Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

I. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Cho tứ diện ABCD . Có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện
A. 1 .

B. 4 .

C. 5 .

D. Vô số.

Hướng dẫn.
Chọn A.

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.
Khi đó I cách đều các mặt  ABC  ,  ACD  nên I nằm trên mặt phẳng  P1  là phân giác của hai mặt
phẳng  ABC  ,  ACD  .
Tương tự.
 I nằm trên mặt phẳng  P2  là phân giác của hai mặt phẳng  ABC  ,  ABD  .
 I nằm trên mặt phẳng  P3  là phân giác của hai mặt phẳng  ABC  ,  BCD  .
Gọi d là giao tuyến của  P1  và  P2  và I là giao điểm của d và  P3  .
Điểm I tồn tại và duy nhất.
Câu 2. Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 nội tiếp trong hình cầu bán kính bằng 3 . Tính thể tích khối

Theo bài ta có r  R     3  2  5 .
2

h

R

2

r

Suy ra thể tích của khối trụ là V   r 2 h   .5.4  20 .

O

D

C

Chọn đáp án B

Câu 3. Cho hình trụ có đường cao h  5cm , bán kính đáy r  3cm . Xét mặt phẳng  P  song song với
trục của hình trụ, cách trục 2cm . Tính diện tích S của thiết diện của hình trụ với mặt phẳng  P  .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 1 -



D. V   a 2 h .
9
3
Hướng dẫn
Chọn B.
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại
tiếp tam giác đáy của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.
Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng

3a
.
3

2

 3a   a 2 h
Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là V  h.S  h. . 
(đvtt).
 
3
 3 

Câu 5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2a , BC  3a . Gọi M , N là các điểm trên các cạnh AD , BC
sao cho MA  2MD , NB  2 NC . Khi quay quanh AB , các đường gấp khúc AMNB , ADCB sinh ra các
S
hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là S1 , S 2 . Tính tỉ số 1
S2
A.

S1 12

Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Hình trụ có diện tích toàn phần S1 , đường sinh MN  2a và bán kính đường tròn đáy là AM  2a
Diện tích toàn phần S1  2 . AM .MN  2 AM 2  16 a 2
Hình trụ có diện tích toàn phần S 2 , đường sinh DC  2a và bán kính đường tròn đáy là AD  3a
Diện tích toàn phần S2  2 . AD.DC  2 AD2  30 a 2 . Vậy

S1 16 8

 .
S2 30 15

Câu 6..Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng a 2 . Gọi BC là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng  SBC  tạo với mặt
phẳng đáy một góc 600 . Tính diện tích tam giác SBC

a2 3
3
Hướng dẫn
A. S 

B. S 

a2 2
3

C. S 



B

O

I

BC  2BI  2 SB2  SI 2 

a2 3
3

C

1
a2 2
 SSBC  SI.BC 
2
3
Câu 7. Cho một hình trụ T  có chiều cao và bán kính đều bằng 3. Một hình vuông ABCD có hai
cạnh AB, CD lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy, cạnh AD, BC không phải là đường
sinh của hình trụ T  . Tính cạnh của hình vuông này ?
A. 3.

B. 3 5.

C. 6.

D.


.
2
Câu 8. Khi cắt mặt cầu S  O, R  bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt
Xét tam giác A1DC vuông tại D có. 36  A1D 2  a 2  a 2  9  a 2  a 

kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S  O, R  nếu
một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình
trụ với nửa mặt cầu. Biết R  1 , tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu

S  O, R  để khối trụ có thể tích lớn nhất.
3
6
.
, h
2
2
HƯỚNG DẪN

A. r 

B. r 

6
3
.
, h
2
2

C. r 


+

0

3
3

1



2 3
9

f(h)
0
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

0
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Vậy. MaxV 
 0;1


Hướng dẫn giải
Chọn

B.

A

Bát diện đều IEFGHJ có cạnh IE 
kính R 

1
BC  a nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán
2

1
a 2
.
EG 
2
2

E
I

Câu 10. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB  CD  AC  BD  2a, AD  BC  a 2.

A. R 

a 3

R

Gọi P là trung điểm của cạnh AD mà

 BA  BD  BP  AD
 AD   PBC  .

CA  CD  CP  AD
Gọi K là trung điểm của cạnh BC  AD  PK  PK là đường
trung trực của đoạn AD.
Khi đó gọi O là trung điểm của cạnh PK  OA  OD.
Ta có BAD  CAD  c  c  c   BP  CP mà KB  KC
 PK là đường trung trực của đoạn BC  OB  OC.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Hơn nữa OC  OK 2  KC 2 , OD  OP 2  PD2 và OK  OP, KC 

1
1

Mà PK  PC  CK  AC  AP  

4
a



   3a
2
 2 
 2 
2

 R2 

2

2

2

2

5a 2
a 5
R
.
4
2


A
1
2
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
4
5
2
3
R O h
Hướng dẫn.
Chọn

D.

1 h
 R 2h
Thể tích của mỗi khối nón là V1  . . R 2 
3 2
6
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

B
- Trang | 6 -

Lượng gỗ bỏ đi tối thiểu  thể tích cái xà lớn nhất
 diện tích đáy của cái xà lớn nhất.
 đáy là hình vuông nội tiếp đường tròn đáy.
Hình vuông này có đường chéo bằng đường kính đường tròn đáy.

D

O

B

C

A

D

2

O
1
2
 0, 4 
Vtru   R h   
B
 .3 ; Shh   0, 4  .
C
2
 2 
1

Gọi h1 là khoảng cách từ mực nước trong cốc đến miệng cốc.
115
115
 32.h1 
 h1 
 4, 26cm .
3
27
Câu 15. Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng 4 dm , người ta cắt ra hình quạt tâm O bán kính
OA  4 dm (xem hình) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó OA trùng với OB ). Chiều
cao của chiếc phễu có số đo gần đúng (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) là
Thể tích của phần còn trống. V2  V  V1  135 

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

A. 3,872 dm .
Hướng dẫn.ChọnD.

B. 3,874 dm .

Chuyên đề: Mũ - Logarit


A. 12,637m3 .
Hướng dẫn.

B. 114,923m3 .

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

C. 11,781m3 .

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

D. 8,307m3 .

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Chọn A.

C

R OB
Nhận xét OH  CH  0,5  
suy ra OHB là tam giác nửa đều
2
2


O

Thể tích dầu ban đầu. V  5. .12  5
Vậy thể tích còn lại. V2  V  V1 12,637m3 .
Câu 17. Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng
bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống
trong hộp chiếm.
A. 65,09% .

B. 47,64% .

C. 82,55% .

D. 83,3% .

Hướng dẫn
Gọi đường kính quả bóng bàn là d . Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là d , d ,3d .
Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật là V1  d .d .3d  3d 3

4
d3 d3
Thể tích của ba quả bóng bàn. V2  3   r 3  4
.

3
8
2
Thể tích phần không gian còn trống. V3  V1  V2
Phần không gian còn trống trong hộp chiếm.

B. 3V1  2V2 .

C. 16V1  9V2 .

D. 27V1  8V2 .

Hướng dẫn
Chọn A.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Gọi r1 là bán kính quả bóng, r2 là bán kính chiếc chén, h là chiều cao chiếc chén.

r h
h
Theo giả thiết ta có h  2r1  r1  và OO  1  .
2
2 4
2

h

16

Câu 19. Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình bên. Biết bán

A
rB

kính đáy bằng R  5cm, bán kính cổ r  2cm, AB  3cm, BC  6cm, CD  16cm. Thể tích phần
không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng.
A. 495  cm3  .

C

 

B. 462  cm3  .

D. 412  cm3  .

C. 490 cm3

Hướng dẫn

B

 
  r . AB  12  cm  .

Thể tích khối trụ có đường cao CD . V1   R 2 .CD  400 cm3 .





 R .MC  r .MB   78  cm  .
3
2

2

3

Suy ra. V  V1  V2  V3  490 cm3 .

Chọn C
Câu 20. Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao
cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính
thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY .
A. V 





125 1  2 
6

.

B. V 


24

. D. V 



Chuyên đề: Mũ - Logarit



125 2  2 
4

.

Hướng dẫn

X

Chọn C
Cách 1.

Khối tròn xoay gồm 3 phần.
Phần 1. khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng

5
có thể tích
2

125

.
V3   
  

 
 
  2   2 
3
2
2
2
24


Vậy thể tích khối tròn xoay là



V  V1  V2  V3 












3
24
5 4 2
Thể tích cần tìm V  VT  V2 N  VN   125
.
24

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Câu 21. Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r  2m , chiều cao h  6m . Bác thợ
mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích
lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính V .

A. V 

32 3
m .
9

B. V 


Ta có.

V ( x)  12 x  9 x 2 , V ( x)  0  x  0  x 
Khi đó ta có thể suy ra được với x 

V

32 3
m 
9

h

h'
x

4
3

O

2-x
B

A

4
thì V đạt giá trị lớn nhất bằng
3

Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ nằm trong nửa khối cầu
Ta có r 2  h2  27  r 2  27  h2

Ta có V  h. r 2  h  27  h2    h3  27 h
Cách 1. Ta có V '  3 h2  27 ;V '  0  h  3 .
Vì hệ số a  0 nên để Vmax thì h  3  r 2  18  V  3. .18  54  cm3 
2
2 2
Cách 2. V  h   27  h



2 2



2
2

2h 2  27  h 2  27  h 2  

2
2
2
 2  2h   27  h    27  h  


2 



r
Hướng dẫn.
Không mất tính tổng quát, giả sử thể tích của hình trụ là V  1 và giá cho mỗi đơn vị diện tích bằng 1 .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 13 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Theo bài ta có h 

Chuyên đề: Mũ - Logarit

1
h
1
  3.
2
r
r r

Diện tích xung quanh của hình trụ là S1  2 r.h  2 r.

1
2
 .

A. 35279 đồng.
C. 42116 đồng.

B. 38905 đồng.
D. 31835 đồng.

Hướng dẫn.
Chọn D
Ta xét hình nón đỉnh A , đường cao h  80 cm đáy là đường tròn tâm
O , bán kính bằng 30 cm . Mặt phẳng   cách mặt đáy 80 cm cắt
hình nón theo giao tuyến là đường tròn tâm O ' có bán kính bằng
20 cm . Mặt phẳng   chia hình nón thành 2 phần. Phần I là phần
chứa đỉnh A , phần II là phần không chứa đỉnh A (Như hình vẽ)
O ' B AO '
AO '
2


  AO '  160 cm  AO = 240 cm
Ta có
OC
AO
AO ' O ' O 3
1
Thể tích hình nón V  AO. .302  72000 cm3
3
1
64000
 cm3
Thể tích phần I là V1  AO '. .202 


3

2 V 2 .

3
2
B. 6 V .

3
2
D. 3 2 V

3
2
C. 3 6V .

Hướng dẫn.

h
h

R

a

b

Trường hợp 1. Hộp sữa hình trụ


V V
Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho bộ ba số dương ab; ;
a b
V V
Ta có Stp  2.3 3 ab. .  6 3 V 2 (**)
a b
Xét hai kết quả ta thấy (*) nhỏ hơn
Thể tích không đổi V   R 2 h  h 

: Lê Anh Tuấn
:

Hocmai.vn

Vậy diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất là Stp  3 3 2V 2 (đvdt)
ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1.A

4.B

7.D

10.D

13.C

16.A

19.C


21.A

24.D

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

25.D

- Trang | 15 -