MỤC LỤC
Trang
A. MỞ ĐẦU
Phương pháp phân tích phiếm hàm
Cấu trúc của luận văn
4
4
9
B. NỘI DUNG
13
CHƯƠNG I: HÀM GREEN CỦA HẠT TƯƠNG TÁC
13
1.1. Các phương trình cho hàm Green một hạt trong trường ngoài
13
1.2. Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong trường ngoài
dưới dạng tích phân phiếm hàm
16
CHƯƠNG II: TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK
TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM
21
2.1. Biểu diễn biên độ tán xạ hai hạt vô hướng
2.1.1. Hàm Green hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng
2.1.2. Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng
21
21
50
3.1. Nghiệm của phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkelidze cho tán
xạ hai hạt vô hướng
51
3.2. Trạng thái tiệm cận tán xạ năng lượng cao
3.3. Biên độ tán xạ trong trường chuẩn thế Yukawa
56
60
3.4. Mối liên hệ giữa phương pháp chuẩn thế và phương pháp tích
phân quỹ đạo Feynman
65
CHƯƠNG IV: KHỬ PHÂN KỲ VÀ TÁI CHUẨN HOÁ HÀM GREEN
TRONG MÔ HÌNH BLOCH- NORSIECK CHO QED
3
VÀ
QED
4
69
4.1. Hàm Green lượng tử G(x,y) trong mô hình Bloch-Norsieck
70
4.2. Phương pháp chỉnh Pauli-Villar
4.3. Phương pháp chỉnh thứ nguyên
72
74
4.4. Đánh giá sự phân kỳ của giản đồ năng lượng riêng photon
trong QED
3
các hạt lượng tử là những đại lượng quan trọng trong lý thuyết trường lượng tử [21].
Ưu việt của phương pháp tích phân do Feynman khởi xướng cho lý thuyết lượng tử
[33-36] là cho phép xác định toán tử S-matrận hoặc hàm Green ở dạng compact nhất
[12-15, 21]. Trong vật lý, tích phân Feynman này được gọi là tích phân quỹ đạo hay
tích phân đường, còn trong toán học nó được gọi là tích phân liên tục hay tích phân
phiếm hàm.
Phương pháp tích phân quỹ đạo là công cụ hữu hiệu để xem xét các vấn đề của
Vật lý lý thuyết, lần đầu tiên nó được Einstein và Smolykhovski đưa vào trong các
công trình nghiên cứu về chuyển động Brown [29]. Cở sở toán học chặt chẽ của khái
niệm tích phân quỹ đạo này đã được trình bày kỹ trong các công trình của Wiener
[100-101]
Nguyên lý động lực học chủ yếu mà Feynman đã sử dụng khi xây dựng cách
phát biểu mới cho cơ học lượng tử tương đối tính theo phương pháp tích phân quỹ đạo
là [33-36] : “ Biên độ xác suất của phép dời chuyển một hệ lượng tử từ trạng thái
a
tới trạng thái
b
được xác định bởi tổng (hay tích phân) theo tất cả các quỹ
đạo khả dĩ trong không gian pha
()qt
của biểu thức
exp [ ( )]
i
S q t
, trong đó:
ở trường
ngoài nào đấy
()x
; 2/ loại bài toán thứ hai: dựa vào biểu thức
( , | )G x y
đã tìm
được, thực hiện phép lấy trung bình phiếm hàm theo trường ngoài để tìm các đại lượng
vật lý cần thiết. Hai loại bài toán này rất phức tạp và không phải lúc nào cũng có lời
giải chính xác. Kỹ thuật tính các tích phân phiếm hàm hiện nay còn đang trên đường
phát triển. Trở ngại lớn nhất và cũng là khó khăn chung trong hướng nghiên cứu này,
chính là việc phải tính các tích phân phiếm hàm có dạng khác với tích phân Gauss.
Xét về mặt toán học thì phương pháp này còn lâu mới hoàn chỉnh. Để khắc phục
những khó khăn trên, trong khuôn khổ tích phân phiếm hàm người ta đã phát triển
nhiều cách tính gần đúng và đã áp dụng thành công cho nhiều bài toán của lý thuyết
trường lượng tử. Khi nghiên cứu các kì dị hồng ngoại, E.S.Fradkin [38,39], B.M.
Barbashov [14,15] đã đề xuất những phương pháp tính gần đúng các tích phân phiếm
hàm đối với hàm Green trong QED. Xét về mặt kỹ thuật thì các phép gần đúng này
khác nhau, tuy nhiên về bản chất thì chúng giống nhau. Phép gần đúng này gọi là phép 6
gần đúng k
i
k
j
=0 vì sau khi lấy tích phân thành phần dạng k
i
k
0 này còn được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng hay gần đúng eikonal.
Phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hoá hàm truyền của
các hạt tán xạ theo xung lượng của hạt trao đổi [72-79] như sau:
1
2
2
mkp
i
i
lượng tử ảo, đồng thời không có sự liên hệ tương thích giữa các quá trình trao đổi riêng
biệt với nhau, nên số hạng tương quan
ji
kk
không có mặt trong hàm truyền (0.1).
Năm 1963, A. A. Logunov và A. N. Tavkhelidze đã công bố công trình cho
phép tiếp cận bài toán tán xạ tương đối tính đơn giản, mang ý nghĩa tiếp cận chuẩn thế
trong lý thuyết trường lượng tử. Mặc dầu phương pháp này không hiệp biến ở dạng
tường minh, song nó vẫn dẫn tới tất cả các thông tin về tính chất giải tích của biên độ
tán xạ như lý thuyết hiệp biến tương đối tính đã đạt được. Các kết quả nghiên cứu từ
phương trình này đã được nhiều kiểm nghiệm với độ tin cậy đáng ghi nhớ. Mặt khác, 7
sử dụng phương trình chuẩn thế, biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ lần đầu tiên
được chứng minh chặt chẽ trong lý thuyết trường lượng tử.
Do vậy lựa chọn cách tiếp cận chuẩn thế vẫn mang tính thời sự và hứa hẹn thu
được nhiều thông tin đáng tin cậy. Hơn nữa các kết quả nhận được có thể tổng quát
hoá cho những nghiên cứu của bài toán hấp dẫn lượng tử, vấn đề này cho đến nay vẫn
còn mang tính thời sự và gây nhiều tranh cãi. Trong phương pháp chuẩn thế, khái niệm
“thế năng” được đưa vào trong lý thuyết trường lượng tử để thuận lợi cho việc nghiên
cứu bài toán tán xạ [5, 37, 59]. Phương trình chuẩn thế có dạng tương tự như phương
trình cho biên độ tán xạ của cơ học lượng tử phi tương đối tính được khởi nguồn từ
phương trình Schrodinger.
Tại vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ thì mọi phương pháp được
nêu ở trên, đều cho ta biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ. Cơ sở chặt chẽ nhất cho biểu
diễn eikonal của biên độ tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử được tìm thấy là nhờ
phương pháp chuẩn thế. Số hạng chính của (leading term) biên độ eikonal được tìm là
giống nhau. Các số hạng bổ chính (corrections-non-leading) được tính trong gần đúng
eikonal cho biên độ tán xạ, cần lưu ý rằng sự khác nhau ở đây tuỳ thuộc vào spin của
Gs
(trong đó G
– là hằng số hấp dẫn Newton) cũng tăng, việc tính các bổ chính bằng lý thuyết nhiễu
loạn theo
1
G
khó khăn. So sánh kết quả của nhiều cách tính khác nhau cho bài
toán này, nhận thấy chúng chỉ trùng nhau ở số hạng chính của biên độ eikonal, còn
các số hạng bổ chính cho nó đều thất bại. Việc tính các số hạng bổ chính cho biên độ
tán xạ trong hấp dẫn lượng tử là bài toán chưa có lời giải. Mặt khác, các bổ chính này
có vai trò chủ chốt để xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tử.
Với những lý do đề cập ở trên, luận án của tôi muốn tiếp tục xem xét các bài
toán tán xạ năng lượng cao trên cơ sở phép gần đúng quỹ đạo thẳng k
i
k
j
=0 trong lý
thuyết trường lượng tử nói chung và trong trường hấp dẫn nói riêng. Kết quả cuối
cùng là tìm biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ. Số hạng bổ chính bậc nhất (non-
leading term) cho số hạng chính của biên độ eikonal trong hấp dẫn lượng tử được tính
toán bằng phương pháp phiếm hàm là kết quả mới cho bài toán tán xạ hấp dẫn. Đồng
thời luận án cũng tiếp cận vấn đề này dựa trên việc giải phương trình chuẩn thế
Logunov – Tavkhelidze. Các kết quả thu được theo hai cách tiếp cận này sẽ được so
sánh với nhau. Luận án cũng đề cập đến việc khử phân kỳ và tái chuẩn hoá hàm
Green lượng tử trong điện động lực học lượng tử áp dụng vào mô hình Bloch –
Norsieck. Áp dụng các phép khử phân kỳ bằng cách chỉnh thứ nguyên và chỉnh Pauli –
CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG
LƯỢNG TỬ”
và được sắp xếp thành 3 phần:
A. PHẦN MỞ ĐẦU.
Phần mở đầu dành cho việc nêu tóm tắt ý nghĩa, thành tựu của phương pháp tích
phân phiếm hàm trong lý thuyết trường lượng tử. Đặt ra nhiệm vụ cần nghiên cứu và
cấu trúc sơ lược của nội dung luận án.
B. NỘI DUNG
Dựa vào kết quả nghiên cứu, nội dung luận án được chia làm bốn chương
Chương I: Hàm Green của các hạt tương tác
Trong chương này, hàm Green của hạt vô hướng trong: Trường vô hướng,
Trường điện từ, Trường hấp dẫn được tìm lại bằng phương pháp thời gian riêng. Kết
quả thu được là biểu thức kín dưới dạng tích phân phiếm hàm.
Các tính toán được minh hoạ trước tiên cho mô hình tự tương tác của hạt vô
hướng trong trường vô hướng (mô hình
3
), sau đó tổng quát hoá cho các mô hình 10
tương tác còn lại. Phần cuối của chương, chúng tôi đã tìm được hàm Green lượng tử
của hạt vô hướng trong trường sóng phẳng điện từ một cách chính xác.
Chương II: Tán xạ năng lượng Planck trong cách tiếp cận phiếm hàm
Trình bày phương pháp tìm biên độ tán xạ hai hạt với nhau ở vùng năng lượng
lớn
s
, xung lượng truyền nhỏ
0
Tavkhelidze tìm biểu thức cho biên độ tán xạ bằng phương pháp nhiễu loạn cải biến.
Kết quả được tính tới số hạng gần đúng bậc nhất theo hằng số tương tác g. Tiếp theo
số hạng chính của biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó được tính toán
trong giới hạn năng lượng cao
s
và xung lượng truyền cố định
0
s
t
. Số
hạng chính cho ta biểu diễn eikonal đã biết, còn các số hạng bổ chính bậc nhất có bậc
nhỏ hơn số hạng chính là
s
t
. Chúng tôi cũng thiết lập mối liên hệ giữa hai
phương pháp chuẩn thế và tích phân quỹ đạo đồng thời đưa ra sự so sánh sơ đồ tính
toán tương ứng. Mục cuối của chương này, chúng tôi sẽ áp dụng các kết quả tìm biên 11
độ tán xạ hai “nucleon” đã trình bày ở đây trong một chuẩn thế cụ thể là thế Yukawa
để rút ra sự so sánh giữa các cách tiếp cận khác nhau.
Chương IV: Khử phân kỳ và tái chuẩn hoá hàm Green trong mô hình Bloch-
Sử dụng gần đúng eikonal nghiên cứu một số hiệu ứng tán xạ Planck của hạt
trong trường hấp dẫn được trình bày ở Phụ lục C. Bài toán này được giải quyết bằng
phương pháp sóng riêng phần. Phương pháp này cho ta hiểu rõ nguồn gốc của các cực
điểm trong biên độ tán xạ, đồng thời nghiên cứu những vấn đề ở ngoài giới hạn
eikonal. 12
Phụ lục D và E dành cho việc tính một số tích phân được sử dụng trong Luận án.
Trong luận án sử dụng hệ đơn vị, mà trong đó vận tốc ánh sáng và hằng số Planck
chia cho
2
bằng đơn vị
1c
, và metric Pauli
1 2 3 4
, , ,x x x x x y x z x ict
.
Qua luận án này, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy hướng dẫn khoa học-
Giáo sư, Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Xuân Hãn - người Thầy trong nhiều năm đã tận
tình giúp đỡ, đưa ra những ý tưởng khoa học và định hướng nghiên cứu cho luận án
của tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp vì những chia sẻ, thảo luận
khoa học trong quá trình nghiên cứu.
Đồng thời, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy Cô trong Bộ môn
Vật lý lý thuyết và Khoa Vật lý- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã đào tạo và
1.1. Các phương trình cho hàm Green một hạt trong trường ngoài
Trước hết, chúng ta xét phương trình cho hàm Green trong trường ngoài của mô
hình tự tương tác giữa các “nucleon” vô hướng mô tả bởi trường
()x
có Lagrangian
tương tác:
3
int
Lg
, trong đó g là hằng số tương tác (gọi tắt là mô hình
3
).
Phương trình cho hàm Green của “nucleon” vô hướng trong trường này có dạng:
2 2 2 4
( ) ( , | ) ( )i g x m G x y x y
. (1.1.1)
Trong trường hợp điện động lực học vô hướng, các “nucleon” vô hướng phức
()x
1
tương tác với trường điện từ
2
24
( ) ( , | ) ( )igA x m G x y A x y
, (1.1.3)
Xét tương tác của “nucleon” vô hướng (x) với trường hấp dẫn g
(x) (trường
tenxơ) mà Lagrangian của hệ có dạng:
22
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
grav
g
L x g x x x m x L x
, (1.1.4)
2
1
, , ( ) ( ) ( ) ( )
4
L A F x x iu i gA m x
, (1.1.6)
với
( ) ( )F A x A x
là ten xơ cường độ điện từ trường. Lấy biến phân
Lagrangian (1.1.6) phương trình Dirac cho hàm
)x(
có dạng:
( ) ( ) 0iu i eA m x
Lời giải của phương trình (1.1.1) đã được tìm bằng nhiều phương pháp khác
nhau. Ở đây chúng tôi chỉ đưa ra vắn tắt hai phương pháp cơ bản đã dùng để giải
phương trình (1.1.1) (kết quả chi tiết các lời giải này xem phụ lục A).
Cách thứ nhất, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cải biến [38, 39]. Trong phương
pháp này, hàm Green của hạt vô hướng trong trường ngoài đã tìm được dưới dạng tổng
của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số tương tác g. Tuy nhiên kết quả tính toán
mới chỉ đưa ra được số hạng gần đúng bậc nhất và bậc hai của lý thuyết nhiễu loạn.
Quá trình tính toán các bậc nhiễu loạn tiếp theo là rất khó khăn, hơn nữa biểu thức, nếu
thu được, cũng rất phức tạp (vì nó chứa các toán tử trường bậc cao). Điều này gây khó
khăn cho việc tìm hàm Green lượng tử khi lấy trung bình phiếm hàm hàm Green
( , | )G x y
theo các trường ngoài.
Cách thứ hai là thêm tương tác bổ sung với nguồn ngoài
t
[39,40]. Về bản
chất cũng là đi tìm hàm Green của “nucleon” vô hướng theo lý thuyết nhiễu loạn. Hàm
Green thu được theo phương pháp này chứa các toán tử trường có dạng bậc nhất mà
ưu điểm của nó là: Phép lấy trung bình phiếm hàm theo các trường ngoài (khi tìm
hàm Green lượng tử cũng như phiếm hàm sinh) sẽ tiến hành đơn giản hơn vì
trường ngoài cổ điển
()x
có trong hàm luỹ thừa dưới dạng tuyến tính. Cần chú ý
rằng, khi chuyển sang biểu diễn xung lượng trong không gian phiếm hàm
t
, thì hàm
( ) ( , | ) ( )i g x m G x y x y
.
Chúng ta tìm nghiệm của phương trình (1.1.1) bằng phương pháp thời gian riêng.
Để làm điều đó, trước hết, dựa vào giả thiết của Feynman [36] và Fock [40], nghiệm
( , | )G x y
của phương trình (1.1.1) được viết một cách hình thức sau:
2
2 2 4
00
, | exp ( , ) ( )
s
ism
G x y i dse i i g x d x y
nhiên, sử dụng phép biến đổi Weierstrass [11] trong không gian hàm số 4-chiều, toán
tử vi phân bậc cao có thể biểu diễn thành tích các toán tử bậc thấp hơn. Cụ thể: 17
2 2 2 2 2 2
00
exp ( ) exp ( ) ( ) 2 ( ) 2
ss
i i d i d i i i
42
00
exp ( ) 2 ( ) ( )
ss
C i d d
. (1.2.3)
Thay (1.2.2) vào (1.2.1) và tiến hành gỡ rối toán tử theo quy tắc Feynman và sử
dụng công thức dịch chuyển sau
( ) ( )e f x f x
. Nghiệm của phương trình
(1.1.1) được biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm hàm:
2
42
0 0 0
4
0
, | exp ( ) exp 2 ( ) ( )
exp ( , ) ( )
ss
ism
s
G x y i dse C i d i d
ig x d x y
. (1.2.4)
Vì trong biểu thức (1.2.4) có chứa hàm
nên để tính các tích phân này, chúng ta
sẽ chuyển sang biểu diễn xung lượng nhờ phép biến đổi Fourier:
( , | ) exp ( )
(2 )
exp 2 ( ) exp 2 ( )
s
ism ip x y
s s s
i
G x y d p dse C i d e
ig d x d ip d
d d p d sp
, (1.2.8b)
( ) ( ) ( ) ( )
s s s s
d d p d d p s
, (1.2.8c)
2
00
exp 2 ( ) exp 2 ( ) exp 2
ss
ip d ip d isp
. (1.2.9)
Ưu điểm của phương pháp này là cho ta biểu thức tổng quát của hàm Green
( , | )G x y
dưới dạng tích phân phiếm hàm, từ biểu thức đó ta có thể dễ dàng lấy giá trị
trung bình của hàm Green
( , | )G x y
của hạt theo các trường ngoài (x) để thu được
hàm Green lượng tử của một hạt trong trường ngoài.
Chuyển sang biểu diễn xung lượng, hàm Green
( , | )G x y
. (1.2.10)
Khi g = 0, tức là khi không có tương tác, chúng ta suy ra hàm Green của hạt tự
do: 19
Hình 1.1: Giản đồ Feynman cho khai triển hàm Green của electron theo hằng số
tương tác.
a) Giản đồ bậc không ứng với quá trình không tương tác.
b) Giản đồ đỉnh bậc một
c) Giản đồ đỉnh bậc hai
d) Giản đồ đỉnh bậc ba
Lời giải tương tự của phương trình (1.1.3), (1.1.5) cho tương tác của hạt vô
hướng trong trường điện từ và trường hấp dẫn nhận được kết quả sau:
22
4 ( ) ( ) 4 2
4
00
s
0
( , | ) exp ( )
(2 )
exp 2ie d ( ) 2 ( ) 2 ( )
s
is p m ip x y
s
i
G x y A d p dse e C i d
p A x p s d
(a)
(c)
(b)
(d) +
+
+
+
20
2
1
4
00
( , | ) exp ( , ( ) ( )
im
G x y g i d e C i d g x
phẳng điện từ
()Ax
có dạng:
( ) ( ) kxA x a
,
(1.2.14)
trong đó
()kxa
là thế năng của trường sóng phẳng điện từ, với véctơ sóng đẳng hướng
2
0k
. Giả thiết rằng trường sóng phẳng là sóng ngang
( ) 0kxka
. Thay trường
sóng phẳng (1.2.14) vào biểu thức (1.2.12), biểu thức tương ứng cho hàm Green thu
được là
22
4 ( ) ( )
4
0
22
cổ điển được xác định bởi phương trình:
2
4
0
, , 2 ,
( ) | ( ) ( )
ln , ln ( , )
xy
A d x G x y G x y e G x x
x y j x j x j x
i G x x A G x x
tương tác. Trong chương này chúng ta sẽ trình bày cách tìm biên độ tán xạ của hai hạt
vô hướng trong mô hình đơn giản
3
. Ở vùng năng lượng lớn,
s
, xung lượng
truyền nhỏ,
0
t
s
, biên độ tán xạ hai hạt có dạng biểu diễn Glauber (hay biểu diễn
eikonal). Các kết quả cho tương tác phức tạp có thể dễ dàng thu được bằng cách tổng
quát hoá những biểu thức thu được ở đây. Cuối cùng chúng ta sẽ tìm các số hạng bổ
chính bậc nhất cho biên độ tán xạ Eikonal ở vùng năng lượng cao.
2.1. Biểu diễn biên độ tán xạ hai hạt vô hướng
2.1.1. Hàm Green hai hạt vô hướng trong trường vô hướng
Hàm Green cho một “nucleon” trong trường ngoài vô hướng
()x
đã được tìm ở
chương I dưới dạng tích phân phiếm hàm trong biểu diễn xung lượng theo công thức
(1.2.10) :
22
4 ( ) ( ) 4
, (2.1.1)
trong đó:
4 2 4
0
4
0
4 2 4
0
exp ( )
exp ( )
s
s
s
id
id
, (2.1.2)
với:
22
1 2 1 2
2
12
exp exp ( )
2 2 ( ) ( )
ii
D dx dx D x x
xx
, (2.1.3)
S
0
j dz z j x z p s
, (2.1.4)
với
00
( ; ; | ) 2 2 ( )
i
s
i i i i i i i
j x z p s d x p d z
. (2.1.5)
Sử dụng kí hiệu trên ta biểu diễn hàm Green cho hai hạt là:
22
( ) ( )
24
1 1 2 2
0
1,2
0
( , ; , ) ( ; ; | )
2
( ; ; | )
exp exp 2 2 ( ) ( ) |
2
exp exp ( ) 2 2 ( ) ( ) |
2
exp
2
k
k
k k k k
s
kk
k
s
kk
k
x p s
i
D ig d x p d S
i
D ig d dz z x z p d S
i
D
12
2
()
0 0 0 0
2
1,2
exp ( ) | exp ( ) |
2
ig j j
k
k
i
ig j S D e S
, (2.1.8)
()A
có nghĩa là giá trị trung bình của hàm
()A
trên các thăng giáng chân không
trong trường vô hướng
()x
, hiểu một cách đơn giản là
0
( ) |AA
.
Giá trị trung bình chân không theo trường vô hướng của tích hai phiếm hàm:
2
0
2
1 2 1 2
2
1
exp ( ) ( ) |
2
exp ( ) ( ) |
22
exp exp exp ( ) ( ) |
22
exp
i
AB D A B
ii
i A B
ii
i A B
i
( ) ( ) |AB
. (2.1.10)
Thực hiện phép thay các phiếm hàm:
1 2 0
( ) exp ( ) ; ( ) ( )A ig j j B S
, (2.1.11)
từ (2.1.8), ta thu được:
2
12
2
2
1 2 1 2
2
2
, (2.1.12)
và giá trị trung bình của S
0
() là:
2
0
2
( ) exp exp ( ) exp ( )
2
i
S D i i
, (2.1.13)
ở đây phiếm hàm () tương ứng với tổng tất cả các giản đồ liên kết với số lượng bất
2
ig
i D ig j j D j j i
ig
D j j g D j j i
ig
D j j i g D j j
trong biểu thức trên thì số hạng đầu tiên ứng với trao đổi hạt vô hướng giữa hai
“nucleon”, những số hạng còn lại đặc trưng cho các bổ chính cho các hạt tán xạ.
Số hạng thứ hai ở hàm mũ (2.1.14) được biểu diễn như sau:
(1) (2) (12)
(0)
, (2.1.16)
với:
()
(0); 1,2
i
i
g Dj i
, (2.1.17)
(12)
1 2 1 2
( ) (0)g D j j g Dj g Dj
. (2.1.18)
Từ biểu thức (2.1.17), (2.1.18), chúng ta có thể tìm được biểu thức của toán tử
cực điểm trong trường vô hướng: 26
2
exp ;i 1,2; exp
2
i
ii
ig
D j ig D j j
, (2.1.22)
ở đây:
1
*
12
00
11
*
12 1 2 1 2 1 1 2 2
00
2 , | ; i 1,2
,|
ii
D d d D x x g Dj
D d d D x x g Dj g Dj
1 2 1 2
,
1,2
(2 ) ( ) ( , | , )
lim ( )( ) ( , ; , )
ii
ii
p q m
i
i p p q q T p p q q
p m q m G p p q q
. (2.1.24)
Trong phần này chúng ta sẽ bỏ qua vấn đề tái chuẩn hoá, nó sẽ được xem xét ở phần
sau. Chúng ta cũng bỏ qua hệ số
exp (0)i
ở vế phải của (2.1.24) (hệ số này xuất hiện ở
hàm trong công thức (2.1.21) ) vì nó không ảnh hưởng tới quá trình tán xạ.
Copyright: Tài liệu đại học ©