Đại học quốc gia hà nội
trờng đại học khoa học tự nhiên


nguyễn nh xuân ứng dụng phơng pháp tích phân
phiếm hàm để nghiên cứu một số vấn đề
tơng tác của lý thuyết trờng lợng tử

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62 44 01 01 tóm tắt Luận án tiến sĩ vật Lý Hà Nội - 2008 Công trình đợc hoàn thành tại: Bộ môn Vật lý lý thuyết -
Khoa Vật lý- Trờng đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học
Quốc gia Hà nội
Ngời hớng dẫn khoa học:
Giáo s, Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Xuân Hãn

Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Viễn Thọ
Phản biện 2: GS.TSKH. Đào Vọng Đức
Phản biện 3: GS. TS. Nguyễn Văn Thoả


Report at the Scientific Conference on Physics, organized by the Hanoi
University of Science, 25 November 2002, the Collection of Scientific
Reports, Hanoi University of Science Press.
5. Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2005), “Corrections to The
Leading Eikonal Amplitude For High Energy Scattering in Quantum
Field Theory and Quasi-potential Approach”, Vietnam National
Conference of 6
th
on Physics at Hanoi, from 23 to 25, November 2005,
organized by the Vietnam Physical Society, The Collection of Scientific
Reports, Science and Technical Publishing House, Ha Noi (2006), pp. 14-19.
6. Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2007), Eliminating on the
Divergences of the Photon self – energy Diagram in (2+1)
Dimensional Quantum Electrodynamics”, VNU. Journal of Science,
Mathematics - Physics, Vol.23, pp. 22-27. e-print arXiv: 0804.3612,
v.1, [hep-th] 22 Apr. 2008.
7. Nguyen Nhu Xuan (2007), “Some Effects of Quantum Gravity
Planckian Scattering”, Report at the 32
rd
National Conference on
Theoretical Physics, from 6 to 9, August 2007- Nha trang City, Khanh Hoa.
8. Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2008), “Planckian
Scattering Beyond Eikonal Approximation in the Quasi-Potential
Approach”, e-print arXiv. 0804.3432, v. 2 [hep-th], 2 May 2008;
submitted to European Physical Journal C.
- 1 -




+ =

.
(1.1)
Lời giải của phơng trình (1.1) đã đợc tìm
bằng nhiều phơng pháp khác nhau.
Cách thứ nhất, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn
cải biến. Trong phơng pháp này, hàm Green của
hạt vô hớng trong trờng ngoài đã tìm đợc dới
dạng tổng của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn theo hằng
số tơng tác g. Tuy nhiên kết quả tính toán mới chỉ
đa ra đợc số hạng gần đúng bậc nhất và bậc hai
của lý thuyết nhiễu loạn. Quá trình tính toán các bậc
nhiễu loạn tiếp theo là rất khó khăn, hơn nữa biểu - 2 -

thức, nếu thu đợc, cũng rất phức tạp (vì nó chứa
các toán tử trờng bậc cao). Điều này gây khó khăn
cho việc tìm hàm Green lợng tử khi lấy trung bình
phiếm hàm hàm Green
( , | )
G x y

theo các trờng
ngoài.
Cách thứ hai là thêm tơng tác bổ sung với

tơng tác, hàm Green
( , | )
G x y

sẽ tìm lại đợc theo
lý thuyết nhiễu loạn cải biến. Tuy vậy, biểu thức của
hàm Green lại chứa tích phân phiếm hàm của
nguồn tơng tác ở dạng bậc hai. Hàm Green tuy
thu đợc là kín nhng kết quả tính toán là rất phức
tạp.
Với cách viết (1.2), thừa số mũ, mà trong đó hệ
số có các đại lợng không giao hoán nh - 3 -

(
)
(
)
, ,
x
à

theo Feynman, đợc coi nh
T


exponent (T-tích). Biến số


G p q i d ye dse C i d
ig y p d d
à




=
ì + +


.
(1.3)
Ưu điểm của phơng pháp này là cho ta biểu
thức tổng quát của hàm Green dới dạng tích phân

( , | )
G x y A
của hạt có thể
tính đợc một cách chính xác. Trờng sóng phẳng
điện từ có dạng:
( ) ( )
kx
A x a
à à
=
, trong đó
( )
kx
a
à
là thế
năng của trờng sóng phẳng điện từ, với véctơ sóng
đẳng hớng
2
0
k
à
=
. Giả thiết rằng trờng sóng phẳng
là sóng ngang
( ) 0
kxk a
à à
=
. Thay trờng sóng phẳng

- 33 -giữa các hạt trong lý thuyết lợng tử, kể cả hấp dẫn lợng
tử. Việc nghiên cứu các hiệu ứng lợng tử liên quan đến
tán xạ năng lợng Planck sẽ tiếp tục nghiên cứu trong thời
gian tới.
Các kết quả nghiên cứu đã đợc trình bày tại Hội
nghị Vật lý toàn quốc lần thứ VI tại Hà Nội (2005), Hội
nghị Vật lý lý thuyết lần thứ lần thứ 32 tại Nha Trang -
Khánh Hoà (2007), các Hội nghị khoa học do trờng Đại
học khoa học tự nhiên -ĐHQG Hà Nội tổ chức tại Hà Nội
(2002, 2004), đồng thời đợc công bố trên mạng Quốc tế,
các Tạp chí khoa học quốc gia và quốc tế. - 32 -5. Số hạng bổ chính bậc nhất lần đầu tiên đợc tìm
trong tán xạ Planck hai hạt qua việc trao đổi các
graviton bằng phơng pháp phiếm hàm. Đã
chng minh rằng: các số hạng bổ chính này
trùng với số hạng bổ chính theo tong bậc của lý
- 5 -

( ) ( )
2 2
4 ( ) ( )
4
0
2 2
0
( , | )
(2 )
2 ( ) 2 ( )
s
0
exp i d kx kp kx kp
is p m ip x y
s
i
G x y A d p dse e
e a s ie d p a s
à à à




=
những biểu thức thu đợc ở đây. Cuối cùng chúng ta
sẽ tìm các số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ
tán xạ Eikonal ở vùng năng lợng cao.
ở đây, chúng ta không xét đến vấn đề tái chuẩn hoá.
Chúng ta cần tách các số hạng cực điểm dạng
2 2 1
( )
i
p m


và
2 2 1
( )
i
q m

trong công thức (2.2), để chúng triệt tiêu các
nhân tử
2 2
i
p m

và
2 2
i
q m

. Trong lý thuyết nhiễu loạn sự
triệt tiêu các số hạng cực rất dễ thấy vì biểu thức biên độ

một cách chặt chẽ về mặt toán học và tìm đợc
các biểu thức tổng quát chính xác cho biên độ
tán xạ hai hạt với nhau qua các loại tơng tác kể
cả tơng hấp dẫn dới dạng tích phân phiếm
hàm.
3. Sử dụng phép gần đúng quỹ đạo thẳng cho các
tích phiếm hàm và ở vùng năng lợng lớn, xung
lợng truyền nhỏ đã chứng minh biên độ tán xạ
thế hay biên độ tán xạ hai hạt có dạng biểu diễn
Glauber, mà pha của nó tơng ứng với thế năng
tơng tác dạng Yukawa. Biểu diễn này cho biên
độ tán xạ cũng có thể nhận đợc bằng việc khai
triển eikonal hàm Green tơng ứng trên mặt khối
lợng, và nó chính là số hạng chính (leading
term) trong chuỗi này.
4. Trong khuôn khổ của tích phân phiếm hàm và
phép gần đúng eikonal, đã tìm đợc số hạng
bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ Planck.
Số hạng này dẫn đến sự xuất hiện của hiệu ứng
trễ, mà nó có bậc nhỏ hơn số hạng chính mà ta
đã nhận đợc. - 30 -của trờng điều chỉnh. Từ biểu thức (4.10), dễ dàng
nhận thấy rằng điều này chỉ xảy ra khi hằng số
tơng tác bằng nhau c
1

2
mà trong phép chỉnh Pauli Villars có xuất
hiện sự sinh khối lợng photon hay không. Khi
1 2
c c
=
;
1
2

=
thì khối lợng photon đợc sinh ra trong
cả hai phép chỉnh thứ nguyên và Pauli Villars là
giống nhau
2
2
3 2
(0)
2 ( )
M
e
m

= . Điều quan trọng là ở
đây là các quá trình khử phân kỳ bằng các phơng
pháp khác nhau đều phải đảm bảo sự bảo toàn tính
bất biến chuẩn.
Kết luận
Những kết quả chính thu đợc trong Luận án
bao gồm :

2.2.1. Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai
hạt vô hớng trong trờng vô hớng
Biên độ tán xạ hai hạt vô hớng đợc giải thích
nh là phần d của hàm Green hai hạt tại các cực
điểm tơng ứng với các nucleon cuối.
Biên độ tán xạ đàn tính của hai nucleon vô
hớng có thể đợc biểu diễn dới dạng: - 8 - 1 1
2
( )
4
1 2 1 2 1 2
4
0
( , | , ) ( ) ( )
(2 )
ix p q
scalar
ig
T p p q q d xe D x d S p p






cho phép giữ lại sự phụ thuộc của hàm truyền
nucleon vào bình phơng xung lợng k
i
. Khi đó, số
hạng chính có dạng:

(
)
[ ]
(
)
( 0) 2 2 4
exp ( ) exp
n scalar
S i g i g


=

=



(2.5)
với

[ ]
( )
4
1 1

ì +
.
(2.6)
biểu thức của số hạng bổ chính bậc nhất
( 1)
n
S

=

là: - 29 -Rõ ràng từ (4.10) chúng ta có nhận xét rằng:
Nếu
10
<

<
thì s = -1 và các tơng tác c
1
và c
2



,
nó sẽ phản ánh khối lợng photon khác nhau.
Bây giờ, ta phải đối mặt với một vấn đề khác
là: giá trị nào của sẽ dẫn đến hiệu chỉnh khối
lợng photon? Chúng ta nhận thấy rằng
2
2
( )
M
k
là
hữu hạn ở vùng tử ngoại (bằng cách tính theo
chuỗi). Ta biết rằng một loop fermion phải đợc điều
chỉnh trong suốt quá trình tính toán để bảo đảm
bất biến chuẩn. Tuy nhiên, để làm điều đó, chúng
ta phải tác động vào phần hữu hạn của tensor cực
chân không phản xứng và hệ quả là sẽ sinh ra phần
khối lợng photon điều chỉnh. Sử dụng phơng pháp
chỉnh Pauli-Villars chúng ta cũng có thể tính toán
đợc các kì dị của mô men từ electron. Trái lại, nếu
không quan tâm tới sự bảo đảm bất biến chuẩn
trong quá trình tính toán, các kết quả vật lý thu đợc
không chính xác.
Để loại bỏ những lo lắng này, cần tìm giá trị
của sao cho nó có thể làm thay đổi sự đóng góp - 28 -



à à à à


= + + .
(4.9)
Sau khi lấy tích phân trong không gian xung
lợng, chúng ta nhận đợc
2
3
( ) 0
M
k
=
. Điều này là
hoàn toàn nh mong muốn do có bất biến chuẩn.
Điểm cốt yếu ở đây là ta không thể đơng nhiên chỉ
lấy một trờng phụ trợ nh thờng làm. Việc chọn
một trờng phụ trợ này sẽ vi phạm các điều kiện bất
biến chuẩn đã đặt ra. Mà ở đây chúng ta phải chọn
số lợng trờng điều chỉnh ít nhất phải bằng hai. Vì
thế chúng ta đặt:
2j khi 0c,c,1c
j21
>
=


2 ( )
M
e
s
m


=
với:
1
1s sign


= .
(4.10) - 9 - [ ]
2
( 1)
0
2
1
2 2 4 2 2


=


+ +

+ +

ì




+ + +
.
(2.7)
Trong biểu thức này hệ số đứng trớc ngoặc
tơng ứng với trạng thái eikonal chủ yếu của biên độ
tán xạ, trong khi các số hạng trong ngoặc xác định
độ lớn tơng đối của bổ chính tỉ lệ với
1/

của s. ở đây, chúng ta nhận thấy khi lấy tích phân - 10 -biểu thức (2.7) của S theo d dẫn đến sự biến mất
các hệ số trong chuỗi bán nguyên của s. Trái lại,
chấp nhận các số hạng mà chúng chứa chuỗi bán
nguyên của s sẽ là cần thiết cho việc tính toán các
bổ chính bức xạ tiếp theo trong biên độ tán xạ. Thật
thú vị khi thấy rằng sự xuất hiện trong

các biểu thức
bổ chính các số hạng phụ thuộc vào x
0
và x
z
(
0
z
x x x

=
), đây chính là hiệu ứng trễ, hiệu ứng này
vắng mặt trong số hạng tiệm cận chính tắc.
Thực hiện các tính toán tơng tự, tất cả các số
hạng tiếp theo của khai triển (2.7) giảm đủ nhanh
khi so sánh với những số hạng mà chúng ta đã viết.
Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng điều đó không có

4.4. Đánh giá sự phân kỳ của giản đồ năng lợng
riêng photon trong QED
3

Trong quá trình điều chỉnh 1 loop một mâu
thuẩn đã nảy sinh đó là nếu chúng ta sử dụng phép
chỉnh thứ nguyên để xác định phân kỳ tử ngoại thì
photon xuất hiện một khối lợng hình học trong khi
đó nếu dùng phép chỉnh Pauli Villars thì khối
lợng photon sẽ bằng không khi khối lợng phụ trợ
tiến đến vô cùng. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng sự mâu
thuẫn đó sẽ không xuất hiện trong QED
3
nếu các
quá trình tính toán đảm bảo cho lý thuyết bảo toàn
tính bất biến chuẩn. Quá trình tính toán đợc áp dụng
cho giản đồ phân cực của photon của QED
3
.
p
p-k
à

k
k

Giản đồ năng lợng riêng của photon
4.4.1. Chỉnh thứ nguyên cho giản đồ năng lợng
riêng của photon
Theo quy tắc Feynman giản đồ phân cực chân


thành ba số hạng. Kết quả cuối cùng chúng ta có : - 26 -Rõ ràng các kết quả thu đợc ở hai phép khử
phân kỳ khác nhau ở trên là đồng nhất. Tuy nhiên
điều chúng tôi muốn đề cập đến ở đây là với việc sử
dụng chỉnh thứ nguyên cho phép chúng ta khử phân
kỳ tổng quát trong điện động lực học lợng tử 3
chiều và 4 chiều. Hơn nữa so sánh kết quả thu đợc
của hàm Green trong QED
3
và QED
4
, ta thấy trong
QED
4
có cả phân kỳ hồng ngoại và phân kỳ tử
ngoại, còn trong QED
3
chỉ xuất hiện phân kỳ hồng
ngoại (tham số đóng vai trò nh khối lợng phụ trợ
trong điều chỉnh bằng Pauli-Villars). Điều này là
hoàn toàn dễ hiểu vì QED
4
là lý thuyết tái chuẩn hoá
đợc còn QED

(đặt:
2
(3 )
8
ie a



= ). Nếu ta
khai triển hàm này theo chuỗi của thì chúng ta sẽ
thu đơc các số hạng lôga đặc trng cho các tai
biến hồng ngoại mà ở phép xấp xỉ bậc không nó trở
thành hàm Green của trờng tự do. - 11 -tơng ứng với sự đóng góp cho các thế chuẩn hiệu
dụng kết quả từ việc trao đổi cặp nucleon và phản
nucleon.
Để kết thúc mục này, chúng ta quan tâm tới
trạng thái tiệm cận của biên độ tán xạ đàn tính của
hai nucleon vô hớng ở năng lợng siêu cao. Thực
hiện lấy tích phân theo
,
dx dx
+
và
d

2 2
4 2 4 2 4
11 1 2 12
2 2 2
2
1
( ) ( )
4(4 )
24(4 )
1 2
( ) ( )
2(4 )
8 (4 )
g g
T g F t F t
s
t s
g g g g
A F t F t A
s
t s
s s s s
t



à

à


xung lợng nhỏ, chúng ta thu đợc biểu diễn eikonal cho
biên độ tán xạ. Biểu thức này hoàn toàn trùng với các kết
quả tìm đợc bằng phơng pháp khác nh: phơng pháp
sóng xung kích (shock-wave method) của tHoop, phơng
pháp lý thuyết topo hiệu dụng ở giới hạn năng lợng bậc
Planck của Verlinder E. và Verlinder H, cũng nh
phơng pháp lấy tổng các giản đồ Feynman trong gần
đúng Eikonal.
2.3.1. Biên độ tán xạ đàn tính hai hạt trong tơng tác
hấp dẫn
Từ hàm Green của "nucleon" vô hớng (x) tơng
tác với trờng hấp dẫn g
à
(x) trong hệ toạ độ điều hoà thu
đợc ở chơng 1, suy ra biên độ tán xạ đàn tính dới
dạng:

[ ]
1 1
( )
2 4
1 2 1 2 1 2 1 2
1
1 2 1 2
0
( , ; , ) ( ) ( ; , ; , )
exp ( ; , ; , )
i p q x
T p p q q R t d xe x p p q q
d i x p p q q
và phân kỳ tuyến tính
(
)
ln

, trong QED
3
chỉ có phân kỳ tuyến tính
( , 0)


.
Sau khi điều chỉnh, biểu thức (4.3) phụ thuộc vào
tham số chuẩn a, còn biểu thức (4.4) không chứa
tham số chuẩn.
3.3. Phơng pháp chỉnh thứ nguyên
Để thu đợc hàm Green cho QED
3
, QED
4
ta
phải tiến hành thay số chiều không gian tơng ứng
sau đó tái chuẩn hoá khồi lợng hàm Green (4.1).
Trong QED
4

Thay
4 2

(3 )
2
1
ie a
Z m



=
, thu đợc:

2
2
(3 )
8
1
1 1
1
( ) 1
ie a
up
G p
m up m


=

.
(4.5)
Trong QED

các kết quả thu đợc phù hợp với hiện tợng thực
tiễn hơn. Để giải quyết vấn đề nay ta tiến hành theo
hai cách: phơng pháp chỉnh Pauli-Villars và
phơng pháp chỉnh thứ nguyên.
4.2. Phơng pháp chỉnh Pauli-Villars
Dựa trên ý tởng trên hàm Green của photon
tự do đợc thay bằng hàm Green đã điều chỉnh: ,
ở đây khối lợng phụ trợ đợc đa vào để khử
các phân kỳ hồng ngoại. Kết quả cuối cùng thu
đợc ta sẽ lấy giới hạn khi
, 0
M


. Bằng
phơng pháp này ta có kết quả sau:
Trong QED
4
:
Hàm Green của electron đợc thay thế bằng
hàm Green đã điều chỉnh. Kết quả là:

2
2
( 3)
8
1
1
1 1
1


.
(4.4)
Chúng ta thấy rằng, việc điều chỉnh hàm
Green trong QED
3
, QED
4
về hình thức tiến hành
theo các cách khác nhau. Trong QED
4
, chúng ta
nhân thêm vào hàm Green nghịch đảo hệ số nhân
tái chuẩn hoá, còn trong QED
3
, chúng ta tái chuẩn - 13 -2 2 2 2
0
2 2
2
2 2
1 2
2
2
( , ) exp ln


+


ì +









,
(2.11)
2 2
1 2
2 2
0
4 4
( ) ln 1 ; ,
2 4 2 4
z
dy
m t t m t t
z y z z
y
m t m t



r
r
r
r
,
(2.13) trong đó
(
)
1 1 0
( ); |
T p q K x
à

=
r
là hàm MacDonald bậc
không,

( )
2 2
0
2
2
2
. 1
( , ) exp ln

nhân tử là do hạt trao đổi graviton có spin bằng 2.
Cần nhấn mạnh thêm rằng, ở trên ta đã sử dụng phép
xấp xỉ lợng tử mềm, tuy nhiên nếu hạt trao đổi có thêm
bậc tự do (ví dụ nh điện tích) thì những giả thiết đơn giản về
độ lớn mô men của hạt trao đổi là bé cha đủ đảm bảo cho
phép lấy tổng nh vậy, vì bậc tự do sẽ ảnh hởng rất lớn tới
các đại lợng tơng thích giữa các hạt trao đổi. - 14 -2.3.2. Biên độ tán xạ không đàn tính hai hạt trong
tơng tác hấp dẫn
Sự sinh ra hạt thứ cấp trong va chạm của hai
nucleon đợc giải thích một cách tơng tự với các bức
xạ hãm của các hạt mềm trong điện động lực học lợng tử
có nghĩa là, bức xạ hãm của các nucleon va chạm,
tơng tác thông qua sự trao đổi các lợng tử ảo của
trờng
h
à
, và bức xạ hạt thứ cấp là ở cùng thời điểm đó.
Biên độ tán xạ của quá trình không đàn tính có dạng:
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 1
( )
4
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1

= ì
+ + + + + + + +ì



2 2
1 2
3
2
1
0
( )
1
( ) ( ) ( )
!
(2 ) 2
i i
i
N
ik x ik x
i

ik x

của
phơng trình (2.15). Nói cách khác, chúng ta chỉ quan
tâm tới sự sinh các graviton mềm mà chúng không làm
ảnh hởng tới chuyển động của các nucleon tán xạ
năng lợng cao.
2.3.3. Đóng góp bổ chính cho biên độ tán xạ đàn tính ở
vùng năng lợng Planck
Với cách tơng tự nh đã thiết lập trong mô hình tự
tơng tác hạt vô hớng ở mục 2.2, số hạng bổ chính bậc
nhất trong trờng hợp trờng hấp dẫn lợng tử có dạng: - 23 -

Chơng 4:
Khử phân kỳ và tái chuẩn hoá khối
lợng hàm Green trong mô hình
Bloch-Norsieck cho QED
3
và QED
4

Trong chơng này, chúng tôi áp dụng phơng
pháp trung bình phiếm hàm để tính hàm Green
lợng tử G(x,y) trong trờng ngoài của mô hình

1 ( )
( ) (1 )
(2 ) ( )
i uk
n
n
ie uk
f d d d k a e
k i k i






= ì +

+ +


.
(4.2)
Để xác định hàm Green lợng tử cần tìm cách
tính các tích phân trong biểu thức (4.2). Rõ ràng
trong biểu thức này chứa các tích phân phân kỳ. Xét
về mặt toán học khó có thể tính trực tiếp (4.2) đợc, - 22 -


= = + = +
r
r
r
r r
&
r
r r

(3.6)

[ ]
( )
( ) ( )
{ }
2
2
1
2 1 2 1 1 2 2 1 2
2 2
1 2 1 2
- 15 -( )
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
( 1)
0
2
1
2 2 4 2 2 2
2
0 1
2
exp
2
1 ( ) ( )
2
-
4 8
n tensor
i s
S K x
x
i s
x x x x K x




+ + +


.
(2.16)
Điều quan trọng cần lu ý ở đây là khác với mô hình
vô hớng tự tơng tác
3

, các số hạng bổ chính tơng
ứng trong lý thuyết hấp dẫn lợng tử là tăng theo sự tăng
của năng lợng.
Sau khi lấy tích phân theo dx
+
, dx
-
và d cho biên độ
tán xạ ở giới hạn năng lợng cao
2
PL
s M t
>> >>
, chúng ta
thu đợc dạng eikonal tiếp theo:

(
)

phơng trình chuẩn thế Logunov Tavkhelidze. Kết
quả đợc tính tới số hạng gần đúng bậc nhất theo
hằng số tơng tác g, kết quả đợc tính trong giới
hạn năng lợng cao và xung lợng truyền cố định. - 16 -Số hạng chính cho ta biểu diễn eikonal đã biết, còn
các số hạng bổ chính bậc nhất có bậc nhỏ hơn số
hạng chính là






s
t
. Phép gần đúng đợc sử dụng
ở đây là gần đúng eikonal, vì số hạng bậc không
của chuỗi nhiễu loạn cho ta biểu diễn eikonal của
biên độ tán xạ ở vùng năng lợng cao và xung
lợng truyền nhỏ. Trong chơng này chúng tôi cũng
thiết lập mối liên hệ giữa hai phơng pháp chuẩn
thế và tích phân quỹ đạo đồng thời đa ra sự so
sánh sơ đồ tính toán tơng ứng. Chúng tôi sẽ áp
dụng các kết quả tìm biên độ tán xạ hai nucleon
đã trình bày ở đây trong một chuẩn thế cụ thể là thế

2 2 2 2
4 4( ' )
s p m p m
= + = +
là năng lợng khối tâm;
Nói chung, chuẩn thế U là hàm phức của năng
lợng và xung lợng tơng đối của hai hạt. Phơng
trình chuẩn thế sẽ trở nên đơn giản hơn nếu chuẩn
thế U là nhẵn hay nói cách khác chuẩn thế U là - 21 -
( )
( )
4 3 6
(0)
1 2
4
2 2 5
1
; ( ) ( )
2(2 ) 3(2 )
2
tensor
T s t F t F t
t




.
Để kết thúc mục này, điều quan trọng chúng tôi
muốn chỉ ra ở đây là trong khuôn khổ lý thuyết
trờng chuẩn cho biên độ tán xạ năng lợng cao,
các phơng pháp khác nhau đã đợc phát triển để
khảo sát tính chất tiệm cận của các giản đồ
Feynman riêng rẽ và lấy tổng của các giản đồ này.
Trong các lý thuyết khác nhau bao gồm cả lý thuyết
hấp dẫn, việc tính toán các giản đồ Feynman đợc
tiến hành tơng tự nh cách chúng ta đã thực hiện
trong chơng 2 với QED. Sự tin cậy của phép gần
đúng eikonal phụ thuộc vào spin của hạt trao đổi
tơng tác. Bằng phơng pháp nhiễu loạn, các bậc
khác nhau trong số hạng chính của biên độ tán xạ
thu đợc ở mỗi mô hình là đáng tin cậy, tuy nhiên
khi lấy tổng của các số hạng này thì chúng ta lại
thấy nó không trội hơn so với các số hạng mà chúng
ta đã bỏ qua trong phép gần đúng này. Sự tin cậy
của biên độ tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn là
không chắc chắn. Vì thế, thay cho phơng pháp lý
thuyết nhiễu loạn, cách tiếp cận chuẩn thế của
chúng tôi trong chơng này dựa trên biểu thức chính
xác của biên độ tán xạ và lý thuyết nhiễu loạn cải
biến mà ở bậc thấp nhất chính là biên độ tán xạ - 20 -


vector
g g g
T s t F t F t
t s s
s
à


= +



,

( )
( )
4 3 6
(1)
1 2
6
2 2 5 2
3 2
; ( ) ( )
(2 ) 2(2 )
2 2
vector
g g g
T s t F t F t
t s s
s s

thì chuẩn thế đợc xác định bằng cách khai triển
thành chuỗi vô hạn theo hằng số tơng tác, nó
tơng ứng với việc khai triển nhiễu loạn biên độ tán
xạ trên mặt khối lợng. Nghiệm gần đúng thu đợc
của phơng trình trên (3.1) chỉ đợc tìm ở thứ tự bậc
thấp nhất của chuẩn thế. Để giải quyết đợc bài
toán một cách thuận lợi thì ta phải cải tiến phơng
pháp này trong phép khai triển mà nó có tên gọi
phơng pháp nhiễu loạn cải biến.
3.2. Trạng thái tiệm cận tán xạ năng lợng cao
Trong biểu thức tiệm cận của biên đô tán xạ
chúng ta giữ lại hai số hạng gần đúng đầu tiên (số
hạng chính tắc và số hạng gần đúng tiếp theo)
Số hạng thứ nhất mô tả dáng điệu eikonal cho
biên độ tán xạ, còn các số hạng bổ chính tiếp có
bậc nhỏ hơn số hạng chính cỡ ~ (
s1
). Sự phụ
thuộc vào năng lợng s của số hạng chính và số
hạng bổ chính cũng tơng tự nh kết quả mà ta thu
đợc bằng cách qua biểu diễn toạ độ . - 18 -Một hiệu ứng tơng tự cũng đợc quan sát ở
đây, đó là sau khi lấy tích phân các số hạng này sẽ
dẫn đến sự biến mất các hệ số của chuỗi bán
nguyên của s. Trái lại nếu chấp nhận có các số

t s s
s
à


= +



,
(3.2)

( )
( )
4 3 6
(1)
1 2
6 2 2 2 5 4
2
3
2
; ( ) ( )
2(2 ) 8(2 )
4 2
scalar
g g g
T s t F t F t
t s s
s s
à

chuỗi khai triễn mà chúng ta thực hiện là hội tụ. Vì
vậy, việc tính các số hạng bậc cao là không cần
thiết khi chúng ta xét đến vùng năng lợng Planck
trong phép gần đúng eikonal.
Nghiên cứu bài toán cho biên độ tán xạ gần đúng
eikonal ở năng lợng cao và xung lợng truyền cố định,
bằng phơng pháp chuẩn thế nhận đợc kết quả thật thú
vị, bởi vì nó không những thừa kế đợc vấn đề cũ mà còn
khắc phục và tìm đợc bổ chính bậc nhất cho biên độ tán
xạ. Cụ thể là:
Số hạng chính cho biên độ tán xạ trùng với
biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trong cơ học
lợng tử phi tơng đối. Cũng nh số hạng chính
trong biểu diễn toạ độ và biểu diễn xung lợng, khi
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ ở
cùng điều kiện. Số hạng này tơng ứng với biểu
thức đợc tính với gần đúng quĩ đạo thẳng cổ điển
trong cơ học lợng tử.