Chuyên đề Tích phân Email:
ST&BS: Cao Văn Tú
Page 1
Blog: www.caotu28.blogspot.com CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất định :
Cdx0
Cxdx
1
1
1
nC
n
x
dxx
n
n
tan
cos
1
2
Cxdx
x
cot
sin
1
2
Cxudx
xu
xu
)(ln
)(
)(
C
.
Giả sử
)(xu
là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
,
và có miền giá trị là
ba;
thì ta
có :
CxuxFdxxuxuf
)()()('.)(BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
1
0
2
1
1x
2
21
2
dt
xdxxdxdtxt
Đổi cận :
21
10
tx
tx
Vậy :
2ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
1
2
12
11
2
etx
etx
Vậy :
)1ln(ln
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 :
nxdxmxI cos.sin
Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 :
dxxxI
nm
.cos.sin
Cách làm :
Nếu
nm,
chẵn . Đặt
xt tan
2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x
t
Dạng 4 :
dx
nxdxc
mxbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
)122(
3
2
3
2ln1
2
1
2
1
2
3
1
3
tdtt
x
dxx
BÀI TẬP
Tính tích phân :
a)
2
0
4
1
)1(sin
cos
x
xdx
I
b)
2
0
5
2
cos
xdxI
c)
24
7
3
1
)1(sin
cos
2
1
3
2
1
4
2
0
4
1
tt
dt
x
xdx
I
b) Đặt :
xdxdtxt cossin
0
1
0
24
2
2
2
0
5
2
tt
t
dtttdttxdxI
c) Đặt :
dxxdtxt )1(tantan
0
35
1
0
1
0
2
24
2
6
4
0
6
3
2
0
2222
1
cos.sin.
cos.sin
dx
xbxa
xx
I
b)
3
0
2
2cos2
cos
dx
x
x
I
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b
a
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
0
2222
1
b) Đặt :
xdxdtxt cossi n
3
0
2
3
0
2
2
32
1
23
2cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I
Đặt :
ududtut sin
2
3
cos
2
3
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0
2
2
xx
I
b)
2
0
2
5cos3sin4
6cos7sin
dx
xx
xx
IBài làm :
a) Đặt :
1
2
1
2
tan
2
tan
2
2
Vậy :
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng đồng nhất thức ta được:
1,1,1 CBA
Vậy :
6
1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
IBạn đọc tự làm :
a)
2
6
2
3
1
sin
cos
dx
x
x
I
b)
2
0
3
3
1cos
sin4
dx
x
x
I
d)
2
0
5
3cos2sin
1
dx
xx
I
d)
1
1
.
1
1
với
1,0, NCna
ta có :
Nếu
Ran ,1
ta có :
Cx
ax
dx
I
ln
Dạng 2 :
dx
cbxax
x
nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
bax
t
n
n
n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22
1
2
.
4
* Giai đoạn 3 :
Tính
dt
t
I
n
n
m
m
n
m
Nếu :
QP degdeg
thì ta thực hiện phép chia
xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m
ax
A
ax
A
ax
P
1
11 Vdụ 1a :
A
cxbxax
xP
m
Chuyên đề Tích phân Email:
ST&BS: Cao Văn Tú
Page 7
Blog: www.caotu28.blogspot.com
*Qt 2':
n
nn
n
với
0
*Qt 3:
m
i
n
k
i
i
i
i
n
m
t
cbxax
Vdụ 2 :
2
2
22
2
11
2
2
cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xP
t
2
2
23xx
dx
IBài làm :
a)
1
0
1
0
1
1
0
22
1
0
2
2
2
21
2
2
1
1
1
23
1
0
24
1
33xx
dx
I
b)
1
0
2
2
21
24
dx
xx
x
IBài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được
1
0
1
0
2222
1
0
24
1
3
1
1
1
2
1
3133
329
2
3
arctan
3
1
arctan
b) Đặt :
12
22
1
2
12
24
2
2
22
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
AC
CB
BA
Vậy :
1
0
1
0
2
2
2
1
3
2
2
1
1
1
dx
xx
x
I
b)
5
2
2
2
32xx
dx
I
c)
dx
xx
x
I
1
22
x
C
x
B
x
A
xx
x
b)
31
32
1
2
x
B
x
A
xx
11
23
24
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
xĐẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét
một số đặc điểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
Chuyên đề Tích phân Email:
ST&BS: Cao Văn Tú
Page 9
Blog: www.caotu28.blogspot.com Đổi cận :
01
10
tx
tx
Vậy :
0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét
0
a
dxxf
. Đặt
dtdxdxdtxt
Đổi cận :
00 tx
atax
V ậy :
xf
là hàm chẵn , liên tục và xác định trên
R
.
Chứng minh rằng :
dxxfdx
a
xf
x
0
1Bài làm : Xét
dx
a
xf
0 0
0
111
t
t
tx
a
tfa
dt
a
tf
dx
a
xf
0
0
0
111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx
a
xf
xx
x
x
(đpcm)
Cho hàm số
xf
liên tục trên
1,0
. Chứng minh rằng :
0
tx
tx
Vậy :
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
0 0
sin.sin dttftdttf
dxxfdxxfx
b
a
dxxf
ba
dxxfx
0
2
.Cho hàm số
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
.
Chứng minh rằng :
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
Xét
a
dxxf
0
. Đặt
dxdtTxt
Chuyên đề Tích phân Email:
ST&BS: Cao Văn Tú
Page 11
Blog: www.caotu28.blogspot.com Đổi cận :
Tatax
Ttx 0
Vậy :
T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2Bạn đọc tự làm :
a)
1
0
6
1
1 dxxxI
b)
1
1
22
I
e)
2
2
2
5
21
sin
dx
xx
I
x
f)
1
1
2
2
6
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số
u
và
v
có đạo hàm liên tục trên đoạn
ba,
, thì ta có :
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt
xu ln
hay
xu
a
log
.
cos.
xdxxI
c)
e
xdxI
1
3
lnBài làm :
a) Đặt :
xx
evdxedv
dxduxu
Vậy :
11
1
0
1
2
0
2
2
0
1
0
1
xdxxxdxxxxdxexI
x
Ta đi tính tích phân
2
0
sin.
xdxx
Đặt :
0
1
dxexI
x
c) Đặt :
xvdxdv
dx
x
duxu
1
ln
Vậy :
1ln.ln.ln
01
1
1
1
I
c)
e
dxxI
1
3
lncosBài làm :
a) Đặt :
xvxdxdv
dxedueu
xx
cossin
Chuyên đề Tích phân Email:
ST&BS: Cao Văn Tú
Page 13
Blog: www.caotu28.blogspot.com
xxx
0
0
0
sin.sin.cos.
Thế vào (1) ta được :
2
1
12
11
e
IeI
b) Đặt :
xxdxxxdx
x
x
I
c) Đặt :
xvdxdv
dxx
x
duxu lnsin
1
lncos
Vậy :
1
lnsin
Vậy :
3
1
1
1
3
0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e
e
e
Thế vào (1) ta được :
2
1
12
33
2
2
3
ln
1
ln
1
e
dx
xx
I
d)
1
0
2
4
1ln dxxxI
e)
3
2
0
7
cos1
sin1
dxe
x
x
I
xChuyên đề Tích phân Email:
ST&BS: Cao Văn Tú
Page 14
Blog: www.caotu28.blogspot.com Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
Muốn tính
b
a
dxxgxfI ,min
ta đi xét dấu
xgxf
trên đoạn
ba,
Tính các tích phân sau :
a)
4
1
1
2dxxI
b)
2
0
2
1
32 dxxxI
x
xx
xdxxdxxdxxI
2
5
4288
2
1
224
1
0
dxaxxI
a
với
a
là tham số :
Bài làm :
x
a
x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
4
3
3
3
3
2
1
3
2
1
0
3
.
1
0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
a
Nếu
10 a
.
Nếu
1a
.
1
0
1
0
Bài làm :
a) Xét hiệu số :
2,01
2
xx
Vậy :
3
4
3
,1min
2
1
2
0
3
2
1
1
0
2
2
0
2
1
xx
dxxxdxdxxxIBạn đọc tự làm :
a)
3
2
2
1
3,min dxxxI
b)
2
0
2
cos,sinmax
dxxxI
c)
4
1212 dxxxxxINguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1:
dxcbxaxxR
2
,
ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.
dtttSdxcbxaxxR
bax
t
2
22
1,,
Tới đây , đặt
ut tan
.
Dạng 2:
2
22
1,,
Tới đây , đặt
ut sin
.
Dạng 3:
2
22
1,,
Tới đây, đặt
u
t
sin
1
.
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :
x
t
tt
dt
cbxaxx
dx
1
22
22
,
đặt
kt
t
a
x
2cos
dxcbxaxxS
2
,
đặt
0;.
dcx
bax
t
mTính :
3
2
74xx
dx
IBài làm :
2
3
2
3
2
u
duu
I
tan3tan3
3
2
2
cos
3
1
1tan.33
1tan3
C
xx
x
C
t
t
Cu
74
2
3
1
1
3
12
222
1
13
2
1
4
3
2
1
1
x
t
1
2
1
ln
2
1
1
1ln
2
1
1
2
3
1
13
2
1
22
22
3
12
2
b)Đặt :
2
1
t
dt
C
x
C
x
2
1
arcsin
2
1
1
arcsinTìm các nguyên hàm sau
a)
3
11 xx
dx
I
b)
1
2
1
23
5
3
1
1
166
11
xtxt
dt
t
tt
tt
dtt
xx
dx
ICxxxx
Ctttt
11ln6161312
1ln6632
663
23
1
2
1
2
11
11
2
1
Chuyên đề Tích phân Email:
ST&BS: Cao Văn Tú
Page 18
Blog: www.caotu28.blogspot.com
1
1
2
1
2
1
dx
x
x
xx
Vậy :
OK
t
dtt
dx
x
x
x
x
t
1
2
2
1
2
1Tìm các nguyên hàm sau :
Vậy :
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
4
2
2
4
2
4
9
.
2
9
.
2
9
b)Đặt :
dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
4
2
4
4
5
2
4
2
2
2
2
2
2
4
64
4ln36
4
4
64
ln36
4
25636
16
4
4
.
2
4
.
2
4
16
Bài làm :
1
2
1
2
1
2
1
2
1
121
2
1
dxxdxxxI
Đặt :
tdtdxtx cos
2
1
sin12
Đổi cận :
8
1
2cos1
8
1
cos
4
1
tdtttdtI
b) Đặt :
dxtdtxt 21
Đổi cận :
2
1
t
dt
tt
tdt
dx
xx
dx
I
Bạn đọc tự làm :
a)
1
2
1
xx
dx
I
b)
dxxxI
x
I
11
11
2
2
5
d)
dx
x
I
11
1
2
6
Bất đẳng thức tích phân :
Nếu
0,0
dxxfbaxxf
b
2ln1ln
2
1
ln
1
1
ln
3
2
t
t
Chuyên đề Tích phân Email:
ST&BS: Cao Văn Tú
2
1
15
2
2
1
2
dx
x
x
c)
1
0
211 dxxxBài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :
1,0
4
dxdxxx
(đpcm)
b) Xét hàm số :
2,1
1
2
x
x
x
xf
Đạo hàm :
2
2
1
1
f
f
Vậy :
2
1
15
2
2
1
15
2
2,1
2
1
15
2
2
1
2
2
1
2
1
2
Vậy :
01211
1
0
dxxx
Chuyên đề Tích phân Email:
ST&BS: Cao Văn Tú
Page 21
Blog: www.caotu28.blogspot.com
1
0
211 dxxx
(đpcm)
Chứng minh rằng :
e
dx
x
3
1
2
3
1
2
1
1
1
sin.
dx
xe
dx
x
xe
x
Xét
3
1
2
1
1
dx
xe
1tan
3
4
3
4
2
2
e
dt
te
dtt
Từ đó ta được đpcm.
Bạn đọc tự làm :
Chứng minh rằng :
a)
10
cos35
16
2
6
32
xx
dx
d
*
) Cho 2 hàm số liên tục :
1,01,0:;1,01,0: gf
Chứng minh rằng :
1
0
xex
xe
x
Chuyên đề Tích phân Email:
ST&BS: Cao Văn Tú
Page 22
Blog: www.caotu28.blogspot.com
xgy
bx
xfy
ax
;
Được tính như sau :
ba,
và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Ox
xfy
bxax ,
Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :
dxxfV
b
a
2
Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy
3)Tính giới hạn :
Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
Viết dãy số thành dạng :
n
i
n
n
i
f
n
S
1
1
sau đó lập phân hoạch đều trên
1,0
, chọn
n
i
x
4)Tính độ dài cung đường cong trơn:
Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh
xfy
thì độ dài đường cung nó được tính như
sau :
dxyl
b
a
2
1
với
ba,
là hoành độ các điểm đầu cung .
4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối cùng
là tính tích phân .
Chuyên đề Tích phân Email:
ST&BS: Cao Văn Tú
Page 23
Blog: www.caotu28.blogspot.com
2
00
tRx
tx
2
00
tRx
tx
Vậy :
dvdtRtxR
dttRtdtRtRS
2
2
0
Page 24
Blog: www.caotu28.blogspot.com Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol
2
xy
, phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm A(1,4) và
hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình đường thẳng có dạng.
41 xky
Phương trình hoành độ giao điểm .
0441
22
kkxxxkx
Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử
21
xx
Vậy diện tích là :
kxxkxxxxxx
xkx
kx
dxxxkS
x
x
x
x
Với :
1
4
2
1
44
3
1
164
22
222
kkkk
kkkkkkS
34122
6
1
164
6
Xét :
0
0
0
22
2
a
xay
ayxyx
a
xay
nax
a
xay
yx
0
0
2
Với
0 ayx
ta được :
0
0
2
2
2
a
a
x
y
axy
a
xay
yax
Vậy diện tích cần tính là :
Bạn đọc tự làm :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a)
2
y
yx
yx
d)
0,
1
2
2
2
2
ba
b
y
a
Copyright: Tài liệu đại học ©