Mômen từ dị thường của electron và phương
pháp điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực
học lượng tử Phạm Thị Thuận

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn ThS chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán ; Mã số: 60 44 01 10
Người hướng dẫn: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn
Năm bảo vệ: 2012 Abstract: Phương trình Pauli và mômen từ của electron. Các giản đồ Feynman cho đóng
góp vào moment từ dị thường của electron. Moment từ dị thường của electron trong gần
đúng một vòng. Việc tính moment từ dị thường của electron là bài toán phức tạp, trong
Luận văn này bước đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản bài toán
bằng việc bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, bỏ qua việc tái
chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, và hàm sóng của electron và trường điện
từ ngoài liên quan tới các đường ngoài trong gian đồ Feynman, và tính toán tới phần đóng
góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho moment từ dị thương của
electron.

Keywords: Vật lý toán; Động lực học; Lượng tử; Momen từ Content
MỞ ĐẦU

Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là điện động
lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển của QED liên quan


- gọi là magneton Bohr). Các hiệu
ứng phân cực của chân không– khi tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp
biến cho mômen từ electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lượng electron
 
0 R
mm
và điện
tích electron
 
0 R
ee
sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ sung, mà nó được gọi là mômen từ dị
thường. Lưu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị được lấy từ thực nghiệm.
Tuy nhiên, thực nghiệm đo được mômen từ của electron bằng
0
1,003875


, giá trị
này được gọi là mômen từ dị thường của electron. J. Schwinger thu được kết quả phù hợp với
thực nghiệm ( bổ chính cho mômen từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai
số tính toán với thực nghiệm vào khoảng
10
10 %

). Biểu thức giải tích của mômen từ dị
thường electron về mặt lý thuyết đã thu được

23

Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho mômen từ dị
thường của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình tính toán giản đồ
Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên
Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài
liệu tham khảo và một số phụ lục.
Trong Bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử

1c
và metric
Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ :

 
 
0 1 2 3
, , , ,x x t x x x y x z t x

     


thì các véctơ tọa độ hiệp biến :
   
0 1 2 3
, , , ,x g x x t x x x y x z t x

 
          

,
trong đó
1 0 0 0


trong phương trình Pauli
không phải là một vô hướng có một thành phần
 
,rt


phụ thuộc vào các biến không gian và
thời gian, mà còn chứa biến số spin của hạt là
z
s
. Kết quả để cho hàm sóng
 
,,
z
r s t


là một
spinor hai thành phần

 
1
2
,,
2
,,
,,
2
z


.

0
,
  


(1.2)
0

- là magneton Bohr, còn


là các ma trận Pauli. Khi đăt hạt vào trường điện từ ngoài, ta có
thêm năng lượng tương tác phụ.

 
0
0
2
e
e
U H s sH
mc m c


     



Kể thêm spin của hạt thì phương trình mô tả phải có thêm một năng lượng phụ
 
0
0
2
e
U H sH
mc

   

  
. Kết quả ta thu được phương trình

 
     
2
00
0
00
,,
1
,,
22
z
z
r s t
ee
i p A e r U r sH r s t
t m c m c

0
00
()
()
e
x
i c p A e A m c x
tc

  



   









(1.7)
Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận tiện ta viết các spinor
hai thành phần

13
24
,,

e
i c p A e A m c
tc
e
i c p A e A m c
tc

  

  



   



  




   










(1.10)
Phương trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm dương (+)

 
2
()
0
2
0
2
du
e
v
p A O
m c c c






  








2
3
20
0
3
00
1
ˆ
,
22
0
ˆ
0
nr
nr
iH
t
e e v
H m c p A eA B O
m c m c c















(1.16)
đúng đến bậc


2
2
v
c
cùng với toán tử và tự liên hợp
nr
H
.
1.3 Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli
Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ
ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc


2
2
v
c
và sai sót trong Hamilton ở bậc


3

i eA O O O
m c t c c
  
   


      
   



   

(1.20)
và

2
0
c e v
p A O
m c c c


   
  
   
   
(1.21)
ở đây


Cùng với

2 6 12 8
2 6 12 8
v v v v
O O O O
c c c c
       
       
       
   

 
2 4 2
2
1
, ,
2 8 8
v
O
c
 
    


    

     



K



đúng đến bậc


3
3
v
c
, đúng trong phương trình Pauli (1.16)
Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép biến đổi
Fouldy –Wouthuyen thứ hai với
K

cùng

,
2
iS
i
U e S




  
(1.30)
Từ đây suy ra

Quá trình tán xạ được mô tả bằng S-ma trận /1/

 
 
 
 
 
 
 
 
 
ex
int int
01
int
4
44
exp ; ;
1; ;
t
ext
S T L x d x L x ieN A
S S T L x d x T ie N A x d x


 
 


  

không của trường electron-pozitron.
Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b1) cho đóng góp
vào mômen từ dị thường của electron, còn ba giản đồ còn lại (b2), (b3), (b4) liên quan đến việc
chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa điện tích của electron, các hàm sóng của electron
và hàm sóng của trường điện từ ngoài. Ngoài ra ta còn bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến
khối lượng photon, và chỉ giữ lại phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh
Feynman (b1) cho mômen từ dị thường của electron
Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với giản đồ Hình
1.(a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:
 
2 1 0 2 1
4
1
| | | ( ) ( ) ( )|
ext
p S p e d xb p N x x A x p

  




. (2.4)
Vì trường ngoài
()
ext
Ax

không phải là toán tử mà là hàm số thông thường nên ta có thể bỏ ra
ngoài N-tích và

2
21
.
1
2
i p p x
m
u p u p e
pp











(2.6b)
Thay (2.6b) vào (2.4) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của electron ở
trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :

     
0
2 1 0 2 1 2 1
1
2
ex

   
21
ex ex 4
21
i p p x
tt
A p p e A x d x








là thế điện từ ngoài .
Chú ý, ta có thể viết yếu tố ma trận (2.7) dưới dạng tương tự:

 
2 1 1 20 10 fi
p S p p p R


(2.8)
trong đó
fi
R
được xác định bằng công thức:

     

,,p p p p
  

   
(2.10)
trong đó


là đỉnh « trần » , còn
 
12
,pp


được xác định bằng tập hợp các giản đồ Hình 1.
Tiết diện tán xạ ở bậc nhất theo trường ngoài cùng với tất cả các bổ chính được kể đến, được xác
định bằng, mà trong đó ta thay
21
uu


bằng
21
uu


.
2.3 Hệ số dạng điện từ
Yếu tố ma trận của tán xạ electron với trường ngoài ở bậc thấp nhất


 

     



(2.12)
Bỏ qua việc chuẩn hóa các hàm sóng ngoài , thì hàm đỉnh

   
2 1 2 1
,,p p p p
  

   
(2.13)
trong đó số hạng


là đỉnh “trần” , còn
 
21
,pp


được xác định bởi tập hợp các giản đồ.
Tiết diện tán xạ ở gần đúng bậc nhất với trường ngoài, cùng với các bổ chính thì biểu thức
   
21
u p u p


12
P p p
  

(2.15)

12
k p p
  


Khi các đường ngoài nằm trên mặt khối lượng
2 2 2
12
p p m
, thì chỉ có một biến độc lập bất biến
mà ta chọn là
2
k
. Định luật bảo toàn dòng

     
2 2 1 1
,0k u p p p u p



. (2.16)
Điều này dẫn đến các điều kiện sau

 
2 1 2 1
1
2
u u u P i k u
m
  



(2.18)
Ta có thể viết
 
    
22
2 2 1 1 2 1 2 1
1
,
2
u p p u u F k P i k F k i k u
m
    

  

   
 

;
12M
F F F
(2.20)
tương ứng với với hệ số dạng điện và hệ số dạng từ.
.
CHƢƠNG 3 - BỔ CHÍNH CHO MÔMEN TỪ DỊ THƢỜNG
3.1. Bổ chính cho mômen dị thƣờng trong gần đúng một vòng
Từ giản đồ Feynman bậc hai trong Hình 1, ta có
 
 
     
2
4
1 2 1 2
4
( , )
2
F F F
ie
p p d q iD k iS p k iS p k
  

  


   





(3.1a)

Tích phân này là phân kỳ ở cả hai vùng : vùng tử ngoại
 
q 
và vùng hồng ngoại
 
0q 
.
Phân kỳ tử ngoại là phân kỳ loga. Loại bỏ phân kỳ này có nhiều cách: phương pháp cắt xung
lượng lớn, phương pháp Pauli- Villars, và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên. Trong bản Luận
văn này ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên vì nó thông dụng trong lý thuyết trường
hiện đại. Sau khi điều chỉnh thứ nguyên công thức (3.1a) trở thành
 
 
   
 
   
12
2
12
22
2 2 2
12
ˆˆ
ˆˆ
,
2
d

ie
k i p k m i p k m i




  

   
      
   

(3.1b)
Với

   
12
ˆˆ
ˆˆ
N p k m p k m
  

  
    
(3.2)
Theo công thức tham số hoá Feynman

 
 
11

Tính mẫu số của
 
12
,pp


:
 
1D a x y bx cy    
(3.7)
=
 
     
22
2 2 2
12
1k i x y p k m i x p k m i y
  
   
          
   
(3.8)
 
1
2
2
2k k p x p y i

   
( Do



    

(3.11)
 
2
12
3
( , ) 2
2
d
d
d k N
p p ie
D




  

(3.13)
* Tính tử số của


:
   
1 2 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
4 k xp yp p p k xp yp k xp yp



  
        
(3.18)
     
  
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2( ) 4 4 4N q m x y q m m xp yp m x y p p

    

          
 
 
       
2
2
1 2 1 2 1 2
ˆ
ˆˆ
2 2 2 2d k k k d xp yp xp yp xp yp

  



 
   
 
 
1 2 1 2
22
4 4 ,
4
d
m p p m p p x y D x y
d

  


     


 
     
 
 

2
1 2 1 2
2
. . , 2 2
4
dd

2
1 2 1 2
00
, 2 . .
x
p p ie dx dy X B p p

  


     

(3.33)
 
 
 
 
    
2
2 2 2 2
12
2
2 2 2 4 . , 2
4
d
q m x y q m D x y d xp yp
d

          




cuối cùng ta được
 
   
22
1 2 1 2
,
2
i
p p F q q F q
m





  
(3.39)
 
  
11
22
1
00
1 2 . . 1 2
x
F q ie dx dy X mB






  


 
   
 
11
22
22
22
00
11
2
4

4
x
x y x y
me
dx dy
m x y xyq





    

x
x y x y
e
F q dx dy
xy


    





 
 
 
1
22
22
0
4 4 1
ln 1 .
22
44
ee
dx x x



    

m



(3.54)
trong đó
 
2
0F
được xác định bằng công thức (3.53). Theo công thức (2.33) tổng mômen từ
của electron bằng

 
 
2
1
0
1
0
F
e
S
mF








e
, khi
 
 
2
10
01F O e
. Như vậy
ta có :

21
2
g






(3.57)
trong đó
2
/4e


là hằng số cấu trúc tinh tế. Số hạng thứ hai từ moment từ dị thường và nó
được biết như bổ chính Schwinger .
Mômen từ dị thường của electron trong điện động lực học lượng tử được tính đến bậc sáu, và
tương tác yếu đã được kể đến. Kết quả ta có:
23

electron trong điện động lực học lương tử. Việc tính bổ chính cho mômen từ dựa vào lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến qua giản đồ Feynman. Những kết quả chủ yếu của Luận văn Thạc sĩ bao
gồm
1/ Phương trình Pauli chưa số hạng tương tác giữa mômen từ của electron với từ trường
ngoài, nhận được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodinger từ tư duy hiện tượng
luận; ii/ Thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính cho phương trình Dirac của electron trong
trường điện từ ngoài.
2/ Sự dị thường của mômen từ xuất hiện do tương tác của electron với chân không vật lý
của trường điện từ. Việc tính bổ chính cho mômen từ electron qua quá trình tán xạ của electron
với trường điện từ ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến
3/ Sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên chúng tôi đã tách được phần phân kỳ và
phần hữu hạn của số hạng bổ chính cho mômen từ. Phần phân kỳ của số hạng bổ chính được gộp
vào việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, còn phần hữu hạn của số hạng bổ
chính cho đóng góp vào mômen từ dị thường .
4/ Kết quả tính số mômen từ dị thường phù hợp khá tốt với số liệu thu được từ thực
nghiệm
Những kết quả thu được trong Luận văn Thạc sĩ sẽ là cơ sở để nghiên cứu việc tính
mômen từ của các hạt cơ bản trong các lý thuyết trường phức tạp hơn trong vật lý hạt cơ bản như
mô hình chuẩn mà nó thống nhất ba trong bốn loại tương tác hiện nay: điện từ, yếu và mạnh , và
trong sắc động học lượng tử. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.
2. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG, Hà Nội.
3. Phạm Phúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt cơ bản, ĐHQG, Hà Nội.
4. Hoàng Ngọc Long (2005), Cơ sở vật lý hạt cơ bản, NXB Thống kê, Hà Nội.
5. Hà Huy Bằng (2006), Các bổ chính vòng trong lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG,
Hà Nội.

được coi là
đại lượng dương xác định, phép lấy tích phân ở đây được thực hiện trong đó n là số không
nguyên.
Trong phép lấy giới hạn ở đây chúng ta có ngầm định:
22
1 ( 0)mm

   
. Trong không gian Euclide việc đưa phép khử phân kỳ bằng điều
chỉnh thứ nguyên có nghĩa:
 
4 3 2 1
(4) 0 ( ) 0
,
nn
E
n
d p d p dp d p d p dp





    
     
(A.1)
Ở đó thể tích
()n
là hình cầu đơn vị trong không gian n chiều được ngoại suy từ hàm
Gamma Euler:

 
11
3
00
11
2
1
x
dx dy
abc
a x y bx cy


     


(A3)
3/Tính tích phân theo xung lượng:
Ta có thể áp dụng một số công thức ví dụ như:
 
 
 
2
2
2
2
1
2
( 1)
2

A.2 Các tọa độ cầu trong không gian n-1 thứ nguyên
Các phép lấy tích phân
1n
dK

ở trên được thực hiện từ các tọa độ đến các tọa độ cầu kéo
theo
K
cùng (n -2) các biến số góc. Nhận thấy rằng các phương trình biến đổi

11
2 1 2
3 1 2 3
cos
sin cos
sin sin cos
KK
KK
KK


  



2 1 2 3 3 2
1 1 2 3 3 2

      

  
  


(A.6)

 
0
. os 1 cosp K EK p K c K E
  
   
(A.7)
Vì các biểu thức dưới dấu tích phân mà ta quan tâm chỉ phụ thuộc vào
K
và

, góc giữa p và
n-1 thành phần của K vector, qua hệ thức liên hệ

 
 
0
1
1
2
sin
1
2

2
n
n
nn
d K d K K d
n











 
(A.9)
Hay qua biến mới
osxc

 
1
1
1
1
Phụ lục B

Một số hệ thức với các ma trận Dirac

 
,2g
  


(B.1)
d




(B.2)

  


(B.8)
   
Tr d g g g g g g
         
   
  
(B.9)
Phụ lục C
Một số công thức tích phân vòng trong
điều chỉnh thứ nguyên  
 
 
   
2
2




(C.1)
 
 
 
   
1
1
2
2
22
2
11
1
2
2
42
d
d
dd
d
ig
d p p p
M
pM




11
1
2
2
42
d
d
dd
d
id
d p p
M
pM









   






