1
Tái chuẩn hóa bằng phương pháp điều chỉnh
thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử

Chu Minh

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên; Khoa vật lý
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60.44.01
Người hướng dẫn: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hãn
Năm bảo vệ: 2011

Abstract.
Trình bày các giản đồ phân kỳ một vòng: S-matrận và giản đồ Feynman, hàm Green và
hàm đỉnh, bậc hội tụ của giản đồ Feynman. Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng
phương pháp điều chỉnh thứ nguyên: giản đồ phân cực photon, giản đồ năng lượng riêng
của electron, hàm đỉnh bậc ba, đồng nhất thức Ward –Takahashi. Phân tích tái chuẩn hóa
điện tích và khối lượng trong tái chuẩn hóa điện tích, khối lượng, giản đồ một vòng trong
QED.

Keywords. Vật lý; Vật lý lý thuyết; Vật lý toán; Trường lượng tử

Content.

Luận văn này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại bằng cách điều chỉnh thứ
nguyên của hạt ảo trong gần đúng một vòng kín và minh họa quá trình tái chuẩn hóa
khối lượng và điện tích của electron trong QED ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu
loạn hiệp biến cho quá trình vật lý.
Sau khi tách được phần phân kỳ và phần hữu hạn, ta gộp phần phân kỳ vào
điện tích trần hay khối lượng trần của electron. Trong QED sử dụng việc tái chuẩn
hóa điện tích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ

ˆˆ
()
(2 ) ( )
D
v
D
d p p k m p m
k ie Sp
p k m p m
e
mn m
m g g
p
- + +
P=
- - -
ò

Sử dụng công thức tham số hóa tích phân Feynman:
( )
1
2
0
1
1
dx
ab
ax b x
=
éù

P = -

3
2 2 2 2
2
2 2 2
1 4 2
( ) ( ) ln (1 cot ).
3
12 3
reg
e m k
k k k k g g
mk
mn m n mn
pm
g q q
p
ớỹ
ổử
ùù
- - -
ữ
ùù
ỗ
ữ
P = - + - + -
ỗ
ỡý
ữ

- + - +
L = -
- - - -
ũ

S dng cụng thc tham s húa tớch phõn Feynman :
11
3
00
11
2
[ (1 ) ]
x
dx dy
abc
a x y bx cy
-
=
- - + +
ũũ

Vi:
2 2 2 2 2
; ( ) ; ( ' )a k b p k m c p k m= = - - = - -

Sau mt s tớnh toỏn ta thu c kt qu:
( , ', ) ( , ', ) ( , ', )
reg div
p p q p p q p p q
m m m

x
reg
x
eM
p p q dx dyG
e
M
dx dy
m
m
p m pm
g
g
p pm
-
-
ộự
ổử
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
L = - -
ỗ
ữ
ờỳ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ

-
ả
ộự
G=
ờỳ
ởỷ
ả

( ) ( )
,p p p
p
m
m
ả
L = S
ả

Chng minh:
0
1 1 1 1 1 1
lim

p
p p m p p p m p m p m p m
m
m
m m m
g
Dđ
ộự



Hình 2. 4
Dấu chéo ký hiệu việc thay đường photon với xung lượng bằng không vào đường electron

Đồng nhất thức Ward - Takahashi tổng quát ở những dạng tương đương:
( ) ( ) ( ) ( )
11
2 1 2 1 2 1
,p p p p G p G p
m
m

é ù é ù
- G = -
ê ú ê ú
ë û ë û
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1
,p p p p p p
m
m
- L = S - S

Từ các công thức :
( )
( ) ( )

éù
=
êú
ëû
¶
,
( )
1
,pp
Z
m
m
g
G=

Sử dụng đồng nhất thức Ward ta có :
12
ZZ=

Kết quả này rất quan trọng để chứng minh sự tái chuẩn hóa tại mỗi đỉnh của
lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
5
CHNG III. TI CHUN HểA IN TCH V KHI LNG
ELECTRON TRONG QED

0vatly
m m md=+
chỳng ta ng nht vi in tớch vt lý v khi
lng vt lý m ngi ta cú th o c chỳng trờn thc nghim. Vic gp cỏc giỏ
tr in tớch "trn", khi lng "trn" vi cỏc phn phõn k trong tớnh toỏn nhng
gin Feynman tng ng c gi l quỏ trỡnh tỏi chun hoỏ. QED da vo lý
thuyt nhiu lon v quỏ trỡnh tỏi chun hoỏ khi lng vt lý m
vt lý
ca electron
cho phộp ta thu c kt qu tớnh toỏn phự hp vi s liu thc nghim vi
chớnh xỏc tựy ý.
3.1. Tỏi chun húa in tớch:
tỏi chun húa in tớch ca electron, ta thit lp mi quan h gia in
tớch trn v in tớch vt lý ca nú bng cỏch xột biờn tỏn x hai ht khỏ nng
trong vựng gúc tỏn x nh.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0 1 1 2 2
2
2
1 1 2 2
4
1
1
if
M e u p u p u p u p
k

( )
2 2 2R
R
k g k k k k
mn
mn mn
P = - P

2
2 2 2
0
0 0 3 0 3
2
1 ; 1
6
R
e
e e Z e Z
pe
ộự
= - P = = -
ờỳ
ởỷ6


00
ˆ
ˆ
.
R
pm
m m p m m
=
= + S = + S
(3.20)
Quy trình tái chuẩn hóa trực tiếp khối lượng chỉ động chạm tới các đại lượng
phân kỳ
( )
ˆ
pS
và
12
( , )pp
m
L
rất phức tạp. Vì vậy ta chỉ giới hạn ở chỗ phân kỳ triệt
tiêu như thế nào? Đồng nhất thức Ward – Takahashi sẽ được sử dụng để chứng
minh sự triệt tiêu phân kỳ ở từng bậc của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.
Khai triển
( )
ˆ
pS
ở lân cận cực điểm
ˆ
pm=

Gp
qua thuật ngữ
( )
ˆ
pS
có dạng
7
( )
( )
( )
1
2
0
22
2
0
1

,1
8

R
pe
G p Z G p Z
p m m
pe
-
ổử
ảS
ữ

( , )pp
m
L
vo k thut gin s
l:
1 2 1 2 1 1 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )
R
pm
p p p p p p Z p p
m m m m
=
L = L - L = L
(3.23)

2
0
1
2
1
8
e
Z
pe
=-

Nh vy, in tớch c tỏi chun húa v khi lng c tỏi chun húa t
QED ó loi b cỏc phõn k ca cỏc gin : gin nng lng riờng ca photon,
gin nng lng riờng ca electron v gin nh.

= - G
ờỳ
ờỳ
ởỷ
(3.35)
Tha s
23
ZZ
s dựng tỏi chun húa cỏc nh khỏc hay cỏc ng ngoi.
Tha s trong du ngoc vuụng tỏi chun húa in tớch

1
3 0 3 0
2
Z
e Z e Z e
Z
==
(3.36)
8
Hình 3.9. Đỉnh đầy đủ có thể biểu diễn bằng tích của đỉnh riêng đầy đủ
và các hàm truyền đầy đủ.
Quan trọng ghi nhận là: điện tích tái chuẩn hóa chỉ phụ thuộc vào hằng số tái
chuẩn hóa phôtôn, chứ không phải tái chuẩn hóa hàm truyền electron hay hàm đỉnh.
Đẳng thức
12
ZZ=
được đảm bảo bằng đồng nhất thức Ward. Vậy hằng số
3
Z