đến
những kết cấu chịu lực công trình xây dựng dân dụng, công nghiệp, giao thông vận
tải, tiếp đến là những vật liệu, thiết bị cao cấp đƣợc chế tạo để sử dụng trong các
ngành: hàng không (máy bay chiến đấu, máy bay tàng hình); hàng hải (du thuyền, tàu
ngầm); vũ trụ (vỏ tàu vũ trụ, các động cơ phản lực), …

Hình 1.2: Hình ảnh các loại vật liệu composite-Nguồn: internet.

Hình 1.3: Vật liệu composite sử dụng trong các kết cấu cơ bản ngành xây dựngNguồn: internet.
Các thành phần cốt của vật liệu composite có độ chịu lực, độ bền cơ học cao,
vật liệu nền luôn đảm bảo cho các thành phần liên kết hài hoà tạo nên các kết cấu có
khả năng chịu lực, chịu nhiệt và chịu sự ăn mòn của vật liệu trong điều kiện khắc
nghiệt của môi trƣờng kể cả môi trƣờng biển. Vât liệu composite này đã đƣợc sử
dụng làm lan can bờ biển nhƣ trong Hình 1.4:
HVTH: Vũ Diễm Trang
Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM

2


Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

Hình 1.4: Lan can bờ biển đƣợc sản xuất từ vật liệu composite-Nguồn: internet.
Vật liệu composite đƣợc sử dụng trong các hệ kết cấu của công trình xây dựng
nhƣ hệ sàn composite, dầm composite trong các Hình 1.5 và Hình 1.6:

Hình 1.5: Hình ảnh hệ sàn composite và ứng dụng trong thực tế-Nguồn: internet.
HVTH: Vũ Diễm Trang

Hot gases

Compressor

Combustion
chamber

Nozzle

Hình 1.7: Vật liệu composite FGM chế tạo động cơ đốt trong, động cơ phản lựcNguồn: internet.
Do các vật liệu tổng hợp nhƣ sợi carbon có thể làm giảm rất lớn trọng lƣợng
của thân máy bay, do đó đƣợc ứng dụng rất nhiều trên máy bay chiến đấu

Hình 1.8: Máy bay F-22 Raptor đƣợc cấu tạo từ vật liệu hợp kim và compositeNguồn: internet
F-22 Raptor là một máy bay tiêm kích thế hệ thứ 5 sử dụng kỹ thuật tàng hình
thế hệ 4 (Hình 1.8). Đây là máy bay chiến đấu chiến thuật phải đƣợc tích hợp các kỹ
thuật mới ra đời gồm vật liệu hợp kim và composite, hệ thống động cơ mạnh, khả
năng bị phát hiện thấp, hay kỹ thuật tàng hình.
HVTH: Vũ Diễm Trang
Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM

5


Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

Du thuyền Happy Days (Hình 1.9) đƣợc cũng chế tạo bằng vật liệu composite
với các đặc tính vật liệu gọn, nhẹ và thiết kế đầy đủ các thiết bị công nghệ hiện đại.

cơ bản đến phức tạp thì dầm là một trong những loại kết cấu quan trọng cấu tạo nên
bộ khung chịu lực của công trình xây dựng, vì vậy việc ứng dụng vật liệu composite
để cấu tạo dầm là một trong những hƣớng phát triển tốt cho các công trình xây dựng.
Để ứng dụng thành công loại kết cấu này ta phải nắm rõ đƣợc ứng xử cơ học của nó:
đặc trƣng của biến dạng, phân bố ứng suất, tần số dao động tự do, tải trọng tới
hạn,…đƣợc áp dụng với những điều kiện khác nhau để từ đó đƣa ra những phƣơng án
thiết kế hợp lý, tiết kiệm chi phí… Các mô hình đƣa ra đƣợc nghiên cứu, tính toán
với nhiều phƣơng pháp khác nhau: phƣơng pháp giải tích, phƣơng pháp phần tử hữu
hạn (FEM) và áp dụng nhiều lý thuyết để tính toán cho mô hình kết cấu dầm nhƣ: lý
thuyết dầm cổ điển (Classical Beam Theory - CBT), lý thuyết dầm bậc nhất (First–
Order Beam Theory – FOBT), lý thuyết dầm bậc cao (High-Order Beam Theory –
HOBT): bậc 2, bậc 3, bậc 5, hàm mũ, hàm lƣợng giác,…và lý thuyết dầm cải tiến
(Refined Beam Theory):
HVTH: Vũ Diễm Trang
Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM

7


Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

- Lý thuyết dầm cổ điển (Classical Beam Theory - CBT): đƣợc áp dụng để
khảo sát khả năng ứng xử của dầm mỏng (dầm Euler-Bernoulli) vì bỏ qua ảnh
hƣởng của lực cắt ngang theo chiều dày của dầm. Theo lý thuyết này, công
thức tính trƣờng chuyển vị yêu cầu liên tục C1;
- Lý thuyết dầm bậc nhất (First–Order Beam Theory – FOBT): để xét đến
ảnh hƣởng của lực cắt ngang theo chiều dày của dầm, Timoshenko đã phát
triển một lý thuyết tính toán áp dụng cho dầm có chiều dày trung bình.Lý


Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

phù hợp hơn so với lý thuyết dầm bậc nhất (FOBT) và lý thuyết dầm cổ điển
(CBT).
Ta có thể tóm tắt các lý thuyết và phƣơng pháp tính toán dầm bằng phƣơng
pháp phân tích IGA nhƣ Hình 1.11.

Hình 1.12: Hình ảnh minh họa hệ thống các lý thuyết tính toán dầm.
1.1.3. Giới thiệu phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học
Ngày nay, các công cụ hỗ trợ cho việc thiết kế hình học trƣớc khi đƣa vào tính
toán (Computer Aided Design – CAD) đã trở nên phổ biến và quen thuộc đối với các
kỹ sƣ. Các công cụ hỗ trợ này cùng với việc sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn
để giải các phƣơng trình vi phân bằng các đa thức nội suy Lagrange sẽ giải quyết
đƣợc đa số các bài toán kỹ thuật mà trƣờng chuyển vị tổng quát yêu cầu liên tục C0.
Tuy nhiên đối với bài toán mà trƣờng chuyển vị tổng quát yêu cầu liên tục bậc cao thì
việc dùng đa thức nội suy Lagrange sẽ gặp khó khăn do có đạo hàm bậc cao trong
công thức ma trận độ cứng. Một số phần tử liên tục C0 đã đƣợc đề xuất để giải quyết
vấn đề đó nhƣ hàm nội suy Hermit. Tuy nhiên, với việc đƣa vào phần tử này thì sẽ gia
tăng các biến thêm vào làm chi phí tính toán tăng lên đáng kể. Năm 2005, Hughes và
các cộng sự [40] đã đƣa ra một phƣơng pháp tính toán số mới là phƣơng pháp phần tử
hữu hạn đẳng hình học (Iso Geometry Analysis – IGA) vừa thỏa mãn liên tục bậc cao
và cho kết quả chính xác. Phƣơng pháp này tích hợp công cụ thiết kế hình học (CAD)
HVTH: Vũ Diễm Trang
Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM

9


Luận văn Thạc sỹ

thuyết dầm bậc cao đã đƣợc nghiên cứu và ra đời, trong đó trƣờng biến dạng
đƣợc xấp xỉ bằng các hàm bậc cao: Stephan và Levinson đã nghiên cứu dầm
HVTH: Vũ Diễm Trang
Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM

10


Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

bằng lý thuyết dầm bậc 2 [37]; Reddy và Khdeir đã nghiên cứu phân tích tĩnh,
dao động và ổn định của dầm nhiều lớp bằng lý thuyết dầm bậc 3 [35], [7], [8],
[9]; Loc V.Tran và các cộng sự đã nghiên cứu kết cấu tấm nhiều lớp dùng hàm
bậc 5 [23]; M Karama và các cộng sự đã nghiên cứu dầm nhiều lớp với hàm
biểu diễn ứng suất cắt ngang là hàm mũ [27]; Santos và Reddy đã phân tích
dao động tự do, ổn định của dầm nhiều lớp dùng lý thuyết ứng suất kết hợp
[14]; Sayyad và Ghugal đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt hyperbol để phân
tích dầm chịu uốn [2]; tƣơng tự Dahake và Ghugal cũng nghiên cứu khả năng
chịu uốn của dầm dày gối tựa đơn bằng lý thuyết biến dạng cắt lƣợng giác [4];
Thuc P.Vo và cộng sự đã nghiên cứu khả năng chịu uốn của dầm dùng lý
thuyết biến dạng cắt hình sin [58]; Chiến và các cộng sự áp dụng lý thuyết biến
dạng hàm lƣợng giác ngƣợc để phân tích tấm composite [11]; Ghugal và
Dahake đã nghiên cứu dầm dày chịu uốn bằng lý thuyết biến dạng cắt hình
parabol [59]; Nazargah và các cộng sự đã phân tích tĩnh, dao động của dầm
nhiều lớp composite bằng lý thuyết toàn trục địa phƣơng bậc cao [28]; Sayyad
đã phân tích tĩnh và dao động tự do kết cấu dầm dày đẳng hƣớng bằng cách sử
dụng các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao khác [1].
Qua thời gian tìm hiểu, ngƣời viết luận văn này chƣa tìm thấy bất kỳ nghiên

phƣơng pháp phân tích phi tuyến đẳng hình học và dao dộng của dầm mỏng
bằng phƣơng pháp đẳng hình học [41];
- Nghiên cứu dao động và ổn định của dầm composite dùng lý thuyết dầm
bậc cao hình sin đƣợc Võ Phƣơng Thức, Thái Hữu Tài thực hiện trong các
nghiên cứu đã công bố trong tài liệu tham khảo [58].
Với kiến thức của ngƣời viết, việc nghiên cứu kết cấu dầm nhiều lớp dùng lý
thuyết dầm bậc cao kết hợp phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học còn rất hạn
chế ở Việt Nam, trong khi lý thuyết này đóng vai trò rất quan trọng để biểu diễn sự
phân bố ứng suất cắt dạng phi tuyến qua chiều dày của dầm. Trong luận văn này sẽ áp
dụng phƣơng pháp tính toán mới là phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học kết
hợp với lý thuyết dầm bậc cao (bậc 5) để phân tích tĩnh, dao động tự do và ổn định
của kết cấu dầm nhiều lớp.
1.4. Mục tiêu nghiên cứu
Để phát triển những phƣơng pháp tính ƣu việt, nhiều phƣơng pháp số đã đƣợc
nghiên cứu nhƣ: phƣơng pháp phần tử hữu hạn (Finite element method – FEM),
phƣơng pháp sai phân hữu hạn (Finite difference method – FDM), phƣơng pháp phần
tử biên (Boundary Element Method- BEM), phƣơng pháp không lƣới (Meshless
method), phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn… Gần đây, Hughes và các cộng sự đã
giới thiệu phƣơng pháp phân tích đẳng hình học (IsoGeometric Analysis – IGA) [15],
[16] dựa trên hàm cơ sở NURBS, đây là phƣơng pháp thực hiện cầu nối giữa công cụ
HVTH: Vũ Diễm Trang
Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM

12


Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng




Luận văn Thạc sỹ

Ngƣời HDKH: PGS.TS.Nguyễn Xuân Hùng

1.6. Bố cục của luận văn
Chƣơng 1: Mở đầu
Chƣơng 2: Cơ sở lý thuyết
Chƣơng 3: Phƣơng pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học
Chƣơng 4: Các ứng dụng số
Chƣơng 5: Kết luận và hƣớng phát triển
Các phụ lục tính toán
Tài liệu tham khảo.

HVTH: Vũ Diễm Trang
Lớp: CHXD1 – ĐH Mở TP.HCM

14