Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường đại học sư phạm hà nội 2

Luận văn tốt nghiệp

Áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải
các phương trình vật lí toán

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Dịu
Lớp:k31A vật lí
Người hướng dẫn khoa học: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Hà nội 2009

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Mục lục
Mở đầu

1


14

4. Tổng kết chương 1

24

Chương 2: Phương trình dao động của màng

25

1. Thiết lập phương trình dao động của màng

25

2. Giải phương trình dao động tự do của màng chữ nhật

26

3. Một số bài toán minh hoạ

29

4. Giao động cưỡng bức của màng chữ nhật

32

5. Phương trình Bessel

33



45

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

4.2. Sự truyền nhiệt trong thanh hữu hạn - Điều kiện tổng quát

46

5. Bài toán minh hoạ

49

6. Tổng kết chương 3

61

Chương 4: Hàm Bessel (hạng bán nguyên phương trình Bessel
dạng M+

62

1
)
2


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Lời cam đoan
Khoá luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy, cô
giáo trong khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS Phạm Thị
Minh Hạnh
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em có tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài: “áp dụng phương pháp
tách biến Fourier để giải các phương trình vật lý toán” không có sự trùng
lặp với kết quả của các đề tài khác.
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Dịu

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, các bộ môn khoa học không thể tồn tại, phát triển
và vững mạnh nếu không dựa trên sự phát triển của các môn khoa học khác.
Thực tế đã chứng minh điều này một cách rõ ràng. Một chuyên ngành vật lý


phương pháp tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết trường lượng tử ” là rất
cần thiết.
Mỗi dạng bài nêu được.
- Lý thuyết và phương pháp giải từng dạng
- Bài tập đặc trưng, lời giải và đáp số cụ thể của các bài tập đó.
Đề tài này giúp cho em hiểu sâu hơn về bộ môn “phương pháp toán lý”
nói chung và cách giải các phương trình dao động, phương trình truyền nhiệt
nói riêng. Bước đầu tạo cho em thói quen cũng như khả năng giải bài tập sử
dụng phương pháp tách biến Fourier. Từ đó các có cái nhìn hệ thống về lý
thuyết cũng như bài tập môn phương pháp toán – lý.
Qua đó có cái nhìn khái quát đơn về bức tranh vật lý muôn màu.
2. Mục đích nghiên cứu
Xác định phương pháp giải các phương trình Vật lý – toán và hệ thống
bài tập áp dụng phương pháp tách biến Fourier
3. Giả thiết khoa học
Sử dụng hợp lý phương pháp giải và hệ thống bài tập pháp biến.
Về phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể là phương trình dao động của
dây, màng và phương trình truyền nhiệt không những rèn luyện kỹ năng giải
bài tập mà còn có tác dụng góp thêm một phương pháp nữa trong việc tìm
nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc 2.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình dao động của
dây, màng và phương trình truyền nhiệt.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Thiết lập một số phương trình Vật lý – Toán.
- áp dụng, phương pháp tách biến Fourier để giải một số bài toán.
- Hệ thống các bài tập sử dụng phương pháp này.
6. Phạm vi nghiên cứu


động sợi dây dao động theo phương


T

vuông góc với trục Ox. Vị trí sợi dây

1

Q2


p

tại mọi thời điểm như nhau. Lập
phương trình cho hàm U(x,t)

x1

x2




Xét đoạn dây từ x1 đến x2, xác định các lực tác dụng T1 , T2 ( T1 = T2),
ngoại lực (ví dụ trọng lực của sợi dây)
áp dụng phương trình định luật II Newton có
   
T1 + T2 + P = ma


Bùi Thị Mai Phương

u
tg
u
x


1  tg2
 2u x
1 2
x

Trong đó

sin  =

Do đó

 2u
T [sin  (x2)-sin  (x1)] = T  2 dx
x t
x2

1

x2

Thay vào (7) có





thứ nguyên [a] =

m
là vận tốc truyền sóng.
s

* Nếu g = 0 thì (8) là phương trình dao động tự do của sợi dây không
có ngoại lực.
* Nếu g  0 thì (8) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây.
2. Dao động tự do của sợi dây
2.1. Phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn.
Xét một sợi dây có chiều dài  , khi ở trạng thái cân bằng thì 0  x  
dọc theo trục ox. Hai đầu nút gắn chặt trong quá trình dao động.
U(x,
t)

Phương trình dao động
Utt''  a2U xx''  0 (9)

Điều kiện ban đầu tại thời điểm t = 0
U/t=0 = f(x) ; U’t/t=0 = F(x)
0  x 
Trong đó hàm U = U(x,t)
K31D – Vật lý

(10)
O

T( ''t ) a2 X'' ( x)

T( t )
X( x)

T( ''t )
X'' ( x)
Do
không phụ thuộc vào x và
không phụ thuộc vào t nên
X( x)
T( t )
''
1 T( t ) X'' ( x)
=
= Const = C
a2 T( t )
X( x)

Đặt

C   ta có
X'' ( x)
= -   X’’(x) +  X(x) = 0
X( x)
''
1 T( t )
= -   T’’(t) +  a2 T(t) = 0
2
a T( t )

Từ điều kiện biên (11) ta có
C1= 0
C1 + C2  = 0
Hệ này có nghiệm C1= C2= 0 và X(x) = 0
= C2 > 0 nghiệm tổng quát của (13) là

+

X(x) = C1con Cx + C2 sin Cx
Từ điều kiện biên (11) ta có
Ux=0  Xx= 0 = 0  C1 = 0 = X(0)
U x = 0  Xx =  = 0  C2 sin Cl = 0

C2  0  X( x)  0  lo¹i

 SinCl  0
Khi đó

Cl = k   C =

Do đó mà

k2 2
= 2
l

k
l

( k =  l  2..)


T’’ + a2 c2 T = 0 Đặt a2c2=  2



Nghiệm tổng quát của phương trình (14) có dạng
Tk(t) = Bkcos

k at
k at
+ Pk sin
l
l

Từ nghiệm của hai phương trình trên ta có nghiệm riêng của 2 phương
trình là :
Uk(x,t) = (ak cos
Với

k at
k at
k x
+ bk sin
) sin
l
l
l

ak = Ak Bk ; bk = Ak Dk



k x
k 1
.l
= 0 x =
l
k

Những điểm cố định dao động trên với biên độ cực đại là bụng sóng

sin

k a
k x
 1 tần số  k =
. k = l là tần số âm cơ bản k  1 ứng với
l
l

các hoạ âm.
* Nghiệm tổng quát của phương trình


U(x,t) =

U ( x, t )   sin
k 1

K31D – Vật lý


Ut=0 = 0   ak sin
k 1

k x
 f ( x)
l

 ak là hệ số khai triển Fourier của hàm f(x) theo Sin trong [0,l]

ak =
Và


2l
k
f ( )sin  d

l c
l

’

U t=0 = F(x) 
F(x) = sin

tương tự có bk =





2.2.1. Bài toán 1
Xác định dao động của một dây có chiều dài L thoả mãn phương trình:

Utt''  a 2Utt''  0 (a = const)
Thoả mãn điều kiện ban đầu
U t 0  x; U t',t 0  L

và điều kiện biên U x0  0 ;U x1  0
Cách giải
Giả sử nghiệm riêng của phương trình có dạng U( x,t )  X ( x )T (t )


XT’’ – a2 X’’T = 0 

1 T '' X ''

= C = const
a2 T
X

Vì hai vế là hàm của 2 biến số khác nhau nên chúng chỉ bằng nhau khi
cùng bằng 1 hằng số
K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

T '' a 2CT  0

A
L

A

0
 1
2
Trường hợp 3: C = -  2 < 0
Phương trình (16)  X’’ +  2 X = 0 có nghiệm dạng
X = A1 cos  x + A2 sin  x

 A1  0  X (0)
Từ điều kiện biên 
 A1 cos  L  A2 sin  L  0  X ( L )


A2 sin  L = 0  sin  L = 0   L = k 



=



Xk = Ak sin

k
(k  1, 2 ,…)
L

L

Trong đó ak = CkAk; bk = Dk Ak


Nghiệm của phương trình U  U k
k 1


k at
k at  k x

 U t 0    ak cos
 bk sin
 sin
L
L 
L
k 1 


Từ điều kiện ban đầu có U t 0   ak sin
k 1



U 't 0   bk cos
k 1

k a

bk 
F
(
x
)sin
dx

L
sin
dx
k a 0
L
k a 0
L
2

L

L

L
2 L
k x 2 
k x
xd
(cos
)

x
cos

dx 
L


2
)


(1) k
0
k
L



2



2
k

x

k

at
k

x



Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Utt''  a2U xx''  0 (a = const)
Điều kiện ban đầu Ut=0 = x;
Điều kiện biên U’x=0 = 0;

U’t=0 = 
Ux=  = 0

Bài giải
Giả sử nghiệm có dạng: U / ( x,t ) = X( x )T(t )


XT’’ – a2 X’’T = 0 

1 T '' X ''
. 
 C  const
a2 T
X

Vì hai vế là hàm của hai biến khác nhau chúng chỉ bằng nhau khi là
hằng số

 X '' CX  0 (18)




Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Từ điều kiện biên: U ' x0  X 'Tx0  0  X ' x0  0

X ' x0  A2  0  X  A2 cos  x


X 'x  A1 cos   0  cos   0     k 
2




    2k  1   X k  A1 cos
2

(2k  1) x
2

Phương trình (19)  T ''   2 a 2T  0 có nghiệm dạng


T = B1 cos  at +B2 sin  at







Điều kiện ban đầu có U t 0   M k cos
k 0



U 't 0   M k
k 0

(2k  1) x
 f ( x)  x
2

(2k  1) a
(2k  1) x
cos
 F ( x)  
2
2

2
(2k  1) x
2
(2k  1) x
M k   f ( x)cos
dx   x cos
dx
0


(2k  1) x
 x sin
2




  sin
0


0

(2k  1) x 
dx 
2



2
(2k  1) x
k
(1)  (2k  1) cos
2



0


(2k  1) a 0
2
(2k  1) a (2k  1)


(2k  1) x
sin
2

8 2 (1)k
=
0
a 2 (2k  1)2


Vậy
 
4
U  
k 0  (2k  1)

sin



2
(2k  1) at
8 2 (1) 2
k
(

Chọn các sóng đứng là Uk = Tk(t) sin
Phương pháp giải
Nghiệm của phương trình là U =



 T (t )sin
k 1

Đặt

k

k x
l

Uk (x,t) = Tk(t) Xk(x)

Thay nghiệm tổng quát vào phương trình (21) ta có

k2 2a2
 ''
 k x
Tk (t ) sin
  g( x, t )

 T( k ) (t ) 
2
l
l

 ''
 k x 
T
(
t
)
   k (t )sin

 T( k ) (t ) 
 sin
k
2
l
l
l
k 1 
k 1




k2 2a2
 ''
Tk (t )   k (t )

 T( k ) (t ) 
l2
k 1 



t

0
k

l
k 1


U '  F ( x)   T' (0)sin k x
k
 t 0
l
k 1

2l
k x

T
(0)

f
(
x
)sin
dx  ak
k


l 0

 Mx
t 2 x 2

Thoả mãn các điều kiện ban đầu bằng 0

K31D – Vật lý

k x
ta sẽ nhận được
l


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương
U(x,0) = 0 ; U’(x,0)= 0

U ( o,t )  0
và các điều kiệnbiên 
U (  ,t )  0
Bài làm
Phương trình đã cho được viết dưới dạng Utt''  U xx''  M x

 Utt''  U xx''  M ( x )

(24)

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

U  U ( x,t )  V( x )  S( x,t )




Vx  

M 2
x  C1
2

M 3
x  C1 x  C2
6

+ Xét điều kiện biên, U x0  Vx0  S x0  0


K31D – Vật lý

Vx0  0

 S x 0  0

Vx0  0

Vx  0


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương


Vx 0  C2  0

Điều kiện biên

Vx l

M 3 M 2
x  l x
M 3
M 2  Vx 
6
6

l  C1l  0  C1  l
6
6

Giải phương trình (26): Stt''  Sxx''  0 phương trình có nghiệm dạng
S ( x, t )  X ( x)T (t )

X '' T ''
 XT  X T  0 

 C =const
X
T
''

''

K31D – Vật lý

k


(k= 1; 2,...)


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

 X k  A2 sin

k x



Nghiệm tổng quát của (2b) dạng Sk \ Xx.Tk




k 1

k 1

S   sK   (ak cos

k t

2
k x
2 M
M
k t
V( x ) sin
dx   ( x3   2 x)sin
dx

0

0 6
6



ak 



2  M 3 2
k x
ak 
( x   x )d cos

 k 0 6





( x   ) sin
2 
3 ( k ) 




6 2 M
3k 2 3

k x

k 
(1) k sin 


0



  sin
0

k x
dx


2
k
 2M  (1)

k x 
x 
x  
(1) k cos
sin

3
6
6

 
k 1  ( k )


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0 còn mút kia
chuyển động theo quy luật U(l,t) = Asin  t và các điều kiện ban đầu bằng 0.
Bài làm
Bài toán dẫn tới việc giải phương trình:
- a2 U xx'' = 0 thoả mãn điều kiện biên Ux = 0 = 0; Ux=l = Asin  t
và điều kiện ban đầu Ut=0=0 ; U’t=0 = 0.
Giả sử nghiệm của phương trình có dạng
U = U(x,t) = V(x,t) + S(x,t)
V(x,t) là phương trình dao động cưỡng bức ở biên của dây; S(x,t) là
phương trình dao động tự do của dây

Utt''  Vtt''  Stt''  Vtt''  Stt''  a2 (Vxx''  Sxx'' )  0

U’t=0= V’t=0 + S’t=0= 0  V’t=0= -S’t=0 = V’(x)
K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

'
'
 Vt 0  Vx
 St 0   Vx
 V xl  V x
 '

;
 '
 '
'
'
'
 V t 0  V x  St 0   V x
 St 0   V x

Giải phương trình (29) V’’tt – a2 V’’xx = 0
Giả sử nghiệm của phương trình có dạng: V = X(x). T(t)
Đặt Tt = sin t  V = Xx sin t 

Vtt''  Xk   2 sint
Vxx''  X'' sint



a

x
x) sin  t

+ Điều kiện biên
Vx = 0 = A1sin  t = 0  A1= 0
Vx=l = A2 sin

A
l
sin  t = Asin  t  A2 =
l
d
sin
a

A sin



x
a
Vx,t =
sin  t
l
sin
a

a

x