i
PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN

 Lý thuyết
 Bài tập
 Chương trình MATLAB
HÀ NỘI 2007
TRẦN ÍCH THỊNH – NGÔ NHƯ KHOA
SinhVienKyThuat.Com

TRẦN ÍCH THỊNH
NGÔ NHƯ KHOA
HÀ NỘI 2007

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
P p
 Lý thuyết
 Bài tập
 Chương trình MATLAB

SinhVienKyThuat.Com


HÀ NỘI 2007
SinhVienKyThuat.Com
i

MỞ ĐẦU
Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn
dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên
trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách
khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ
thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích
trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ
thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ,
Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu
hàn v.v.:
- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,
- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác
nhau,
- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH.
Giáo trình biên soạn gồm 13 chương.
Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần
tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma
trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ
cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử
hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương
4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình
tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán
phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối
xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm
tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và

Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1. Giới thiệu chung ................................................................................ 1
2. Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn ............................................................. 1
3. Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn .......................................... 2
3.1. Nút hình học ............................................................................................... 2
3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử............................................................ 2
4. Các dạng phần tử hữu hạn ................................................................. 3
5. Phần tử quy chiếu, phần tử thực ......................................................... 4
6. Một số dạng phần tử quy chiếu .......................................................... 5
7. Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất ............................................... 6
8. Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần ........................................ 7
9. Sơ đồ tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn ........................... 8

Chương 2
ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN
1. Đại số ma trận ................................................................................. 11
1.1. Véctơ ....................................................................................................... 11
1.2. Ma trận đơn vị .......................................................................................... 12
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. ................................................................. 12
1.4. Nhân ma trận với hằng số ......................................................................... 12
1.5. Nhân hai ma trận ...................................................................................... 13
1.6. Chuyển vị ma trận .................................................................................... 13
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận................................................................... 14
1.8. Định thức của ma trận .............................................................................. 14
1.9. Nghịch đảo ma trận .................................................................................. 15
1.10. Ma trận đường chéo .............................................................................. 16
1.11. Ma trận đối xứng .................................................................................. 16
1.12. Ma trận tam giác ................................................................................... 16
2. Phép khử Gauss ............................................................................... 17

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG
1. Mở đầu ............................................................................................ 52
2. Hệ toạ độ địa phương, hệ toạ độ chung ............................................ 52
3. Ma trận độ cứng phần tử .................................................................. 54
4. Ứng suất .......................................................................................... 55
5. Ví dụ ............................................................................................... 55
6. Chương trình tính hệ thanh phẳng .................................................... 57
7. Bài tập ............................................................................................. 67

Chương 6
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU
1. Mở đầu ............................................................................................ 71
1.1. Trường hợp ứng suất phẳng ...................................................................... 72
1.2. Trường hợp biến dạng phẳng .................................................................... 72
2. Rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tam giác ....................................... 73
3. Biểu diễn đẳng tham số.................................................................... 76
4. Thế năng ......................................................................................... 79
5. Ma trận độ cứng của phần tử tam giác ............................................. 79
6. Qui đổi lực về nút ............................................................................ 80
7. Ví dụ ............................................................................................... 83
8. Chương trình tính tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng ...................... 88
9. Bài tập ............................................................................................. 99 SinhVienKyThuat.Com
v

Chương 7
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG

9. Chương trình tính dầm chịu uốn .................................................... 166
10. Bài tập ........................................................................................... 175

Chương 10
PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT
1. Giới thiệu ...................................................................................... 178
2. Bài toán dẫn nhiệt một chiều.......................................................... 178
2.1. Mô tả bài toán ........................................................................................ 178
SinhVienKyThuat.Com
vi

2.2. Phần tử một chiều ................................................................................... 178
2.3. Ví dụ ...................................................................................................... 180
3. Bài toán dẫn nhiệt hai chiều ........................................................... 182
3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều .................................. 182
3.2. Điều kiện biên ........................................................................................ 183
3.3. Phần tử tam giác ..................................................................................... 184
3.4. Xây dựng phiếm hàm ............................................................................. 185
3.5. Ví dụ ...................................................................................................... 189
4. Các chương trình tính bài toán dẫn nhiệt ........................................ 192
4.1. Ví dụ 10.1 .............................................................................................. 192
4.2. Ví dụ 10.2 .............................................................................................. 197
5. Bài tập ........................................................................................... 203

Chương 11
PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN
1. Giới thiệu ...................................................................................... 206
2. Lý thuyết tấm Kirchhof ................................................................. 206
3. Phần tử tấm Kirchhof chịu uốn ...................................................... 209

4.2. Phần tử trong hệ thanh phẳng.................................................................. 272
4.3. Phần tử tam giác ..................................................................................... 273
4.4. Phần tử tam giác đối xứng trục ............................................................... 274
4.5. Phần tử tứ giác ....................................................................................... 275
4.6. Phần tử dầm ........................................................................................... 275
4.7. Phần tử khung ........................................................................................ 276
5. Ví dụ ............................................................................................. 276
6. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm và khung .................. 277
6.1. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm ................................... 277
6.2. Chương trình tính tần số dao động tự do của khung ................................ 282
7. Bài tập ........................................................................................... 287

TÀI LIỆU THAM KHẢO

SinhVienKyThuat.Com
1 Chương 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1. GIỚI THIỆU CHUNG
Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện
những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an
toàn cao.
7.1. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là
một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời
giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ
việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong
các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay,

- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con v
e
chỉ liên quan đến những biến
nút gắn vào nút của v
e
và biên của nó,
- Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con v
e
được xây dựng sao cho
chúng liên tục trên v
e
và phải thoả mãn các điều kiện liên tục
giữa các miền con khác nhau.
- Các miền con v
e
được gọi là các phần tử.
3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1. Nút hình học
Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học
các PTHH. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập
hợp các phần tử v
e
có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử v
e
cần chọn sao
cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học
của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong v
e
hoặc trên biên của
nó.

1

v
2

Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử
SinhVienKyThuat.Com

3
4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba
chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất
(gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta
làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp.
Phần tử một chiều

Phần tử hai chiều

Phần tử ba chiều
Phần tử tứ diện

Phần tử lăng trụ
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
Phần tử bậc nhất
Phần tử bậc hai
Phần tử bậc ba
Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
SinhVienKyThuat.Com

r

v
3

v
2

v
1

1,0

0,0

y

x
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)


r

Phần tử qui chiếu ba chiều
Phần tử tứ diện

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
v
r

1

0,0

1


v
r

1

0,0

1


v
r

1

0,0

3
2
/
3
1
/
3
1
/
3
2
/
3
0

1

-1


0

1

-1


-1
/
2

]
T

- Lực diện tích T : T = T[ T
x
, T
y
, T
z
]
T

- Lực tập trung P
i
:

P
i
= P
i
[ P
x
, P
y
, P
z
]
T

v


Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba
v
r

0,1,0

0,0,0

0,0,1


v
r

0,1,0

0,0,1

v
r




1,0,0


1,0,0


,

xz
,

xy
]
T
(1.2)
Trường hợp biến dạng bé:
T
x
v
y
u
x
w
z
u
y
w
z
v
z
w
y
v
x
u



= [

x
,

y
,

z
,

yz
,

xz
,

xy
]
T
(1.4)

Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng
suất với biến dạng:

= D

(1.5)









5000000
0500000
0050000
0001
0001
0001
211
,
,
,
E
D

E là môđun đàn hồi,

là hệ số Poisson của vật liệu.
8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Thế năng toàn phần  của một vật thể đàn hồi là tổng của năng
lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:

= U + W (1.6)
Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên một
đơn vị thể tích được xác định bởi:

V
T
PuTdSuFdVuW
1
(1.8)
Thế năng toàn phần của vật thể đàn hồi sẽ là:




n
i
i
T
i
S
T
V
T
V
T
PuTdSudVfudV
1
2
1

(1.9)
Trong đó: u là véctơ chuyển vị và P
i
là lực tập trung tại nút i có

Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình
1.3); Tính toán ma trận độ cứng phần tử k
Tính toán véctơ lực nút phần tử f
Giải hệ phương trình KQ = F
(Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)
Đọc dữ liệu đầu vào
- Các thông số cơ học của vật liệu
- Các thông số hình học của kết cấu
- Các thông số điều khiển lưới
- Tải trọng tác dụng
- Thông tin ghép nối các phần tử
- Điều kiện biên

Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F
Áp đặt điều kiện biên
(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)
Tính toán các đại lượng khác
(Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)
In kết quả
- In các kết quả mong muốn
- Vẽ các biểu đồ, đồ thị
Hình 1.3. Sơ đồ khối của chương trình PTHH
SinhVienKyThuat.Com

10
SinhVienKyThuat.Com



(2.1)
trong đó, x
1
, x
2
, …, x
n
là các nghiệm cần tìm. Hệ phương trình (2.1) có
thể được biểu diễn ở dạng thu gọn:
Ax = b (2.2)
trong đó, A là ma trận vuông có kích thước (n

n), và x và b là các
véctơ (n

1), được biển diễn như sau:














n
x
x
x
x

2
1
















n
b
b
b
b


11
c

1.2. Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường
chéo chính bằng 1, ví dụ:











100
010
001
I
1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận.
Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m

n). Tổng của
chúng là 1 ma trận C = A + B và được định nghĩa như sau:
c
ij
= a
ij

21
58
15
23

phép trừ được định nghĩa tương tự.
1.4. Nhân ma trận với hằng số
Nhân 1 ma trận A với hằng số c được định nghĩa như sau:
cA=[ca
ij
] (2.4)
Ví dụ:














 100500
200300
15
23


n
k
kjikij
bac
1
(2.6)
Ví dụ:























Chuyển vị của ma trận A = [a
ij
] kích thước (m

n) là 1 ma trận, ký
hiệu là A
T
có kích thước là (n

m), được tạo từ ma trận A bằng cách
chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận A
T
. Khi đó, (A
T
)
T
= A.
Ví dụ:













A
T
. (2.7)
SinhVienKyThuat.Com

14
1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận
Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải
là 1 hằng số, chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến. Ví dụ:














yxx
yx
xyxyx
A
46
2
52

1
x
2
... x
n
}
T
chứa các
biến. Khi đó, đạo hàm của Ax theo 1 biến x
p
sẽ là:
p
p
aAx
dx
d
)(
(2.10)
trong đó, a
p
là véctơ cột và chính là cột thứ p của ma trận A.
1.8. Định thức của ma trận
Cho ma trận vuông A = [a
ij
], kích thước (n

n). Định thức của ma
trận A được định nghĩa như sau:
 
 


15


























nnnn
n


n) được xác định theo phương
pháp truy hồi từ định thức các ma trận có kích thước (n-1

n-1). Trong
đó, ma trận chỉ có 1 phần tử (1

1) có:
det(a
pq
) = a
pq
(2.12)
1.9. Nghịch đảo ma trận
Cho ma trận vuông A, nếu det(A)  0, thì A có ma trận nghịch đảo
và ký hiệu là A
-1
. Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:
A
-1

A = A

A
-1
= I (2.13)
Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và không tồn tại ma trận
nghịch đảo. Nếu det(A)

0 ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó,















1121
1222
1
2221
1211
1
det
1
aa
aa
A
aa
aa
A

SinhVienKyThuat.Com