GII TÊCH MẢNG
Trang 12
CHỈÅNG 2

GII PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP SÄÚ

2.1. GIÅÏI THIÃÛU.
Nhiãưu hãû thäúng váût l phỉïc tảp âỉåüc biãøu diãùn båíi phỉång trçnh vi phán nọ
khäng cọ thãø gii chênh xạc bàòng gii têch. Trong k thût, ngỉåìi ta thỉåìng sỉí dủng cạc
giạ trë thu âỉåüc bàòng viãûc gii gáưn âụng ca cạc hãû phỉång trçnh vi phán båíi phỉång
phạp säú họa. Theo cạch âọ, låìi gii ca phỉång trçnh vi phán âụng l mäüt giai âoản
quan trng trong gii têch säú.
Trong trỉåìng håüp täøng quạt, thỉï tỉû ca viãûc lm têch phán säú l quạ trçnh tỉìng
bỉåïc chênh xạc chøi giạ trë cho mäùi biãún phủ thüc tỉång ỉïng våïi mäüt giạ trë ca biãún
âäüc láûp. Thỉåìng th tủc l chn giạ trë ca biãún âäüc láûp trong mäüt khong cäú
âënh. Âäü
chênh xạc cho låìi gii båíi têch phán säú phủ thüc c hai phỉång phạp chn v kêch thỉåïc
ca khong giạ trë. Mäüt säú phỉång phạp thỉåìng xun dng âỉåüc trçnh by trong cạc
mủc sau âáy.
2.2. GII PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP SÄÚ.
2.2.1 Phỉång phạp Euler:
Cho phỉång trçnh vi phán báûc nháút.
),( yxf
dx
dy
=
(2.1)


Hçnh 2.1: Âäư thë ca hm säú tỉì
bi gii phỉång trçnh vi phán
0
GII TÊCH MẢNG
Trang 13
Våïi
0
dx
dy
l âäü däúc ca âỉåìng cong tải âiãøm (x
0
,y
0
). Vç thãú, ỉïng våïi giạ trë ban
âáưu x
0
v y
0
, giạ trë måïi ca y cọ thãø thu âỉåüc tỉì l thuút l ∆x:
yyy ∆+=
01
hay
h
dx
dy
yy
0
01
+=
(âàût h = ∆x)

=

Quạ trçnh cọ thãø tênh tiãúp tủc, ta âỉåüc:
h
dx
dy
yy
2
23
+=

h
dx
dy
yy
3
34
+=

...........................
Bng giạ trë x v y cung cáúp cho ton bäü bi gii phỉång trçnh (2.1). Minh ha phỉång
phạp nhỉ hçnh 2.2.
2.2.2. Phỉång phạp biãún âäøi Euler.
Trong khi ỉïng dủng phỉång phạp Euler, giạ trë dy/dx ca khong gi thiãút tênh toạn bàõt
âáưu vỉåüt ra ngoi khong cho phẹp. Sỉû thay thãú âọ cọ thãø thu âỉåüc bàòng cạch tênh toạn
giạ trë måïi ca y cho x
1
nhỉ trỉåïc.
x
1

h

h

h

y= g(x,c)

Hçnh 2.2 : Âäư thë ca låìi gii xáúp xè
cho phỉång trçnh vi phán bàòng
phỉång phạp Euler
0

y

GII TÊCH MẢNG
Trang 14
Dng giạ trë måïi x
1
v y
1
(0)
thay vo phỉång trçnh (2.1) âãø tênh toạn gáưn âụng giạ trë ca
1
dx
dy
tải cúi khong.

),(
)0(

⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+=
2
)0(
10
0
)1(
1

Dng x
1
v y
1
(1)
, giạ trë xáúp xè thỉï ba y
1
(2)


Ta âỉåüc:

h
dx
dy
dx
dy
yy
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+=
2
)2(
10
0
)3(

⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
2
)0(
10
dx
dy
dx
dy
y = g(x,c)
y
x
x
0
x
1
h
y
0
0
dx
dy
Hçnh 2.3 : Âäư thë ca låìi
gii xáúp xè cho phỉång
trçnh vi phán bàòng
phỉång phạp biãún âäøi

0
v z
0
giạ trë måïi y
1
s l:

h
dx
dz
yy
0
01
+=

Våïi:
)z,y,(
0001
0
xf
dx
dy
=

Tỉång tỉû.

h
dx
dz
zz

dng âãø xạc âënh giạ trë âảo hm tải x
1
cho âạnh giạ gáưn
âụng cáúp hai y
1
(1)
v z
1
(1)
.
2.2.3. Phỉång phạp Picard våïi sỉû xáúp xè liãn tủc.
Cå såí ca phỉång phạp Picard l gii chênh xạc, båíi sỉû thay thãú giạ trë y nhỉ hm ca x
trong phảm vi giạ trë x â cho.
y ⎟ g(x)
Âáy l biãøu thỉïc ỉåïc lỉåüng båíi sỉû thay thãú trỉûc tiãúp giạ trë ca x âãø thu âỉåüc giạ trë
tỉång ỉïng ca y. Cho phỉång trçnh vi phán (2.1).
dy = f(x,y)dx
V têch phán giỉỵa khong giåïi hản cho x v y.

∫∫
=
1
0
1
0
),(
y
y
x
x

liãn tủc.
Ta cọ thãø xem giạ trë ca y nhỉ hm ca x cọ thãø â thu âỉåüc båíi sỉû thay thãú y dỉåïi
dảng têch phán våïi y
0
, cho giạ trë ban âáưu nhỉ sau:

∫
+=
1
0
),(
00
)1(
1
x
x
dxyxfyy

Thỉûc hiãûn biãøu thỉïc têch phán våïi giạ trë måïi ca y báy giåì âỉåüc thay thãú vo phỉång
trçnh (2.3) thu âỉåüc láưn xáúp xè thỉï hai cho y nhỉ sau:

∫
+=
1
0
),(
)1(
10
)2(
1


∫
+=
1
0
),,(
00101
x
x
dxzyxfyy∫
+=
1
0
),,(
00201
x
x
dxzyxfzz

2.2.4. Phỉång phạp Runge- Kutta.
Trong phỉång phạp Runge- Kutta sỉû thay âäøi giạ trë ca biãún phủ thüc l tênh toạn tỉì
cạc cäng thỉïc â cho, biãøu diãùn trong âiãưu kiãûn ỉåïc lỉåüng âảo hm tải nhỉỵng âiãøm âënh
trỉåïc. Tỉì mäùi giạ trë duy nháút chênh xạc ca y cho båíi cäng thỉïc, phỉång phạp ny
khäng âi hi thay thãú làûp lải nhỉ phỉång phạp biãún âäøi Euler hay têch phán liãn tiãúp
nhỉ phỉång phạp ca Picard.
Cäng thỉïc rụt gn gáưn âụng xút phạt båíi sỉû thay thãú khai triãøn chøi Taylor. Runge-
Kutta xáúp xè báûc hai cọ thãø viãút trong cäng thỉïc.

k
1
)h
Cạc hãû säú a
1
, a
2
, b
1
v b
2
l chênh xạc. Âáưu tiãn khai triãøn f(x
0
+ b
1
h, y
0
+ b
2
k
1
) trong
chøi Taylor tải (x
0
,y
0
), ta âỉåüc:

h
y

0
0022
2
0
12002101
),(),()( h
y
f
yxfbah
x
f
bahyxfaayy
∂
∂
+
∂
∂
+++=
(2.5)
Khai triãøn chøi Taylor ca y tải giạ trë (x
0
,y
0
) l:

....
2
2
0
2

f
x
f
dx
yd
∂
∂
+
∂
∂
=

Phỉång trçnh (2.6) tråí thnh.
GIAI TấCH MANG
Trang 17

......
2
),(
2
),(
2
00
0
2
0
0001
h
yxf
y

1
= 1/2
Thỗ a
2
= 1/2; b
1
= 1; b
2
= 1.
Thay thóỳ giaù trở naỡy vaỡo trong phổồng trỗnh (2.4), cọng thổùc gỏửn õuùng bỏỷc hai
Runge-Kutta laỡ:

2101
2
1
2
1
kkyy
++=

Vồùi k
1
= f(x
0
,y
0
)h
k
2
= f(x

= f(x
0
,y
0
)h
k
2
= f(x
0
+ b
1
h, y
0
+ b
2
k
1
)h
k
3
= f(x
0
+ b
3
h, y
0
+ b
4
k
2

3
= 1/2; b
4
= 1/2; b
5
= 1; b
6
= 1.
Thay thóỳ caùc giaù trở vaỡo trong phổồng trỗnh (2.8), phổồng trỗnh xỏỳp xố bỏỷc bọỳn
Runge-Kutta trồớ thaỡnh.

)22(
6
1
432101
kkkkyy
++++=

Vồùi k
1
= f(x
0
,y
0
)h

h
k
y
h

k
1
, k
2
, k
3
vaỡ k
4
:
y = 1/6(k
1
+2k
2
+2k
3
+k
4
)
Sai sọỳ trong sổỷ xỏỳp xố laỡ bỏỷc h
5
.