PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
TRONG LÝ THUYẾT HỆ NHIỀU HẠT CHO MẠNG TAM GIÁC ThS. TRẦN VĂN QUẢNG
Bộ môn Vật lý
Khoa Khoa học cơ bản
Trường Đại học Giao thông Vận tải

Tóm tắt: Công trình nghiên cứu các tính chất từ của hệ tam giác phản sắt từ Heisenberg
trong biểu diễn đơn fermion. Biểu diễn đó tương đương với đưa vào thế hóa học ảo Popov-
Fedotov μ = iπ/2β. Chúng tôi tính toán cho các thăng giáng lượng tử và nhiệt động tới số
hạng bậc nhất trong dãy khai triển xung quanh giá trị nghiệm của trường trung bình trong
trạng thái Neel. Các kết quả thu được có thể so sánh với các kết quả trong phương pháp tiếp
cận sóng spin.
Summary: We study mangetic properties of the spin 1/2 isotropic Heisenberg
Antiferromanget on triangular lattice within the fermionic representation under a rigorous
constraint of single particle site occupancy. This is realized by means of the Popov-Fedotov
procedure with the imaginary chemical potential μ= iπ/2β. We take into account quantum and
thermal fluctuations up to the first order in a loop expansion beyond the Neel state mean field
solution.The results are compared with those obtained by means of a spin wave approach.

CB-
CNTT
I. TỔNG QUAN
Các tính chất từ của vật chất cùng với tính siêu dẫn của nó đã và đang là đầu mối dẫn kỹ
thuật tới những phát minh cách mạng cho những công nghệ hiện đại ngày nay. Những nỗ lực
nghiên cứu trong quá khứ về các tính chất này đã để lại nhiều dấu ấn đáng ghi nhận, thậm chí đã
vươn tới những áp dụng vào thực tế mang lại những thắng lợi đáng ghi nhớ trên nhiều phương
diện cho con người. Nghiên cứu lý thuyết về lĩnh vực này hiện nay vẫn đang tiếp tục với nhiều

định những bằng chứng về sự tồn tại trạng thái nền lượng tử tương tự như trạng thái cổ điển.
Trong trạng thái này, các vectơ spin định hướng tạo với véc tơ spin của nút mạng lân cận góc
120
o
. Mặt khác, một số kết quả nghiên cứu lý thuyết khác về một các tính chất của mạng tam
giác này cũng cho những kết quả tương tự đáng chú ý. Các kết quả đó thu được từ nhiều phương
pháp tiếp cận khác nhau như: phương pháp sóng spin [12], bổ chính 1/s [3,13], tiếp cận Swinger
boson [14-16], phương pháp khai triển chuỗi [2],… Trong đó đáng chú ý là một số các tác giả
[12,13] đã cho thấy dạng phiếm hàm mô tả tính chất động học của các mangon cho mạng tam
giác S = 1/2 phản sắt từ Heisenberg có thể nhận lại cho giới hạn chuẩn cổ điển. Trong đó các
spin được mô tả bằng các fermion, hệ spin lượng tử Hersenberg tương ứng được mô tả bằng
phương pháp Abribosov. Nhưng lại xuất hiện trở ngại là không loại bỏ được các trạng thái phi
vật lý ứng với một số điều kiện ràng buộc trong đó.
Năm 1988, hai tác giả Popov - Fedotov đã đưa ra một mô tả mới bằng tích phân phiếm
hàm. Để thực hiện việc loại bỏ trên họ đã đưa vào một “giả” thế hóa học ảo [18]. Phương pháp
này đã đưa đến một áp dụng thành công cho các mạng sắt từ vuông (square lattice) thông
thường [19,20,4]. Trong công trình này, chúng tôi áp dụng phương pháp này để nghiên cứu làm
sáng tỏ trạng thái nền và nghiên cứu động lực học spin của mạng phản sắt từ tam giác.
CB-CNTT
II TÁC DỤNG HIỆU DỤNG
Mạng phản sắt từ tam giác spin ½ trong từ trường ngoài B
r
hướng theo trục Oz, khi chỉ xét
tới các lân cận gần nhất, được mô tả bằng Hamiltonian sau
B.SgS.SJ
2
1
H
ij i
z

với
∫
∑∑
β
=σ
σσστσ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ττ
β
π
+τ+τ∂ττ=
0
2,1,i
i
*
ii
*
i
)(a)(a
2
i)(H)(a)(adS (3)
(σ = ↑, ↓, τ, là các ma trận Pauli) (4)
Để thực hiện việc tính tích phân phiếm hàm (2), ta đưa vào trường boson, đóng vai trò như
một trường bổ trợ,
φ
r

Đặt
[]
∫
ττφ−
∫
β
φ=
d)(Si
0
0
0
eDZ
r
r
(5)
Với tác dụng của trường bổ trợ
[
]
)()()J(
2
1
)(S
ji
j,i

Để tách tích
ji
SS
r
r
, ta thu được hàm phân bố
() () ()
[]
[]
∫
β
ττττφ−
σ
σ
∫
ττμτφ
0
*
d)(a),(a),(S
~
i
*
i
0
ea,aDD
Z
1
.Z
r
r

τ
′
τττ=
↓
↑
↓↑
∑
i
*
i
i
i
i
*
i
1
a
a
,KaaS (10)
τ
′
τ
+
−
δ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

i
2
1
2
iI
ˆ
K
(11)
Thực hiện chuyển Fourier theo các tần số Matshubara các biểu thức (8)-(11), và tích phân
theo các biến Grassman ta nhận được [
]
φ−
∫
φ=
~
S
0
eff
eD
Z
1
Z
r
(12)
Trong đó tác dụng hiệu dụng
S
eff

2
1212b
∈−
β
π
=ω−ω
β
π
=ω , có

dạng tường minh sau:
()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ω−ωφ−δ
⎟
⎟
⎠

i)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2
i
i
K
12
z
i112i
12i12
z
i1
21i
21
21
(14)
III. XẤP XỈ SADDPOINT VÀ ĐÓNG GÓP BẬC THẤP NHẤT
Để tính (12), ta phân tíchφ
r
thành hai thành phần: phần trung bình, và phần thăng giáng
nhiệt động xung quanh giá trị trung bình
CB-CNTT
)()0()(

0
ở trên.
()
21
,ij
0i
0i
z
0i
z
121ij0
0
0
2
1
2
1
I
ˆ
iK
ωω
+
−
δδ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

+
−
21
z
i21i
21i21
z
i
21ij
2
1
M (18)
Số hạng thứ nhất trong (16) được tính thông qua phương pháp lấy thặng dư, kết quả như
sau 2
cosh
i
2
lnKlntr
0i
0
φβ
=
r
(19)
Do đó năng lượng tự do trung bình có dạng
()()
[]

thu được các phương trình tự hợp
()
[]
∑
φβ
φ
φ
=−φ
−
i
0j
j
j
i0i
ij
1
2
tanh
2
1
BJ
r
r
r
r
r
(21)
Từ quan hệ độ từ hóa địa phương
i
i

=
ij
0jij0i
mJ
4
tanh
2
1
m
(23)
Điều thú vị ở đây là từ các phương trình (22) và (23) ta có thể tính được nhiệt độ chuyển
pha bằng cách đặtm
io
= 0.
Tiếp theo ta tính toán cho các đóng góp của phần thăng giáng, số hạng ứng với bậc nhất
của ϕδ
r
cho đóng góp bằng không. Số hạng bậc hai có dạng sau đây
()
()
()
()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

⎣
⎡
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φφφ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φ

ω
φ
−
φφφφ
−
φφ
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φ
δφδφδφ=
+
−
−
ωωω
−
ω
−
ω
+
−
ωωω
++
ω

2
z
i
i
i
z
ii
i
i
z
ii
i
z
ii
ij
1
ii
ii
2
z
i
ii
z
i
)(
eff
J
4
1
PQ

n
2
β
π
=ω là tần số Boson Matshubara ()
()
()
()
2
tanh
2
2
P;
2
tanh
2
Q
0i
2
0i
2
i
0i
2
0i
2
0i

−+
0
z
0i
≠φ
Thực hiện khai triển Fourier các biểu thức (25)
∑
Ω
−+−+
ω−−δφωδφω=
,k
eff
),k(),k(),k(MS (26)
Với:
()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ω+φ
βφ
+

ki
ek (28)
Vectơ ρ
r
biểu diễn sáu lân cận gần nhất bao gồm: (± 1,0);
(
)
(
)
2/3;2/1;2/3;2 ±−±/1
CB-CNTT
Mở rộng giải tích iω → ϖ, từ (29) rút ra phổ năng lượng sóng spin
2
12120
2
0
)a2a()a2a(1881)k( −++φ−φ=ω (29)
Với
4
tanh)k(J4a;
2
tanh)k(Ja
0
2
0
1
β
φ
γ=
βφ

[3]. O. A. Starykh et al, Phys. Rev, B74 (2006) 180403 (R).
[4]. K. Takata et al, Nature, 422 (2003) 53.
[5]. R. Schaak et al, Nature, 424 (2003) 527.
[6]. M. Z. Hasan et al, Phys. Rev. Lett, 92 (2004) 246402.
[7]. D. Qian et al, Phys. Rev. Lett, 96 (2006) 046407.
[8]. P. Fazekas and P. W. Anderson, Philos. Mag, 30 (1974) 423.
[9]. B. Bernu et al, Phys. Rev, B50 (1934) 10048.
[10]. L. Cepriotti et al, Phys. Rev. Lett, 82 (1999) 3844.
[11]. D. J. J. Farnell et al, Phys. Rev, B63 (2001) 220402.
[12]. T. Jolicocur and J. C. le Guillou, Phys. Rev, B40 (1989) 2227.
[13]. A. V. Chubukoo et al, J. Phys. Condens. Matter, 6 (1994) 8891.
[14]. D. Yoshioka and J. Miyazaki, J. Phys. Soc. Jpn, 60 (1991) 614.
[15]. I. Ritchey and P. Glemon, J. Phys. Condens. Matter, 2 (1990) 9227.
[16]. C. J. Gazzo and H. A. Ceccatto, J. Phys. Condens. Matter, 5 (1993) L 135.
[17]. A. A. Abrikosov, Physics, 2 (1965) 5.
[18]. V. N. Popov and S . Fedotov, Sov. Phys JFTP 67 (1988) 535.
[19]. S. Tejima and A. Oguchi, J. Phys. Soc. Japan 64 (1995) 4923.
[20]. S. Azakov et al, Int. J. Mod. Phys, B14
(2000) 13.
[21]. R. Dillenschseider and J. Richezt, Phys. Rev, B73 (2006) 24409
♦