ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN THỊ HẢI YẾN

GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ THẾ
VÀ PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN THỊ HẢI YẾN

GẦN ĐÚNG EIKONAL CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ THẾ
VÀ PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
TRONG CƠ LƢỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý Lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60.44.01.03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. CAO THỊ VI BA


Mở đầu ………………………………………………………………………………...1
Chuơng 1. Gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ………………………………….4
1.1. Gần đúng eikonal trong quang học………..……………………..................4
1.2. Phát biểu bài toán tán xạ……………………………….…………………...8
1.3. Lời giải phương trình Schrodinger……………………….……………….14
Chƣơng 2. Công thức eikonal và phƣơng pháp tích phân phiếm hàm……….…25
2.1. Hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger ở trường ngoài ……...25
2.2. Biên độ tán xạ và gần đúng quỹ đạo thẳng………………..........................30
Chƣơng 3. Tán xạ trên thế ngoài cụ thể…………………………………................41
3.1.ThếYukawa ..…………………………………………………...................41
3.2. Thế Gauss………………………………………………………………...45
Kết luận…………………………………………………………………………...….50
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………...52
Phụ lục…………………………………………………………………………...…..54


MỞ ĐẦU
Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ được đề xuất lần đầu tiên vào năm 1959
trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số
liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao [10].Biểu diễn eikonal này có
thể thu được bằng ba phương pháp khác nhau: phương pháp sóng riêng phần (tìm hàm
sóng ở xa vô cùng), phương pháp hàm Green (giải phương trình vi tích phân) và
phương pháp chuẩn cổ điển (giải phương trình Schrodinger bằng gần đúng chuẩn cổ
điển) [3].Các phương pháp này nói chung dựa vào lý thuyết nhiễu loạn và khó sử dụng
trong lý thuyết trường lượng tử. Chính vì vậy, trong luận văn này chúng tôi muốn giới
thiệu một phương pháp mới, đó là phương pháp tích phân phiếm hàm cho bài toán tán
xạ trong cơ học lượng tử phi tương đối tínhkhông dựa vào lý thuyết nhiễu loạn[9].
Trong vùng tương đối tính và năng lượng cao, việc tổng quát hoá gần đúng
eikonaltrên cơ sở một lý thuyết chặt chẽ là một bài toán khá lý thú của lý thuyết trường
lượng tử.Cơ học lượng tử phi tương đối tính là lý thuyết đơn giản nhất mà trong khuôn

 Mục 1.3: Lời giải phương trình Schrodinger dừng với thế ngoài ở xa vô cùng,
từ đó rút ra công thức eikonal hay công thức Glauber cho biên độ tán xạ.
Chƣơng 2.Công thức eikonal và phƣơng pháp tích phân phiếm hàm.
Trong chương này, chúng ta rút ra công thức eikonal cho biên độ tán xạ bằngphương
pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử.
 Mục 2.1: Giới thiệu biểu diễn hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger
ở thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm.
 Mục 2.2: Tách các cực điểm từ hàm Green của hạt ở trường ngoài để thu được
biên độ tán xạ thế.Trong mục này, giới thiệu cách tính gần đúng tích phân
phiếm hàm bằng gần đúng quỹ đạo thẳng và khảo sát dáng điệu tiệm cận của

2


biên độ tán xạ thế ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ. Điều kiện sử dụng
gần đúng này được thảo luận từ những giới hạn lênthế năng, năng lượng của hạt
và góc tán xạ.
Chƣơng 3.Tán xạ trên thế ngoài cụ thể.
Sử dụng công thức eikonal thuđược hai chương trên cho một số thế ngoài cụ thể.
 Mục 3.1: Nghiên cứu tán xạ thế Yukawa.
 Mục 3.2: Nghiên cứu tán xạ thế Gauss.
Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận những hướng
nghiên cứu tiếp theo trong thời gian tới.
Trongluậnvăn, chúng tôi sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  1 và metric Feynman.
Vớivéctơ tọa độ phản biến là

x    x0  t , x1  x, x 2  y, x3  z    t , x 

thì các véctơ tọa độ hiệp biến là


n2  2
  2 2  0 ,(1.1)
c t




ở đây  là thành phần bất kỳ của các vectơ E và H .
Nếu n là không đổi thì nghiệm riêng của phương trình (1.1) là sóng phẳng đơn sắc

i kr t

   0e 



. (1.2)



Số sóng k  k , tần số  và bước sóng  liên hệ với nhau bằng hệ thức
k n


c



2



.
t

(1.5)

Vì ở những khoảng cách nhỏ của tương tác thế giới vi mô, có thể coi là sóng phẳng
nên so sánh (1.5) và (1.4) với (1.2) chúng ta tìm được
 

k   ,    .
t

(1.6)

Thay (1.4) vào (1.1) ta được
(aei ) 

n2  2
(aei )  0, (1.7)
2
2
c t

trong đó
 
(aei )  ((aei ))
 

 (aei  iaei  )


5

(1.9)


 

Δa  i 2a  iaΔ  a 

 

2


2
n2  r    2 a
a 
 2
   
 2  2  2i
 ia 2  a     0. (1.10)
c   t
t t
t
 t  

Phương trình (1.10) là phương trình chính xác, hoàn toàn tương đương với phương
trình (1.1).
Giả thiết rằng a và  là các hàm biến đổi chậm của tọa độ và thời gian, bỏ qua các số

Thay (1.6) vào (1.11) ta được



 

2

2

  
  n  r   . (1.12)
c


Các phương trình (1.11) và (1.12) được gọi là các phương trình eikonal.
Như vậy, trong gần đúng eikonal các mặt sóng là các mặt


  r , t   const ,


(1.13)



còn các tia được hướng theo k  .
Lưu ý sự tương tự ở đây, giữa các phương trình eikonal (1.11) và (1.12) với phương
trình Hamilton-Jacobi, mà trong cơ học cổ điển mô tả chuyển động của hạt trong



p 2  2m( E  V (r )). (1.17)

Từ (1.15) ta có

p 2  (S )2 . (1.18)

Sự tương đương giữa phương trình Hamilton -Jacobi và phương trình eikonal được Hamilton

1

thiết lập vào năm 1834.
2



Lưu ý, tốc độ dịch chuyển u của mặt S  r , t   const trong không gian không trùng với tốc

độ v của hạt và liên hệ với vbằng hệ thức u 

E
.
mv

7


Kết hợp (1.17) và (1.18) ta thấy phương trình (1.14) có dạng




n 2  r  . Hệ số

c2

tỷ lệ liên hệ giữa n2  r  và 2m  E  V  r  2 , là một đại lượng có thứ nguyên và không
ω
thể xác định được nó nếu ta chỉ dừng trong Vật lý cổ điển. Nếu sử dụng sự tương tự
này giữa quang học sóng và cơ học cổ điển thì ta có thể viết
 2m
 c2
n2  r   2  E  V  r  2 . (1.20)



1.2.

Phát biểu bài toán tán xạ trong cơ học lƣợng tử

Trước tiên, chúng ta xem xét gần đúng eikonal trong cơ học lượng tử dựa vào việc phát
biểu bài toán tán xạ. Nếusự tán xạ xảy ra trong thế năng có đối xứng cầu thì hàm sóng
ở xa vô cùng gồm sóng phẳng tới và sóng cầu tán xạ có dạng


eikr

  r  ~ eikz  f  
,
r


jt 


2mi
  *   t
  t* 

  t ez
 t ez

2mi 
z
z 



e  ikz ez (ik )eikz  eikz ez (ik ) e ikz 

2mi

 k 
 

2(ik )ez 
ez  vez  v ,
2mi
m







eikr


f

 
 tx
r


 *
e  ikr
 tx  f  
r





 eikr eikr
 tx r
 tx 
 f ( )  ik
 2

r r
r





 r

r

(1.27)

Thay (1.27) vào (1.26) ta được


1 ik 1  
2 r  ik
jtx  f ( )
 2   2

rr r
r r  2mi

 
2 r  2ik
 f ( ) 2 

r  r 2mi 


2 r  k 1 
2 v r

jtx dS
(1.31)
jt


d  f   dΩ. (1.32)
2

Mật độ tiết diện tán xạ được xác định bởi
2
d
 f   . (1.33)
d

Như vậy, việc xác định tiết diện tán xạ hoặc mật độ tiết diện tán xạ quy về việctìm biên
độ tán xạ. Việc tính biên độ tán xạ thường được tiến hành như sau: Tìm nghiệm của
phương trình Schrodinger cho chuyển động của hạt trong trường của tâm tán xạ. Tại
các khoảng cách ở xa tâm, nghiệm có dạng (1.21).Khi đó f   là biên độ cần tìm.
Để tìm biên độ tán xạ f   , ta cần tìm lời giải phương trình Schrodinger
 2
  
  E  V  r    r   0. (1.34)

 2m


Khi r   thì  r  có dạng tiệm cận (1.21).
Trong nhiều trường hợp ta có thể kết hợp phương trình Schrodinger (1.34) và các điều
kiện biên (1.21) vào một phương trình tích phân. Điều này có thể thực hiện được nếu ta
sử dụng hàm Green của phương trình Schrodinger tự do G0  r , r '  , mà nó thỏa mãn







 E  H 0  i  G0  r , r '    E 
 


2 2
 
 
q  i  G0  r , r '     r  r ' 
2m



  


iq  r  r '  
2
1
 
 
e
dq
 E  H 0  i  G0  r , r '    E  q 2  i  G0  r , r '  
3



e
e
 2m 1


dq  2
dq
3 
2 2
3 
  2  E 2m  q 2  i 2m
 2  E   q  i
2
2
2m

 
  

2m dq
eiq (r  r')
1 2m eik (r  r')
 2 

 
 (2 )3 k 2  q 2  iò
4  2 | r  r ' |


ở đây k  r  là nghiệm bất kỳ của phương trình Schrodinger tự do,ví dụ: k  r   eikr .

Bây giờ, ta chứng minh  k  r  được xác định bằng phương trình (1.38) khi r   có
dạng tiệm cận (1.21).
Thay (1.37) vào (1.38) ta được
 
ik r  r '

1 2m e

'
' '
 k  r   eikr 
 ' V r  k r dr .
2  
4 
r r

12

   

(1.39)


Khi lấy tích phân theo dr ' ta chọn gốc tọa độ tại vùng tác dụng của thế năng V  r ' 





(1.41)



r
Đại lượng k  k
là vectơ sóng theo hướng của vectơ bán kính, và nó đặc trưng cho
r

hướng truyền các sóng cầu phân kỳ.

 
r r '


r'
r


V (r ')

O

Hình 1.Chọn hệ tọa độ khi lấy tích phân trong công thức (1.39)

So sánh (1.41) và (1.21), chúng ta thu được biểu thức cho biên độ tán xạ
f    


m


(1.43)

Thay (1.43) vào (1.34), ta có phương trình chính xác cho 
i

 2
2
2   

Δ 
2k      V  r   0 . (1.44)



2m
2m 

 

Nếu ta giả thiết rằng   r  là hàm nhẵn của tọa độ, như ta đã làm khi rút ra phương
trình eikonal trong quang học (1.12) thì trong (1.44) ta sẽ bỏ qua đạo hàm bậc hai của
 . Như vậy trong cơ học lượng tử, phương trình tương tự với phương trình eikonal là

 
  2
2m 
2k   r     r    2 V  r  .



  x, y, z 
z



14

1
V  x, y , z 
v

(1.47)


Khi z   thì chỉ tồn tại sóng tới  r   eikz . Từ phương trình (1.43) ta suy ra
  x, y, z     0 .

Giải phương trình (1.47) với điều kiện biên   x, y, z     0, ta được


 r   

z

1
V  x, y, z dz.
v 

(1.48)



m

e V r  e
2 
2 

iqr



i
V  x , y , z   dz 
v





dxdydz ,

(1.50)



ởđây q  k  k ' .
Bây giờ tanghiên cứu tán xạ góc nhỏ, sao cho sự thay đổi xung lượng trong quá trình

1


v





dz

z

    
m

d 2b eiq r   
2 
2 
 i


de




i
V  x , y , z   dz 
v




2 i 


z

i
 iq r   v  V  x , y , zdz 
k
2
 

d b e
e 
1 .


2 i 


z

Biên độ tán xạ

i
' 
 iq b   v  V b , z 'dz ' 
k
2
f    f k , k 
d be   e 

 d e

iz cos in

e .

(1.52)

0

Trong công thức (1.52)cho n  0, z  qb , ta có
1
2

16

2

 d e
0

iqb cos 

 J 0 (qb). (1.53)


Trong công thức (1.51) ta thấy


e

2 i
0
0
0





  i  V b, zdz 

' 
v
 f k , k  ik bdbJ 0  qb   e 
 1 ,


0






với q  2k sin


2





k
II

I

Hình 2.Việc lấy tích phân trong pha eikonal trong công thức (1.51)
được tiến hành dọc theo đường chấm chấm,
I- vùng tương tác của thế, II- sóng phẳng tới.

Bây giờ chúng ta sẽ tìm các điều kiện cho thế năng, năng lượng của hạt bị tán xạ và
góc tán xạ, để cho biểu thức (1.51) là đúng. Để đạt được mục tiêu này, ta cần thiết lập

17


các điều kiện sao cho các số hạng

2
2 

Δ  r  và

2m
2m

 

2


Để

 
2



  r   V  r  thì  V  r   V  r  , có nghĩa là thế năng phải đủ nhẵn. Điều
2m

kiện này cũng thu được khi so sánh

2
2  
 với
k  .
2m
2m

Nếu đưa vào khoảng cách đặc trưng là a , mà ở đó thế năng tác dụng V  r  sao cho
 
a V  r  ~ V thì bất đẳng thức thu được sẽ tương đương với

  a hay ka  1.

(1.57)

Như vậy,(1.57) là điều kiện cần tìm cho thế năng.
Bây giờ ta đánh giá số hạng thứ hai để có thể bỏ qua

mv 2
là động năng của hạt, số hạng này là nhỏ so với thế V  r  với điều kiện
2

18



V r 
E

 1.

(1.59)

Điều kiện đó có nghĩa là năng lượng là đủ lớn.Điều kiện này cũng thu được khi so sánh
2  2
2  
 với
k  .
2m
2m

 

Như vậy, (1.59) chính là điều kiện phải tìm cho năng lượng để có gần đúng ekoinal.
Bây giờ chúng ta tìm tiêu chuẩn cho độ nhỏ của góc để có thể chuyển từ (1.50) đến
công thức eikonal (1.51) và (1.54). Điều này chỉ xảy ra trong trường hợp khi qz z  1.
Vì qz  k (1  cos  ) nên 1  cos  




Nếu thế là phức, thì với mật độ dòng xác suất (1.22) ta không thể viết định luật bảo


toàn div j .
Thay vào đó ta có
 2



div j  ImV  r  *  r   r  .


(1.61)


Do tương tác vớibia, hạt có thể tán xạ đàn hồi hay hấp thụ, thì div j phải bằng không,
hoặc là số âm. Suy ra ImV  r   0.
Trong trường hợp thế là hàm phức, theo công thức (1.51) pha eikonal cũng là một số
phức, thêm vào đó Im   0.
Chúng ta dẫn ra biểu thức để cho tiết diện tán xạ khi biên độ được biểu diễn ở dạng
eikonal (1.51). Ta viết pha  dưới dạng phức
   r  i i .

(1.62)

Sử dụng (1.48) và (1.54), ta có tiết diện tán xạ đàn hồi bằng
 







2k

0

0

0
















 2 b1db1 b2 db2  xdxJ 0  b1 x  J 0  b2 x  ei  b1   1 ei  b2   1


Thay (1.65)vào (1.64) ta được




0

0





 el  2 b2 db2 b1db1







(1.66)



 2 b2 db2 ei   b2   1 ei   b2   1
0




 

 (1.67)

 2  e i eir  eir  1  e2 i  2 1  e i cos  r  1  e2 i .

Thay (1.67) vào (1.66) ta được




 el  4 bdb 1  e  cos  r   2 bdb 1  e2   . (1.68)
i

i

0

0

Số hạng cuối của (1.68) chính là tiết diện tán xạ không đàn hồi


 in  2 bdb 1  e2   .
i

(1.69)

0