I .PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chon đề tài.
Toán học là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của
những người yêu thích Toán học. Đây cũng là bộ môn khoa học được coi là chủ
lực, bởi trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống,
tính khoa học và tính logic,… Vì thế nếu chất lượng dạy và học môn Toán được
nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện
đại, giàu tính nhân văn của nhân loại. Đối với học sinh, để có một kiến thức
vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ. Đối với
giáo viên: Làm thế nào để trang bị cho các em đầy đủ kiến thức cần thiết? Đó là
câu hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng
thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy
và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học
tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả
năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện
và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực
tiễn.
Trong chương trình Đại số lớp 7, phần kiến thức về tỷ lệ thức và dãy tỷ số
bằng nhau là hết sức cơ bản. Việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, từ một
tỷ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức
nếu biết được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi
học về đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phương tiện quan
trọng giúp ta giải toán. Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam
giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học
tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt
giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đưa ra một số dạng bài tập về
trong Đại số lớp 7.
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học các em học
sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồngthời

b. Phng phỏp quan sỏt.
c. Phng phỏp phng vn.
d. Phng phỏp phõn tớch sn phm.
e. Phng phỏp tng kt kinh nghim.
f. Phng phỏp hi ý kin chuyờn gia.

2


II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu
a. Cơ sở lý luận
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ
thông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong
thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những
thời cơ và thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào
tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực,
nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi
mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/ 2000/ QH10 của Quốc hội”.
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường
duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ
thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến
thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học
đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập
do thầy, cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát
hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ
số bằng nhau trong Đại số 7 là một dạng toán rất quan trọng, là nền tảng, làm cơ
sở để học sinh học tiếp các chương sau này.
Vậy làm thế nào để học sinh giải các bài toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng

cạnh đó bản thân của các em cũng chưa thật sự yêu thích môn học. Các em chỉ học
theo nghĩa vụ chứ chưa say mê dẫn đến kết quả học tập của các em đối với môn
chưa cao.
b. Thực trạng đề tài:
Môn Toán 7 gồm 7 chương :
- Số hữu tỉ, số thực.
- Hàm số và đồ thị.
- Thống kê.
- Biểu thức đại số.
- Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song.
- Tam giác.
- Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác.
Với mục tiêu chung: Biết được những kiến thức cơ bản cần thiết của môn Toán ở
lớp 7, rèn được một số kĩ năng trong tính toán và trình bày lời giải…Để đạt mục
tiêu trên đây thật sự là vấn đề cần đặt ra của không ít giáo viên khi dạy môn Toán 7.
Nhiều tiết dạy giáo viên chỉ truyền tải hết kiến thức hết nội dung của mục tiêu đề
bài chứ chưa chú trọng khai thác đồ dùng dạy học vào bài dạy nên tiết học trở nên
buồn tẻ, đơn điệu học sinh thiếu linh hoạt. Vì thế để có tiết học sôi nổi, vui vẻ học
sinh phát huy tính tích cực chủ động tìm tòi kiến thức giáo viên khai thác triệt để
đồ dùng vào bài dạy. Thực tế chất lượng môn toán lớp 7 năm học 2012 – 2013 như
sau:
Loại Giỏi:

4,3%
4


Loi Khỏ :

14,9%

mụn tụi bt u ỏp dng ti ca mỡnh.
c. T chc triờn khai thc hiờn:
* Cơ sở lý luận khoa học của đề tài
1. nh ngha, tớnh cht ca t l thc
a) nh ngha:
T l thc l ng thc ca hai t s

a c
=
b d

Cỏc s hng a v d gi l ngoi t, b v d gi l trung t.
b) Tớnh cht
+ Tớnh cht 1( tớnh cht c bn): Nu

a c
= thỡ ad = bc
b d

5


+ Tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a c a b d c d b
= ; = ; = ; =
b d c d b a c a

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:


c
ka k c
a  c  a c a
= suy ra  ÷ =  ÷ = . ; k . = k . ( k ≠ 0 ) ; 1 = 2 (k1 , k 2 ≠ 0)
b d
d
k1b k2 d
b d  b d b
3

3

3

2

a c e
c e
a  c   e  a c e a
từ b = d = f suy ra  ÷ =  ÷ =  ÷ = × × ;  ÷ = ×
d f
b d   f  b d f b

** Nội dung và phương pháp nghiên cứu
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
1.Tìm một số hạng chưa biết
a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu

a c

a)  x ÷: = 1 :
b) 0, 2 :1 = : ( 6 x + 7 )
4 5
5 3
3  3
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)
1

2

3 2

x
−60
=
−15
x

Giải : từ

x
−60
=
−15
x
⇒ x.x = ( −15 ) . ( −60 )
⇒ x 2 = 900
⇒ x 2 = 302

Suy ra x = 30 hoặc -30

= ⇒
=
5− x 7
5
7

Áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x −3 5− x x −3+5− x 2 1
=
=
= =
5
7
5+7
12 6
x−3 1
⇒
= ⇒ 6 ( x − 3) = 5
5
6
5
5
⇒ x−3= ⇒ x = 3
6
6

Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

7


bd
cd
;y=
;z =
Từ đó tìm được x =
a+b+c
a +b+c
a+b+c
⇒ k ( a + b + c) = d ⇒ k =

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x y z x+ y+z
d
= = =
=
a b c a+b+c a +b+c
a.d
b.d
c.d
⇒x=
;y=
;z =
a+b+c
a+b+c
a +b+c

b)Khai thác.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
* k1 x + k2 y + k3 z = e


a3

+Thay đổi cả hai điều kiện
c)Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết

x y z
= = và x +y + z = 27
2 3 4

Giải:
- Cách 1.
x y z
= = = k ⇒ x = 2k , y = 3k , z = 4k
2 3 4
Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k + 3k + 4k = 27 ⇒ 9k = 27 ⇒ k = 3

Đặt

Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.
x y z x + y + z 27
= = =
=
=3
2 3 4 2+3+ 4 9
⇒ x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:

⇒ x = 6; y = 9; z = 12

x y z
= = và 2 x 2 + 3 y 2 − 5 z 2 = −405
2 3 4
x y z
- Cách 1: Đặt = = =k
2 3 4
x y z
- Cách 2: từ = =
2 3 4

Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết
Giải:

suy ra

9


x2 y 2 z 2
=
=
4
9
16
2x2 3 y2 5z2
⇒
=
=

Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết

x y z
= = và x.y.z = 648
2 3 4

Giải:
x y z
= = =k
2 3 4
x y z
Cách 2: Từ = =
2 3 4
3
x y z xyz 648
x
⇒ ÷ = × × =
=
= 27
24
 2  2 3 4 24
x3
⇒
= 27 ⇒ x 3 = 216 ⇒ x = 6
8

- Cách 1: Đặt
-

Từ đó tìm được y = 9; z = 12.

= =
2 3 4

Sau đó ta giải tiếp như bài tập 1.
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
x
2

Giải: Từ 3x = 2 y ⇒ =

y
3

10


x
2

Từ 4 x = 2 z ⇒ =
Suy ra

z
4

x y z
= = sau đó giải như bài tập 1
2 3 4

Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21

đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị , tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính
chất của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế
phải.
Phương pháp 4: dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính
chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng
minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
a
b

(Bài 73/SGK-T14) Cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: =
a −b c −d
=
.
a
c

Giải:

c
hãy suy ra tỷ lệ thức:
d

( a − b ) c = ac − bc(1)

- Cách 1: Xét tích a ( c − d ) = ac − ad (2)
Từ


=
=
(2), (d ≠ 0)
c
dk
dk
k

a −b c −d
=
a
c
a c
b d
- Cách 3: từ = ⇒ =
b d
a c
a −b a b
b
d c −d
Ta có: a = a − a = 1 − a = 1 − c = c

Từ (1) và (2) suy ra:

Do đó:

a −b c −d
=
a
c

a
c
a c
=
Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức
ta có thể suy ra các tỉ lệ thức
b d
a±b c±d a+b c+d
sau: b = d ; a = c (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: Cho 4 số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thoả mãn a2 2 = a1a3 ; a33 = a2 a4 chứng tỏ
a13 + a23 + a33 a1
=
a23 + a33 + a43 a4

Giải: Từ
a1 a2
= (1)
a2 a3
a
a
a33 = a2 a4 ⇒ 2 = 3 (2)
a3 a4
a2 2 = a1a3 ⇒

a1 a2 a3
a3 a 3 a 3 a a a
a
=
= ⇒ 1 3 = 23 = 33 = 1 × 2 × 3 = 1 (3)

a
b
c
x y z
Chứng minh rằng = =
a b c
bz − cy cx − az ay − bx abz − acy bcx − baz cay − cbx
=
=
=
=
=
Giải: Ta có
a
b
c
a2
b2
c2
abz − acy + bcx − bay + cay − cbx
=
=0
a 2 + b2 + c 2
abz − acy
y z
⇒
= 0 ⇒ abz = acy ⇒ bz = cy ⇒ = (1)
2
a
b c



Suy ra

a b c a + b + c 22
= = =
=
=2
2 4 5 2 + 4 + 5 11

a
=2 →
a =4
2
b
=2 →
b =4
4
c
=2 →
c =10
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ
nhất bằng 3.Khi đó ta có được: c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng
được tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp

số thứ hai là

2
4
,giữa số thứ hai và số thứ 3 là .Tìm ba số đó.
3
9

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có

a 2 a 4
= ; = và a 3 + b3 + c 3 = −1009
b 3 c 9

Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1 số thóc ở kho I,
5
1
1
số thóc ở kho II và
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng
6
11

nhau .Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc
14


Lời giải:

từ a = b = c ⇒
5
6
11
5.20
6.20
11.20c
a
b
c
a +b+c
710
⇒
=
=
=
=
= 10
25 24 22 25 + 24 + 22 71

Số thóc của kho I sau khi chuyển là a − a = a

Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912 m3
đất, trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm được 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4
và 5. Tính số học sinh của mỗi khối.
Lời giải:

Bài tập 1: (Bài 62 - SGK/T31) tìm 2 số x,y biết rằng
H/s sai lầm như sau :

x y
= và x.y=10
2 5

x y x. y 10
= =
=
= 1 suy ra x=2,y=5
2 5 2.5 10

Bài làm đúng như sau:
Từ

x y
x.x x. y
x 2 10
= ⇒
=
⇒
= ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2 từ đó suy ra y = ±5
2 5
2
5
2
5

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5

Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là

a
b
c
=
=
.
b+c c+a a+b

Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có

a
b
c
=
=
b+c c +a a +b

16


áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
a
b
c
a +b+c
a+b+c
=

1

+ Nếu a+b+c ≠ 0 khi đó b + c = c + a = a + b = 2 ( a + b + c ) = 2
Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1

x+ y

y+z

z +t

t+x

Bài tập 4: Cho biểu thức P = z + t + t + x + x + y + z + y
x

y

z

t

Tính giá trị của P biết rằng y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z (1)
Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
x
y
z
t
x + y + z +t



Nếu x+y+z+t =0 → x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau. Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài
tập 4 nên dùng cách 2
Bài tập tương tự :

a +b −c b + c − a c + a −b
=
=
c
a
b
 b   a  c 
.Hãy tính giá trị của biểu thức B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷
 a   c  b 
2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
a
b
c
d
a+b b+c c+d d +a
+
+
+
Tìm giá trị của biểu thức M biết : M =

12
2 x + 3 y − 1 2 x + 3 y −1
=
Từ (1) và (2) ta suy ra
(3)
6x
12
→ 6x = 12 → x = 2

Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta được y = 3
Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm
Lời giải :Học sinh trên sai như sau
Từ (3) phải xét hai trường hợp
TH 1 : 2x+3y-1 ≠ 0 .Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp như trên
TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có
1− 3y +1 1 − 3 y +1 + 3 y − 2
=
=0
5
5+7
2
1
Suy ra 2-3y =3y-2 =0 → y = . Từ đó tìm tiếp x = −
3
2

4. Hiệu quả của sáng kiến :
Sau khi áp dụng phương pháp nêu trên vào giảng dạy cho học sinh khối 7 năm
học 2015 - 2016 tại trường THCS Trung Chính nhìn chung học sinh nắm bắt vấn đề
18

11
21

%
27
29
28

TB
18
19
37

%
48,7
50,0
49,3

Yếu
4
4
8

%
10,8
10,5
10,7

Đối với từng đối tượng học sinh, yêu cầu học sinh nắm chắc cách giải một bài
toán như thế nào, lượng bài đưa ra phải phù hợp với đối tượng học sinh, ở mức độ

Trung Chính, ngày 25 tháng 02 năm 2017

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI THỰC HIỆN

NguyễnThị Nam

MỤC LỤC
Nội dung

trang số
1
I. Phần mở đầu…………………………………………………
1. Lí do chọn đề tài .…………………………………………………… 1
2. Mục đích nghiên cứu ………………………………………………... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ………………………………….. 2
4. Phương pháp nghiên cứu ……………………………………………. 2
3
II. Nội dung nghiên cứu………... ……………………………….
1. Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu……………
3
a. Cơ sở lý luận .………………………………………………………
3
b. Cơ sở thực tiễn .…………………………………………………….
3
2. Thực trạng của đề tài………………………………………………..
4

2. Sách giáo viên Toán 7 tập I – NXB Giáo Dục 2003
3. Sách bài tập Toán 7 tập I

– NXB Giáo Dục 2003

4. Nâng cao và phát triển Toán 7 tập I – Vũ Hữu Bình (NXB Giáo Dục 2004)
5. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – NXB Giáo
Dục 2007
6. Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 7 – Vũ Dương Thụy (NXB Giáo
Dục 2008)
7. Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 7 tập I - NXB Hà Nội 2008
8. Toán học tuổi trẻ - NXB Giáo Dục, Bộ GD&ĐT

21


22