CẨM NANG CHO MÙA THI

TUYỂN CHỌN
50 BÀI TOÁN

GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)

NGUYỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuu
bienEmail: [email protected]


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

Bài 1: Giải bất phương trình

x + 1 − x 2 ≥ 2 − 3x − 4 x 2 .

Hướng dẫn
x ≥ 0
0 ≤ x ≤ 1

−3 + 41

2
⇔  −3 − 41
.
- Điều kiện: 1 − x ≥ 0
−3 + 41 ⇔ 0 ≤ x ≤
8

.
x ≤
9

−5 + 34
−3 + 41
- Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
≤x≤
.
9
8
2

2

2

Bài 2: Giải bất phương trình x − 1 + 2 3x − 2 + 9 x 2 − 24 x 2 + 10 x − 1 ≥ 0, ( x ∈ R)
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ 1
- Bất phương trình đã cho tương đương với
x − 1 − 1 + 2 3 x − 2 − 4 + 9 x 2 − 24 x 2 + 10 x + 4 ≥ 0
⇔ ( x − 1 − 1) + 2( 3 x − 2 − 2)( x − 2)(9 x 2 − 6 x − 2) ≥ 0
x−2
2(3 x − 6)
+
+ ( x − 2) (3 x − 1) 2 − 3 ≥ 0
x −1 + 1
3x − 2 + 2

[


Hướng dẫn: ĐK: 0 < x < 6 .
2

2

⇔ log 2 2 x 2 + 4 x > log 2 ( 6 − x ) ⇔ 2 x 2 + 4 x > ( 6 − x ) ⇔ x 2 + 16 x − 36 > 0

(

)

Vậy: x < −18 hay 2 < x
So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 < x < 6 .
Bài 4: Giải bất phương trình

9 x 3 − 22 x 2 + 19 x + x − 1 − 7
> 1, ( x ∈ R )
x3 + 2x 2 + 2x − 4

x ≥ 1

Hướng dẫn: Điều kiện 

3
2
x + 2x + 2x − 4 ≠ 0
- Nhận xét x 3 + 2 x 2 + 2 x − 4 ≥ 1 + 2 + 2 − 4 = 1 > 0, ∀x ≥ 1 .

- Bất phương trình đã cho tương đương với


1
7
4
2
⇔ log 5 ( 4 x + 1) + log 5 ( 3x + 2 ) ≤ 1 + log 5 ( 7 − 2 x )

Hướng dẫn: + Điều kiện: − < x

1
1
+ x > 1: x + 5 >
⇔ x2 + 5 > x +
⇔ x2 + 5 − x >
x −1
x −1
x −1
5
1
⇔
>
⇔ 5 ( x − 1) > x 2 + 5 + x ⇔ 4x − 5 > x 2 + 5
2
x + 5 + x x −1
2

5

x >
⇔
⇔x>2
4
15x 2 − 40x + 20 > 0

NGUYỄN HỮU BIỂN -

https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

Trang 2

x
 x 2 − 7 x − 4 < 0
−1 + 17
7 + 65
x2 + 2 x − 4
1

4(x + 2)
3(x + 2)2
5(x + 2)
⇔ (x − 2)  x 2 + 5x + 9 −
−
−

2x + 5 + 3
x 2 + 5 + 3 9 + 3 3 5x 2 + 7 + 3 5x 2 + 7



(

NGUYỄN HỮU BIỂN -

https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

)

2

)

≤0



≤ 0(*)



4(x + 2)
3(x + 2)2
5(x + 2)
⇒ x 2 + 5x + 9 −
−
−
>
2
2x + 5 + 3
x 2 + 5 + 3 9 + 3 3 5x 2 + 7 + 3 5x 2 + 7

)

(

)

(

18x 2 + 57x + 127
5
> 0, ∀x ≥ −
45
2

- Do đó (*) ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2 , kết hợp với điều kiện x ≥ −
trình đã cho có nghiệm là −

5

Chú ý rằng
+ 2( x + 3) > 0, ∀x ≥ − nên (1) ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
2
2x + 5 + x + 5
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1

Bài 12: Giải bất phương trình

2 1−

2
8
+ 2x − ≥ x
x
x

 x ≥ 2
 2

1
−
≥
0
 −2 ≤ x < 0
 x
 x < 0
Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình: 
⇔
⇔
x ≥ 2

≤ 0 ⇔ 2( x3 − 2 x 2 − 4 x + 8) = 4

x = 0

⇔ x 3 − 2 x 2 − 4 x = 0 ⇔  x = 1 + 5 ⇔ x = 1 + 5 (do x ≥ 2 )
 x = 1− 5


{

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [ −2; 0 ) ∪ 1 + 5

}

Bài 13: Giải bất phương trình sau : log 2 ( x 2 − 1) ≥ log 1 ( x − 1) .
2

Hướng dẫn: ĐK: x >1. BPT
log 2 ( x 2 − 1) ≥ log 1 ( x − 1) ⇔ log 2 ( x 2 − 1) + log 2 ( x − 1) ≥ 0
2
2

⇔ ( x − 1)( x − 1) ≥ 1
⇔ x3 − x 2 − x + 1 ≥ 1 ⇔ x( x 2 − x − 1) ≥ 0

⇔ x≥

1+ 5
(do x >1).
2

x−3≥
⇔ x − 3 ≥ ( 2 x − 1 − x ) 2 ⇔ x − 3 ≥ 3x − 1 − 2 2 x 2 − x
2
( 2x −1 + x )
⇔ 2 x 2 − x ≥ x + 1 ⇔ 2 x 2 − x ≥ x 2 + 2 x + 1 ⇔ x 2 − 3x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥

3 + 13
3 − 13
,x ≤
2
2

13 + 3
2

Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm x ≥

Bài 16: Giải bất phương trình 4 x 3 − (4 x 2 − 12 x + 5) x 2 − 2 x ≤ 12 x 2 − 9 x + 2
x ≥ 2
x ≤ 0

Hướng dẫn: +) Điều kiện: x 2 − 2 x ≥ 0 ⇔ 
NGUYỄN HỮU BIỂN -

https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

Trang 5


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

Ta xét một số trường hợp sau:
1
(không thỏa mãn)
2
x ≥ 2
+) TH2) x 2 − 2 x = x − 2 ⇔  2
⇔ x = 2 (thỏa mãn)
2
x − 2x = x − 4x + 4
2 x − 1 > 0
x > 2
+) TH3  2
⇔ 2
⇒ Hệ phương trình vô nghiệm
2
 x − 2 x < x − 2
x − 2x < x − 4x + 4

+) TH1: 2 x − 1 = 0 ⇔ x =

2 x − 1 < 0
1
⇔
x

x − 2

+) TH4 



1
4

1
4

Giao với điều kiện, ta được: − < x ≤ 1 . Vậy: nghiệm của BPT đã cho là − < x ≤ 1

Bài 18: Giải bất phương trình: (4 x 2 − x − 7) x + 2 > 10 + 4 x − 8 x 2
Hướng dẫn: ĐK: x ≥ -2
(4 x 2 − x − 7) x + 2 > 10 + 4 x − 8 x 2 ⇔ (4 x 2 − x − 7) x + 2 + 2(4 x 2 − x − 7) > 2[( x + 2) − 4]
⇔ (4 x 2 − x − 7)( x + 2 + 2) > 2( x + 2 − 2)( x + 2 + 2)
⇔ 4 x2 − x − 7 > 2 x + 2 − 4 ⇔ 4 x2 > x + 2 + 2 x + 2 + 1
⇔ (2 x) 2 − ( x + 2 + 1) 2 > 0 ⇔ (2 x + x + 2 + 1)(2 x − x + 2 − 1) > 0

 x + 2 > 2 x − 1
⇔
hoặc
 x + 2 < −2 x − 1

 x + 2 > −2 x − 1

 x + 2 < 2 x − 1
 5 + 41

; +∞ 
 8




)

Bài 20: Giải bất phương trình: (x + 2) 2x + 3 − 2 x + 1 + 2x 2 + 5x + 3 ≥ 1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1
x + 2 = a 2 − b 2
 2x + 3 = a



Đặt  x + 1 = b ⇒  2x 2 + 5x + 3 = ab .


a, b ≥ 0
1 = a 2 − 2b 2



Bất phương trình trở thành: (a 2 − b 2 )(a − 2b ) + ab ≥ a 2 − 2b 2
⇔ (a 2 − b 2 )(a − 2b) + b(a + b) − (a 2 − b 2 ) ≥ 0
⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) ≥ 0 (do a + b > 0)
⇔ (a − 2b)(a − b − 1) ≥ 0

NGUYỄN HỮU BIỂN -

https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

Trang 7



2
 2x + 3 − x + 1 − 1 ≥ 0
x ≤ −1; x ≥ 3


 1 
Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3
 2 



Bài 21: Giải bất phương trình 10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 2 − 3 x − 5
10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 0

25 + 745
Hướng dẫn: Điều kiện 2 x 2 − 5 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥
10
x ≥ 5

2 x 2 − 14 x + 47
- Nhận xét 2 x 2 − 5 x + 2 − 3 x − 5 =
>0
2x 2 − 5x + 2 + 3 x − 5

- Bất phương trình đã cho tương đương với
10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 2 + 9 x − 45 − 6 (2 x − 1)( x − 2)( x − 5)
⇔ 4 x 2 − 27 x + 20 + 3 (2 x − 1)( x − 5) . x − 2 ≥ 0
⇔ 2(2 x 2 − 11x + 5) − 5( x − 2) + 3 2 x 2 − 11x + 5. x − 2 ≥ 0

- Đặt

 x ( x − 2) ≥ 0


Bất phương trình đã cho tương đương với
3 x 2 − 12 x + 5 ≤ x 3 + x 2 − 2 x − 1 + 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1) x( x − 1)

⇔ x 3 − 2 x 2 + 10 x − 6 + 2 ( x − 1)( x − 2 . ( x 2 + x + 1) x ≥ 0
⇔ ( x 3 + x 2 + x) − 3( x 2 − 3 x + 2) + 2 x 2 − 3 x + 2 . x 3 + x 2 + x ≥ 0

NGUYỄN HỮU BIỂN -

https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

Trang 8


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

x 2 − 3x + 2
x 2 − 3x + 2
⇔ 1 − 3. 3
+2 3
≥ 0(1)
x + x2 + x
x + x2 + x
x 2 − 3x + 2
Đặt
= t (t ≥ 0) thì (1)
x3 + x 2 + x
1


2
ta được:
x +1

2
≥ 2 2, ∀x > −1 (2)
x +1
x + 3 x2 + x + 4
Từ (1) và (2), cộng vế với vế ta có:
+
≥ 2 2 + 3 , ∀x > −1
x +1
x +1
x +1 +

Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình.
Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là

Bài 24: Giải bất phương trình sau:

S = ( −1; +∞ )

1 + 2 x − 2 x 2 + 3x + 1
2

1− 2 x − x +1

>1



https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

Trang 9


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

- Suy ra 2 ≤ t

2
0
a
b
x
−
x
>
x
+
x
−
x
−
>



2 ⇔ x > 5 + 57 (do x ≥ 1)
- TH1: 
⇔ 2
⇔ 2
⇔
2
 5 − 57
a > 2b x − x > 4 x + 8 x − 5x − 8 > 0
x


2

⇔ log 1 ( 4 + 4 ) ≥ log 1 ( 2 x +1 − 3) + log 1 2 x
x

2

2

⇔ log 1 ( 4 + 4 ) ≥ log 1 ( 2
x

2

2
2 x +1

− 3.2

x

)

2

⇔ 4 x + 4 ≤ 22 x +1 − 3.2 x
⇔ 4 x − 3.2 x − 4 ≥ 0
 2 x ≤ −1( L )
⇔ x

Đặt t =   (với t > 0). BPT trở thành 3t + 2t – 1 ≥ 0 ⇔ 
1⇒t≥
t ≥
2
3
3

x

x


7 1
⇔   ≥ ⇔ x ≥ − log 7 3 . KL: BPT có tập nghiệm S = − log 7 3 ; + ∞ 
2 3
2
2



Bài 28: Giải bất phương trình 4 x 2 x − 1 + 45 x 3 − 75 x 2 + 30 x < 4( x ∈ R )
1
. Bất phương trình đã cho tương đương với
2
4 x 2 x − 1 − 4 x + 45 x 3 − 75 x 2 + 34 x − 4 < 0

Hướng dẫn: Điều kiện x ≥

⇔ 4 x( 2 x − 1 − 1) + ( x − 1)(45 x 2 − 30 x + 4) < 0
⇔

⇔ log 2 ( x − 2 ) − log 2 x < 1 ⇔ log 2

x−2
x−2
x3 − 4 x 2 + 5 x − x3 − 3 x 2 + 4 .
Hướng dẫn:
Cách 1: BPT
2
⇔ x − x − 2 > x ( x − 2 ) + 1 −


⇔ ( x − 2)+ | x − 2 | x + 1 > x 1 +


( x − 2)

2

( x − 2)

2

( x + 1)


- Xét hàm f (t ) = t + 1 + t 2 , t > 0 ⇒ f '(t ) = 1 +

2

+ 1


1
1
1
1
.
+ 1+ >
+ 1+
2
x x−2
x
( x − 2)
t
1+ t2

> 0 ∀t > 0 ⇒ f (t ) đồng biến

1
1
>
⇔ x − 2 > x ⇔ x 2 − 5 x + 4 > 0 ⇔ x > 4; x < 1 .
x x−2
- Kết hợp x > 2 ⇒ x > 4 .

- Xét hàm f (t ) = t − 1 + t , t ∈ R ⇒ f '(t ) = 1 −
biến ∀t . Từ đó (1) ⇔

t
1+ t2

=

1+ t2 − t
1+ t2

> 0 ∀t ⇒ f (t ) đồng

1
1
1

4 .
Cách 2: ĐK x ≥ 0
+ x = 0 không là nghiệm. Xét x > 0 :
+ (1) ⇔

(

x −2

x3 − 3x 2 + 4 =

( x + 1)( x − 2 )

2

x +1
x +1 1
>
=
x +2 2 x +2 2

(1)

= x − 2 x +1 > x − 2 = 2 − x

⇒ x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3x 2 + 4 > 2 − x
1− x
1− x
1− x
1− x
1
⇒



Bất phương trình đã cho tương đương với
x 3 − 8 ≤ x 3 − 2 x 2 − 9 + x − 1 + 2 ( x − 3)( x 2 + x + 3)( x + 1)
⇔ 2 x 2 − x ≤ 2 ( x − 3)( x + 1) . x 2 + x + 3
⇔ x 2 − 2 x − 3 − 2 x 2 − 2 x − 3. x 2 + x + 3 + x 2 + x + 3 ≤ 0
⇔ ( x 2 − 2x − 3 − x 2 + x + 3) 2 ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = x 2 + x + 3
⇔ x 2 − 2 x − 3 = x 2 + x + 3 ⇔ x = −2

Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 32: Giải bất phương trình : log 1 log 2 (2 − x 2 )  > 0 ( x ∈ R) .
2

Hướng dẫn:
- Điều kiện: log 2 (2 − x 2 ) > 0 ⇔ 2 − x 2 > 1 ⇔ −1 < x < 1
 −1 < x < 1
−1 < x < 1 −1 < x < 1
- Khi đó ⇔ log 2 (2 − x 2 ) < 1 ⇔ 
⇔
⇔
 2
2
 x≠0
2 − x < 2
x > 0
Vậy tập nghiệm bpt là S = (−1;0) ∪ (0;1)

(

)


+ TH 2: −1 − 5 ≤ x ≤ 0 , x 2 + 5 x − 4 < 0 , (**) luôn thỏa

- Đặt t =

NGUYỄN HỮU BIỂN -

https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

Trang 13


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

 −1 + 17 7 + 65 
Vậy tập nghiệm bpt (*) là S =  −1 − 5;0  ∪ 
;

2
2 

Bài 34: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x ∈  0; 1 + 3  :





m ( x 2 − 2 x + 2 + 1) + x( 2 − x ) ≤ 0
Hướng dẫn: Đặt t = x2 − 2x + 2 do x ∈ [0;1 + 3] nên t ∈ [1;2]
- Bất phương trình trở thành: m ≤
- Khảo sát hàm số g(t) =

3
3
t∈[1;2]

Bài 35: Giải bất phương trình 2 x 2 + 5 x + 6 + 7 x + 11 < 4 x + 9( x ∈ R)
Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −

6
5

+ Bất phương trình đã cho tương đương với
2 x 2 − 2 x − 4 + 5 x + 6 − ( x + 2) + 7 x + 11 − ( x + 3) < 0
− x2 + x + 2
− x2 + x + 2
+
0(1)
5x + 6 + x + 2
7 x + 11 + x + 3
1
1
1
1
6


TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

⇔ x 2 + x + 2 − 2 + ( x 2 + 1)( x + 2 − 3 x + 6
⇔

x2 + x − 2

( x 2 + 1)( x 2 + x − 2)
+
≥0
x + 2 + 3x + 6
x2 + x + 2 + 2



1
x2 +1
⇔ ( x − 1)( x + 2) 
+
 ≥ 0(1)
2
x
+
2
+
3
x
+
6

+
]>0
2x + 5 + 4x + 1
3x − 2 + 5 x − 6

⇔ x 0 (1)
1
2




Tập nghiệm của bất phương trình (2) là S1 =  −1;


+ Với t > 2 thì

x
1− x

2

2

2 

> 2 ⇔ x > 2 1 − x 2 (3)

x > 0

* Bất phương trình (3) ⇔ 

2

2

 x > 4(1 − x )

⇔x>

∪
2   5



Bài 39: Giải bất phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −

(3 x + 1) 3 > 2 x 2 + 5 x + 1( x ∈ R )

1
3

+ Bất phương trình đã cho tương đương với
(3 x + 1)( 3 x + 1 − 2 x) > 2 x 2 + 5 x + 1 − 2 x(3 x + 1)
⇔ (3 x + 1)( 3 x + 1 − 2 x) > −4 x 2 + 3 x + 1
⇔ (3 x + 1)( 3 x + 1 − 2 x) > ( 3 x + 1 − 2 x)( 3 x + 1 + 2 x)

+ Ta có

⇔ ( 3 x + 1 − 2 x)( 3 x + 1 − x − 1) < 0(1)
1
3 x + 1 + x + 1 > 0, ∀x ≥ − nên
3
( 3 x + 1 − 2 x) x( x − 1)
> 0 ⇔ ( 3 x + 1 − 2 x) x( x − 1) > 0(2)
(1) ⇔
3x + 1 + x + 1

Xét hai trường hợp xảy ra

5
3
2 x( 3 x − 5 + 4 x − 3 ) < 5( 2 x + 9 + 3)( 2 x + 9 − 3)

Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ . Lúc này bất phương trình đã cho tương đương với

⇔ 2 x ( 3 x − 5 + 4 x − 3 ) < 5 .2 x ⇔ 3 x − 5 + 4 x − 3 < 5
⇔ 7 x − 8 + 2 12 x 2 − 29 x + 15 < 25 ⇔ 2 12 x 2 − 29 x + 15 < 33 − 7 x
33
33
33
5
5
5
≤x

⇔
>
⇔ 5 ( x − 1) > x 2 + 5 + x ⇔ 4x − 5 > x 2 + 5
2
x
−
1
x +5 + x
5

x >
⇔
⇔x>2
4
2
15x − 40x + 20 > 0

+ x > 1: x 2 + 5 >

Vậ y : x > 2

Bài 42: Giải bất phương trình : ( x 2 − x ) . 2 x + 1 ≤ x3 − 2 x − 1
Hướng dẫn: ĐK: x ≥ −

1
2
BPT ⇔

(



x+

x 2 + 20 x + 4 + x ≤ 2 x + 4

4
2 

+ 20 + 1 ≤ 2  x +

x
x


2
4
⇒ x + = t2 − 4
x
x

Bất phương trình thành:
Với t ≥ 3 ta có:

x+

 1
t ≥
t + 16 ≤ 2t − 1 ⇔  2
⇔ t≥3
 t 2 + 16 ≤ 4t 2 − 4t + 1

1 + x + 1 − x < 2, ∀x ∈  ;  (Theo BĐT Bunhia)
 10 10 

Hướng dẫn: Điều kiện:
- Ta có:

Bpt ⇔ 300 x 2 − 40 x − 2 − 10 x − 1 − 3 − 10 x ≥ 0
⇔ ( 10 x − 1 − 1) + ( 3 − 10 x − 1) ≤ 300 x 2 − 40 x − 4
10 x − 2
2 − 10 x
⇔
+
≤ (10 x − 2)(30 x + 2)
10 x − 1 + 1
3 − 10 x + 1
1
1


⇔ (10 x − 2) 
−
− 30 x − 2  ≤ 0 (*)
3 − 10 x + 1
 10 x − 1 + 1

1
1
f ( x) =
−
− 30 x − 2

10

(

)

Bài 46: Giải bất phương trình: (x + 2) 2x + 3 − 2 x + 1 + 2x 2 + 5x + 3 ≥ 1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1
x + 2 = a 2 − b 2
 2x + 3 = a



Đặt  x + 1 = b ⇒  2x 2 + 5x + 3 = ab .


a, b ≥ 0
1 = a 2 − 2b 2



Bất phương trình trở thành: (a 2 − b 2 )(a − 2b ) + ab ≥ a 2 − 2b 2
⇔ (a 2 − b 2 )(a − 2b) + b(a + b) − (a 2 − b 2 ) ≥ 0
⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) ≥ 0 (do a + b > 0)
⇔ (a − 2b)(a − b − 1) ≥ 0
x ≥ −1
x ≥ −1




⇔ x = −1


2
 2x + 3 − x + 1 − 1 ≥ 0
x ≤ −1; x ≥ 3


 1 
Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3
 2 



Bài 47: Giải bất phương trình

x + 1 − x 2 ≥ 2 − 3x − 4 x 2 .

Hướng dẫn:
x ≥ 0
0 ≤ x ≤ 1
−3 + 41


2
Điều kiện: 1 − x ≥ 0
⇔  −3 − 41
.
−3 + 41 ⇔ 0 ≤ x ≤
8

−5 − 34
.
x ≤
9

−5 + 34
−3 + 41
Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
≤x≤
.
9
8
2

2

2

Bài 48: Giải bất phương trình ( 5 x 2 − 5 x + 10 ) x + 7 + ( 2 x + 6 ) x + 2 ≥ x 3 + 13x 2 − 6 x + 32 .
Hướng dẫn:
Điều kiện x ≥ −2 . Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
(5 x 2 − 5 x + 10)

(

)

x + 7 − 3 + (2 x + 6)

⇔ (5 x 2 − 5 x + 10)

1
+ Do x ≥ −2 ⇒ x + 2 + 2 ≥ 2 ⇒
≤ và vì 2 x + 6 > 0
x+2 +2 2
2x + 6
2x + 6
⇒
≤
= x + 3 (1)
2
x+2+2
1
1
+ Do x ≥ −2 ⇒ x + 7 + 3 ≥ 5 + 3 > 5 ⇒
< và vì 5 x 2 − 5 x + 10 > 0 ∀x ∈ ℝ
x+7 +3 5
2
2
5 x − 5 x + 10 5 x − 5 x + 10
5 x 2 − 5 x + 10 2
2
⇒


 2 x > 4
⇔  x +1
⇔ x
⇔ x
x+2
x
 2.2 − 8 ≤ 24 − 4.2
2 − 8 ≤ 24 − 2
6.2 ≤ 32

⇔ 4 < 2x ≤

16
 16 
⇔ 2 < x ≤ log 2  
3
 3

Bài 50: Giải bất phương trình 2( x + 3 − 3 − 2 x ) + 2 x 2 + 3x − 7 ≥ 0
Hướng dẫn:
Điều kiên : −3 ≤ x ≤

3
2

⇔2

(

)


3
4
⇒ 3 − 2x ≤ 9 ⇒
≥ 1 và 2x + 5 ≥ −1 nên
2
3 − 2x + 1
2
4
3

+
+ 2x + 5 > 0, ∀x ∈  −3; 
2
x + 3 + 2 1 + 3 − 2x


- Từ (*) ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 . Kết hợp với điều kiện ⇒ tập nghiệm của bất phương
 3

trình là T = 1; 
 2
NGUYỄN HỮU BIỂN -

NGUYỄN HỮU BIỂN -

https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien


để chinh phục phương trình lượng giác trong thi cử.
Tài liệu rất có thể vẫn còn một vài khiếm khuyết, rất mong nhận được ý kiến từ các em
học sinh và độc giả.

Liên hệ tác giả: NGUYỄN HỮU BIỂN
Fb: https://www.facebook.com/ng.huubien
Email: [email protected]

ÔN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien


CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phần 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Hàm số y = sinx
+ TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính được y)
+ Tập giá trị: [ -1 ; 1 ]
(Vì các giá trị tính được của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa là −1 ≤ s inx ≤ 1 )
+ Hàm y = sinx là hàm số lẻ
(Vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D và sin(-x) = - sinx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O).
+ Chu kỳ T = 2π (Vì sin(x + 2 π) = s inx - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2π thì giá trị hàm
số trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2π - tính chất này giúp vẽ đồ thị
được thuận tiện)
+ Bảng biến thiên trên đoạn [0;π] (trên nửa chu kỳ)
π
0

x

2




+ Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng  − + k.2π; + k.2π 
π

3π



+ Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng  + k.2π; + k.2π  , k ∈ Z
2
2

2. Hàm số y = cosx
+ TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính được y)
+ Tập giá trị: [ -1 ; 1 ] (Vì các giá trị tính được của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa
là −1 ≤ cosx ≤ 1 )
+ Hàm y = cosx là hàm số chẵn (Vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D và cos(-x) = cosx: đồ thị đối xứng qua
trục tung Oy).
+ Chu kỳ T = 2π (Vì cos(x + 2 π) = cos x - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2π thì giá trị
hàm số trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2π - tính chất này giúp vẽ đồ
thị được thuận tiện: )
+ Bảng biến thiên trên đoạn [0;π] (trên nửa chu kỳ)
π
x
y = cosx