ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Mai Thị Minh Ánh

NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN POLARON
BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Mai Thị Minh Ánh

NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN POLARON
BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội - 2014



45

1


MỞ ĐẦU
Khái niệm polaron đầu tiên được L.D. Landau giới thiệu trong một bài báo
rất ngắn /16/, sau đó được phát triển bởi S.I. Pekar/20/, ông đã nghiên cứu các tính
chất cơ bản nhất của polaron tĩnh trong trường hợp giới hạn của tương tác electronphonon rất mạnh, để hành vi của polaron có thể được phân tích trong gần đúng đoạn
nhiệt.
Nhiều nhà nghiên cứu nổi tiếng khác, trong đó có H. Fro¨hlich/14/, R.
Feynman/11/ và N.N. Bogolyubov /8/, đã đóng góp cho sự phát triển của lý thuyết
polaron sau này. Khái niệm polaron tiếp tục thu hút nhiều sự quan tâm trong thực
nghiệm cũng như lý thuyết: nó mô tả các tính chất vật lý của các hạt mang điện
trong các tinh thể có cực và các bán dẫn ion và, cùng lúc đó, nó biểu hiện một mô
hình đơn giản nhưng hiệu quả trong mô hình lý thuyết trường của một hạt tương tác
với trường boson vô hướng.
Mô hình Polaron mô tả tương tác của hạt phi tương đối tính với trường lượng
tử vô hướng là một trong những mô hình cơ bản đơn giản, quan trọng trong việc
vận dụng các phương pháp của lý thuyết trường lượng tử vào chất rắn /11, 15, 17/.
Có rất nhiều phương pháp đã được phát triển để nghiên cứu mô hình Polaron. Bằng
phương pháp nhiễu loạn thông thường ta tính được năng lượng trạng thái cơ bản và
khối lượng hiệu dụng của Polaron/12, 14, 16/, tuy nhiên việc tính toán các bổ chính
bậc cao gặp khó khăn. Trong rất nhiều phương pháp của lý thuyết trường lượng tử
cho bài toán này, phương pháp tích phân phiếm hàm tỏ ra là phương pháp hữu hiệu.
Einstein và Smolykhovski là những người đầu tiên đã đưa khái niệm tích
phân phiếm hàm (trong vật lý người ta gọi là tích phân đường hay tích phân theo
quỹ đạo) vào nghiên cứu lý thuyết chuyển động của hạt Brown, song cơ sở toán học
chặt chẽ của khái niệm này lại dựa vào các công trình nghiên cứu của Weiner (trong

Chương 1: Bài toán Polaron trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn thông
thƣờng
Mô hình Polaron trong mạng tinh thể được trình bày trong mục (1.1). Từ
mô hình đó chúng tôi xây dựng biểu thức cho Hamiltonian của hệ electron - phonon
trong mạng tinh thể (1.2). Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường ta tính được

3


năng lượng cơ bản, bổ chính của nó, và khối lượng hiệu dụng của Polaron trong
trường hợp liên kết yếu (1.3).
Chương 2: Bài toán Polaron trong khuôn khổ phƣơng pháp tích phân
phiếm hàm.
Tích phân phiếm hàm trong luận văn được đưa vào giải bài toán Polaron khi
tuyến tính hóa toán tử Laplace :
1
1
= − 2 = −𝑖
∆
∇

𝜏

∞

𝑑𝑠 ∇2𝑠

𝑑𝜏 𝑒𝑥𝑝 𝑖
0



Phương trình cho hàm Green tổng quát của mô hình Polaron (cụ thể xét mô hình
tương tác của hạt vô hướng phi tương đối tính ( electron ) với trường ngoài – (nếu
trường ngoài lượng tử hóa, sẽ là tập hợp các phonon) được dẫn ra ở chương 2.
Chương 3: Năng lƣợng và bổ chính bậc nhất cho trạng thái cơ bản, và
khối lƣợng hiệu dụng của Polaron.
Sử dụng hàm Green thu được ở chương 2, ta tìm giá trị trung bình của hàm
Green trong trạng thái chân không trong gần đúng quỹ đạo thẳng ở mục (3.1). Sử
dụng kết quả này để tìm năng lượng trạng thái cơ bản và tính khối lượng hiệu dụng

4


của Polaron trong mục (3.2). Các bổ chính bậc nhất cho năng lượng trạng thái cơ
bản được trình bày trong mục (3.3).
Phần kết luận dành cho việc tổng hợp những kết quả chung thu được trong
luận văn và thảo luận.

5


Chƣơng 1 BÀI TOÁN POLARON TRONG KHUÔN KHỔ
LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN THÔNG THƢỜNG
1.1. Khái niệm Polaron
Electron trong vật rắn là chuẩn hạt và chiế m các tr ạng thái đơn electron
trong mô hình vùng năng lượng. Phonon cũng là một chuẩn hạt mô tả các dao động


mạng. Số các Phonon của các trạng thái riêng biệt được đặc trưng bởi véctơ sóng q




đây thấy rằng khi electron thêm vào này chuyển động thì các Ion nằm ở các nút
mạng cũng phải dao động theo một cách tương ứng làm xuất hiện các Phonon.
Polaron là khái niệm để chỉ electron nằm giữa các nút mạng cộng với đám
mây phonon (có thể gồm 1,2,3 hoặc nhiều Phonon) bao bọc xung quanh nó. Như
vậy có thể nói một cách đơn giản rằng Polaron là electron “Mặc áo” Phonon và
các tính chất của một electron khoác thêm áo như vậy trong nhiều trường hợp
khác hẳn với các tính chất của electron “Trần trụi” cụ thể là:
(1) Polaron được sinh ra do tương tác tĩnh điện giữa electron và mạng tinh
thể, do đó tinh thể phải là tinh thể Ion thì Polaron ở đó mới khác nhiều so với
electron vì tương tác này lúc đó ma ̣nh hơn nhi ều so với tinh thể đồng hoá trị hoặc
các loại tinh thể khác.
(2) Polaron xảy ra chủ yếu trong tinh thể Ion mà tinh thể Ion là chất cách
điện, do đó về cơ bản Polaron chỉ có mặt trong các tinh thể cách điện.
(3) Polaron xảy ra không phải chỉ với electron mà còn có thể xảy ra với cả lỗ
trống.
(4) Để có Polaron xuất hiện các Ion của mạng tinh thể phải bị dịch chuyển,
do đó so với electron thì Polaron có độ ì (quán tính) hay nói cách khác là khối
lượng hiệu dụng lớn hơn nhiều. Polaron thậm chí có thể nặng đến mức bị bắt giữ
(định xứ tại một vị trí nào đó trong tinh thể) không chuyển động được. Về sự bắt
giữ của Polaron có thể nói thêm như sau:
- Sự bắt giữ Polaron thường xảy ra trong các tinh thể Ion phân cực mạnh, ví
dụ như các tinh thể kiềm – halogen, hoặc bạc – halogen.
- Lỗ trống hay bị bắt giữ hơn electron, hầu như trong tất cả các tinh thể kiềm
- halogen và bạc - halogen lỗ trống đều bị bắt giữ.

7



Structure of Paticles”, Preprint, Dubna R2-10467
17. Landau L.D., Phys. Z. Sowietunion (1933), 3, 664. [English translation:
Collected Papers. Gordon and Breach, New York, p. 67- 68, 1965].
18. Lee T.D., Low F.E., and Pines D.(1953), “ Interation of a Nonrelativistic
Praticle with a Scalar Field with Application to slow Electron in Polar
Crystal”, Phys. Res., 92(4), pp.883-889.
19. Lee T.D, Low FE. ,and Pines D.(1953), “ Ther Motion of Slow Electron in a
Polar Crystal”, Phys. Rev., 90(2), pp(297-302).
20. Pekar S.I., Sov. Phys. JETP (1946), 16, 341; Pekar S.I. Research in Electron
Theory of Crystals.Gostekhizdat, Moscow, 1951. [English translation:
Research in Electron Theory of Crystals. US AECReport AEC-tr-5575].

9