ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN THỊ HẢI YẾN

GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ THẾ
VÀ PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
TRONG CƠ LƢỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý Lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60.44.01.03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. CAO THỊ VI BA

Hà Nội – 2016


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tớiTS.Cao ThịVi Ba,người đã
tận tình hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực

hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và phòng Sau đại học
của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo điều kiện
tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô và toàn thể cán bộ bộ môn Vật lý lý
thuyết, khoa Vật lý của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà
Nội, những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên tôi.


MỞ ĐẦU
Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ được đề xuất lần đầu tiên vào năm 1959
trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số
liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao [10].Biểu diễn eikonal này có thể
thu được bằng ba phương pháp khác nhau: phương pháp sóng riêng phần (tìm hàm sóng
ở xa vô cùng), phương pháp hàm Green (giải phương trình vi tích phân) và phương pháp
chuẩn cổ điển (giải phương trình Schrodinger bằng gần đúng chuẩn cổ điển) [3].Các
phương pháp này nói chung dựa vào lý thuyết nhiễu loạn và khó sử dụng trong lý thuyết
trường lượng tử. Chính vì vậy, trong luận văn này chúng tôi muốn giới thiệu một phương
pháp mới, đó là phương pháp tích phân phiếm hàm cho bài toán tán xạ trong cơ học
lượng tử phi tương đối tínhkhông dựa vào lý thuyết nhiễu loạn[9].
Trong vùng tương đối tính và năng lượng cao, việc tổng quát hoá gần đúng eikonaltrên
cơ sở một lý thuyết chặt chẽ là một bài toán khá lý thú của lý thuyết trường lượng tử.Cơ
học lượng tử phi tương đối tính là lý thuyết đơn giản nhất mà trong khuôn khổ của nó với
giả thiết tính nhẵn của thế năng, đã thành công trong việc giải thích vật lý những đặc
trưng cơ bản tán xạ năng lượng cao của các hadron. Do mô hình quang học và phép gần
đúng eikonal liên quan đến phép gần đúng tổng quát hơn là phép gần đúng chuẩn cổ điển
trong cơ học lượng tử nên lý thuyết tán xạ thế cho ta cơ sở để đưa vào Vật lý hiện đại
phép gần đúng eikonal hay gần đúng quang học.
Ở đây, chúng tôi trình bày vắn tắt các kết quả vận dụng phương pháp chuẩn cổ điển hay
còn gọi là phương pháp WKB cho bài toán tán xạ năng lượng cao. Phương pháp WKB
được hiểu là phép gần đúng mà theo nó pha tán xạ tỷ lệ với hàm tác dụng cổ điển.
Phép khai triển theo sóng riêng phần là một phương pháp chủ yếu để nghiên cứu tán xạ
năng lượng cao, song năng lượng hạt càng cao thì ta phải tính một số lượng khổng lồ
sóng riêng phần thì phương pháp này trở nên kém hiệu quả. Vì vậy, người ta phải đề xuất
các cách tiếp cận khác để nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao của các hạt cơ bản.
Một trong các cách tiếp cận khác đơn giản hơn và rõ ràng về mặt vật lý chính là biểu diễn
eikonal hay biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ[3]. Lưu ý, biểu diễn eikonal cho biên



Trongluậnvăn, chúng tôi sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  1 và metric Feynman.
Vớivéctơ tọa độ phản biến là

x    x0  t , x1  x, x 2  y, x3  z   t , x 

thì các véctơ tọa độ hiệp biến là

x  g  x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z    t ,  x  ,

trong đótensor metric có dạng

g   g 

1 0 0 0 


0 1 0 0 


 0 0 1 0 


 0 0 0 1

Chƣơng 1
GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BÀI TOÁN TÁN XẠ[4]

1.1.





2



.

(1.3)


Giả thiết rằng,phương truyền sóng và biên độ của sóng phẳng trong toàn không gian là
không đổi.
Nếu môi trường không đồng nhất thì n  r  sẽ là hàm của tọa độ và sóng phẳng (1.2) với
vectơ sóng (1.3) sẽ không thỏa mãn phương trình (1.1).
Tuy nhiên, nếu bước sóng  nhỏ hơn nhiều khoảng cách đặc trưng d , mà ở đó chiết suất

n  r  thay đổi đáng kể, thì ở khoảng cách nhỏ đó sóng ánh sáng vẫn được coi là sóng

phẳng truyền theo hướng vuông góc với mặt sóng. Các hướng như vậy được gọi là tia.
Chúng ta tìm nghiệm của phương trình (1.1) trong trường hợp này dưới dạng

  aei .

(1.4)

Ở những khoảng cách nhỏ của không-thời gian, hàm  được gọi là eikonal. Ta có thể
khai triển nó thành chuỗi


 (aei  iaei  )





 

  2 aei  aiei   iaei   iaei i  iaei  2

 


  2 a  2ia  ia 2  a( ) 2  ei

(1.8)

Tương tự ta có
2
 2a
2
a 
 2
    i
i
ae


2
i

c   t
t t
t
 t  

Phương trình (1.10) là phương trình chính xác, hoàn toàn tương đương với phương trình
(1.1).
Giả thiết rằng a và  là các hàm biến đổi chậm của tọa độ và thời gian, bỏ qua các số


 2 a  2 a 
,
,
trong (1.10), chúng ta thu được phương
t 2 t 2 t t



hạng chứa Δa , Δ , a. ,
trình eikonal cho 




 

2

 2
 n  r     2




còn các tia được hướng theo k  .
Lưu ý sự tương tự ở đây, giữa các phương trình eikonal (1.11) và (1.12) với phương trình
Hamilton-Jacobi, mà trong cơ học cổ điển mô tả chuyển động của hạt trong trường thế
ngoài1. Trong trường hợp khi hàm Hamilton H  r, p  không phụ thuộc tường minh vào
thời gian, thì phương trình Hamilton-Jacobi có dạng
  S 
H r,    E ,
 r 

(1.14)

ở đây E là năng lượng của hạt, S  r, t   S0  r   Et là hàm tác dụng. Xung lượng của hạt
bằng
1

Sự tương đương giữa phương trình Hamilton -Jacobi và phương trình eikonal được Hamilton

thiết lập vào năm 1834.



  

p  S  r , t   S0  r  .

(1.15)


 

2m  E  V  r   tương tự với tổ hợp các đại lượng quang học n  r  .
c

Như vậy, các tia sáng trong môi trường với chiết suất n  r  trùng với quỹ đạo của hạt


trong trường thế V  r  mà đối với nó đại lượng 2m  E  V  r   tỷlệvới


2
c

2


n 2  r  . Hệ số tỷ

c2

lệ liên hệ giữa n2  r  và 2m  E  V  r  2 , là một đại lượng có thứ nguyên và không thể
ω
xác định được nó nếu ta chỉ dừng trong Vật lý cổ điển. Nếu sử dụng sự tương tự này giữa
quang học sóng và cơ học cổ điển thì ta có thể viết
 2m
 c2
n2  r   2  E  V  r  2 . (1.20)




trong đó, hàm số f   được gọi là biên độ tán xạ.
Theo công thức tính tiết diện ta cần phải tính mật độ dòng của các hạt tới và mật độ dòng
các hạt tán xạ theo công thức tổng quát




 *  *  , (1.22)
j

2mi 

và lưu ý
  f r
f (r ) 
. (1.23)
r r

Mật độ dòng của các hạt tới




 t* t  t  t* 
jt 

2mi 
  *   t
  t* 


Như vậy, mật độ dòng tới jt có độ lớn là
jt  v (1.25)

Mật độ dòng của các hạt tán xạ
 *

  *
jtx 





 tx  tx  , (1.26)
tx
tx
2mi 






trong đó



eikr
 tx  f  

*
*
 tx  f ( )  ik r  r 2  r .




 r

r

(1.27)

Thay (1.27) vào (1.26) ta được


1 ik 1  
2 r  ik
jtx  f ( )
 2   2

rr r
r r  2mi

 
2 r  2ik
 f ( ) 2 

r  r 2mi 



Tỷ lệ giữa xác suất hạt tán xạ rơi vào góc khối dΩ và mật độ dòng xác suất của các hạt
tớiđược gọi là tiết diện tán xạ vi phân
d 

jtx dS
(1.31)
jt

Thay (1.25) và (1.30) vào (1.31), ta được
d  f   dΩ. (1.32)
2

Mật độ tiết diện tán xạ được xác định bởi
2
d
 f   . (1.33)
d


Như vậy, việc xác định tiết diện tán xạ hoặc mật độ tiết diện tán xạ quy về việctìm biên
độ tán xạ. Việc tính biên độ tán xạ thường được tiến hành như sau: Tìm nghiệm của
phương trình Schrodinger cho chuyển động của hạt trong trường của tâm tán xạ. Tại các
khoảng cách ở xa tâm, nghiệm có dạng (1.21).Khi đó f   là biên độ cần tìm.
Để tìm biên độ tán xạ f   , ta cần tìm lời giải phương trình Schrodinger
 2
  
  E  V  r    r   0. (1.34)

 2m



Ta cho G0  r , r '   q 2G0  r , r '  , rồi thế vào (1.35) ta được
 

 


2 2
 ' 
 
 
 E  H 0  i  G0  r , r    E  q  i  G0  r , r '     r  r ' 
2m


2
  


iq  r  r '  

1
 
 
e
dq
 E  H 0  i  G0  r , r '    E  q 2  i  G0  r , r '  
3
2m


e
e
 2m 1


dq  2
dq
3 
2 2
3 
2
m
2
m
  2  E
 2  E   q  i
 q 2  i 2
2


2m
  
  

iq (r  r')
ik (r  r')
2m dq
e
1 2m e








(1.38)



ở đây k  r  là nghiệm bất kỳ của phương trình Schrodinger tự do,ví dụ: k  r   eikr .

Bây giờ, ta chứng minh  k  r  được xác định bằng phương trình (1.38) khi r   có
dạng tiệm cận (1.21).
Thay (1.37) vào (1.38) ta được
 
ik r  r '

   

1 2m e

'
' '
 k  r   eikr 
 ' V r  k r dr .
2  
4 
r r

Vậy khi r   biểu thức (1.39) có dạng




 k  r   eikr 


r
Đại lượng k  k
r

   

là vectơ sóng theo hướng của vectơ bán kính, và nó đặc trưng cho

hướng truyền các sóng cầu phân kỳ.

 
r r '


r
'

r
V (r ')
O
Hình 1.Chọn hệ tọa độ khi lấy tích phân trong công thức (1.39)




  r   eikr i  r  .

(1.43)

Thay (1.43) vào (1.34), ta có phương trình chính xác cho 
i

 2
2
2   

Δ 
2k      V  r   0 . (1.44)

2m
2m 

 

Nếu ta giả thiết rằng   r  là hàm nhẵn của tọa độ, như ta đã làm khi rút ra phương trình
eikonal trong quang học (1.12) thì trong (1.44) ta sẽ bỏ qua đạo hàm bậc hai của  . Như
vậy trong cơ học lượng tử, phương trình tương tự với phương trình eikonal là
 
  2
2m 
2k   r      r     2 V  r  .




(1.47)

Khi z   thì chỉ tồn tại sóng tới  r   eikz . Từ phương trình (1.43) ta suy ra
  x, y, z     0 .

Giải phương trình (1.47) với điều kiện biên   x, y, z     0, ta được


 r   

z

1
V  x, y, z dz.
v 

(1.48)


Như vậy, nghiệm của phương trình Schrodinger trong gần đúng đang nghiên cứu có dạng
  i z




  r   exp ikr 
V  x, y, z  dz .

v 




dxdydz ,

(1.50)



ởđây q  k  k ' .
Bây giờ tanghiên cứu tán xạ góc nhỏ, sao cho sự thay đổi xung lượng trong quá trình tán


xạ q có thể lấy với độ chính xác


1
vuông góc với k , tức là vuông góc với trục Oz. Trong
k

trường hợp này,tích phân theo dz trongbiểu thức (1.50) là của một vi phân toàn phần bởi


 

vì qr  q r nên không phụ thuộc vào z (các vectơ này là vectơ hai chiều, vuông góc với
trục z và chúng ta ký hiệu bằng  ). Lấy tích phân theo dz trong (1.50), ta có
z

m

de
2  2 
 i 
z
  i  V  x , y , zdz




m    2 iq r  v 
 z 

e
 z

 d b e


2  2  i  


i
 iq r   v  V  x , y , zdz 
mv
2
 

d b e
e 
1

v
f    f k , k 
d 2beiqb  e 
 1 ,



2 i









(1.51)



mv p
 .
ở đây b   x, y,0  ; k 



Đối với các thế năng có tính đối xứng thì trong (1.51) có thể lấy tích phân theo góc
phương vị. Sử dụng công thức tích phân Bessel
J n ( z) 

Trong công thức (1.51) ta thấy


e



i
V b , z ' dz '
v

 





 1  const ,

0  b  r
nên khi chuyển hệ  dxdy   bdbd 
0    2
r
2
r
' 
k
k
iqb cos
 f    f k , k 


2



(1.54)



,  là góc giữa k và k ' .

Biểu thức (1.51) cho phép giải thích vật lý dưới đây (xem hình 2). Từng phần của sóng
phẳng tới, đi qua vùng tác dụng của thế với thông số ngắm b , sẽ nhận sự dịch chuyển
củapha,mà nó tỷ lệ với tích phân dọc theo quỹ đạo thẳng, song song với trục z:



V
b
 , z  dz  .



 


b


r

Journal Particles and Nuclei, (Fiz El. Cht Atom Yad) Optical Model of Strong
Interactions and Eikonal Approximation in Scattering Theory, 4 (1973),
pp. 623-661.
8. Barbashov B.M, Kuleshov S.P., Matveev V.A., Pervushin V.N., Sissakian A.N.,
Tavkhelidze A.N. (1970), “Straight-line Paths Approximation in Quantum Field
Theory”, Phys. Lett., v.33B, pp.484-488.
9. Feynman R. and Hibbs (1968), “Quantum Mechanics and Trajectory”, Mir.
10. Glauber R.J. (1959), Lectures in Theorical Physics, New York, p.315.
11. Matveev V.A. and Tavkhelize A.N. (1971), “On The Representation of Scattering
Amplitudes as Path Integrals in Quantum Field Theory”, Translated from Theor.


Phys. and Math, v.9, p.44.
12. Nguyen Suan Han, Pervushin V.N (1989), “Gauge Invariant Quantization of Abelian
and non-Abelian Theories, The survey article”, Forschritte Der Physik, N8, pp.611656.
13. Nguyen Suan Han, Nesterenko V.V. (1974), “High Energry Scattering of the
Composite Particle in the Functional Approach”, JINR, P2-8258, Dubna, pp.1-21;
Journal of Theor. And Math.Phys, vol.24 (2) (1975), pp.768-775, TMF, vol.24 (2)
(1975) pp.195-205.
14. Nguyen Suan Han, Nesterenko V.V. (1976), “Bramsstrahlung Approximation for
Inclusive Processes”, Journal of Theor. And Math.Phys. Vol.29 (1976), pp.10031011.
15. Nguyen Suan Han, Pervushin V.N (1976), “High Energy Scattering of Particles with
Anomalous Magnetic Moment in Quantum Field Theory”, Journal of Theor. And
Math.Phys, vol.29 (2), pp.1003-1011, TMF, vol.29 (2), pp.178-190.