Download miễn phí Luận văn Phương pháp toán tử cho bài toán Exciton hai chiều



MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . 1
Chương 1: GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ(OM) QUA BÀI TOÁN
DAO ĐỘNG TỬPHI ĐIỀU HÒA . 5
1.1 Sơ đồRayleigh- Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng . 5
1.2 Phương pháp nhiễu loạn và dao động tửphi điều hòa. 8
1.3 Phương pháp toán tửcho bài toán dao động tửphi điều hòa . 10
Chương 2: EXCITON - BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU . 17
2.1 Exciton . 17
2.1.1 Khái niệm exciton . 17
2.1.2 Phân loại exciton . 17
2.1.3 Tính chất của exciton. 18
2.2 Bài toán exciton hai chiều . 19
2.2.1 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều . 19
2.2.2 Phương pháp giải tích cho bài toán exciton hai chiều . 20
Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬCHO BÀI TOÁN EXCITON
HAI CHIỀU. 25
3.1 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều biểu diễn
qua toán tửsinh hủy. 25
3.2 Phương pháp toán tửgiải bài toán exciton hai chiều . 28
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀTÀI . 36
PHỤLỤC . 37


http://s1.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-01-luan_van_phuong_phap_toan_tu_cho_bai_toan_exciton.W5LWCLiHjB.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53169/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

u thức (3.2) có số hạng chứa biến động lực ở mẫu số sẽ gây khó khăn khi
sử dụng OM. Để loại trừ khó khăn đó ta sử dụng phép biến đổi Laplace như sau:
2
1
0
1 1
ˆ
treU dt
r tpi
+∞
−
= = ∫ , (3.3)
từ đó thu được Hamiltonian dưới dạng:
2 22 2 ( )
2 2
0
1
ˆ
2
t x yZ eH dt
x y tpi
+∞
− + ∂ ∂
= − + − ∂ ∂  ∫
. (3.4)
3.2 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton hai chiều
Ta sẽ giải phương trình Schrödinger (2.9) bằng OM với bốn bước cơ bản như sau:
Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy hai chiều
bằng cách đặt biến số động lực (tọa độ và toán tử đạo hàm) thông qua các toán tử sau
(xem phụ lục 6):
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 30
ˆ ˆ( ) , ( ) ,
2 2
ˆ ˆ( ) , ( ) ;
2 2
x x
x x
x x
y y
y y
y y
1 1
a x a x
x x
1 1b y b y
y y
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
+
+
   ∂ ∂
= + = −   ∂ ∂   
   ∂ ∂
= + = −      ∂ ∂   
(3.5)
ở đây các toán tử ˆˆ,a b được gọi là “toán tử hủy” và ˆ,ˆ ba ++ được gọi là “toán tử sinh” [4];
,x yωω là các tham số thực dương được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán, ta sẽ
nói rõ hơn về các tham số này trong bước ba.
Dễ dàng kiểm chứng các toán tử sinh hủy (3.5) thỏa mãn hệ thức giao hoán:
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ 1, 1;a a a a bb b b+ + + +− = − = (3.6)
các giao hoán tử khác bằng không. Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các toán tử sinh hủy về
dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm ở phía bên trái và các toán tử hủy nằm về
phía bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau này.
Mặt khác, để thuận tiện trong tính toán ta sử dụng các toán tử:
( ) ( ) ( )222 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 1 , , ,N a a b b M a b M a b+ + + + += + + = + = + (3.7)
trong đó ba toán tử ˆ ˆ ˆ, ,N M M + tạo thành một đại số kín, thỏa mãn các hệ thức giao hoán
( xem phụ lục 6):
ˆ ˆ ˆ
, 2M M N+  =  ,
ˆ ˆ ˆ
, 4M N M  =  ,
ˆ ˆ ˆ
, 4 ,N M M+ +  =  (3.8)
đồng thời do tính đối xứng nên ta chọn x yω ω ω= = , từ đó ta viết lại Hamiltonian (3.4)
như sau:
( ) ( )
0
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp
4
dH M M N Z M N Mω ω τ τ
pi τ
+∞
+ + = − + − − − + +
 ∫ . (3.9)
Thành phần có dạng hàm mũ ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆexpS N M Mτ τ + = − + +  có thể đưa về dạng
chuẩn như sau:
( ) 1ˆ ˆ ˆ ˆexp exp ln 2 1 ( ) exp
2 1 2 2 1
S M N Mτ ττ τ
τ τ
+     
= − − + −     + +     
,
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 31
điều này cho phép ta dễ dàng sử dụng tính toán đại số dựa vào các tính chất (3.6) và
(3.8) (xem phụ lục 7).
Bước hai: Tách Hamiltonian ở phương trình (3.9) thành hai thành phần như sau:
Phần thứ nhất là ( )0ˆ ˆ ˆˆ ˆ, ,H a a b b ω+ + chỉ chứa các số hạng giao hoán với các toán tử
ˆ ˆa a+ và ˆ ˆb b+ , chứa các toán tử “trung hòa”:
( ) ( ) ( )
2
0 ˆ2 / 2
00
2 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
4 1 2! 1 2
i
i i
N
i
dH N Z M M
i
ω ω τ τ
pi ττ τ
+∞ ∞
+
=
 
= −  +  +
∑∫ , (3.10)
ở đây ta khai triển toán tử ˆS theo chuỗi Taylor để tách các thành phần trung hòa.
Còn 0ˆ ˆ ˆV H H= − có thể xem như thành phần “nhiễu loạn”. Nghiệm gần đúng bậc
không của phương trình Schrödinger chính là nghiệm riêng chính xác của toán tử 0ˆH ,
còn các bổ chính bậc cao hơn ta có thể tính toán theo sơ đồ thích hợp.
Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc không bằng cách giải phương trình:
( ) ( )0 0(0)
0
ˆ
n n nH ψ ε ψ= . (3.11)
Trước hết ta chọn bộ hàm sóng cơ sở cho bài toán theo bộ hàm cơ sở của dao động
tử điều hoà:
( ) ( ) ( )1 ˆˆ, 0! ! yx
nn
x y
x y
n n a b
n n
ω+ += .
Như đã nói, hàm riêng của toán tử Hamilton cũng đồng thời là nghiệm riêng của
toán tử ˆzL và toán tử ˆM
+
, ta viết lại bộ hàm cơ sở cho exciton hai chiều theo trị riêng m
của toán tử ˆzL (xem phụ lục 9):
( ) ( )2 2ˆ ˆˆ ˆ( ) [( ) ( ) ] 0mkkmk m C a b a ib ω+ + + += + ± . (3.12)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 32
với:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ[( ) ( ) ] 0 khi m>0
( )
ˆ ˆ
ˆ ˆ[( ) ( ) ] 0 khi m<0
mk
km
mk
km
C a b a ib
k m
C a b a ib
ω
ω
+ + + +
+ + + +
 + +
= 
 + −

với k = 0, 1, 2, 3..., 0, 1, 2...m = ± ± và ( )0 ω là trạng thái chân không được định nghĩa:
( ) ( )ˆˆ 0 0, 0 0a bω ω= = ; (3.13)
và điều kiện chuẩn hóa là ( ) ( )0 0 1ω ω = , cho phép ta tìm được hàm sóng đã chuẩn
hóa (xem phụ lục 9):
( ) ( )2 21 ˆ ˆˆ ˆ( ) [( ) ( ) ] 0
2 2 !( )!
mk
mk
k m a b a ib
k m k
ω+ + + += + ±
+
, (3.14)
với 0,1,2,...; 0, 1, 2,....k m= = ± ± .
Với hàm sóng như trên, ta có các biểu thức thường dùng ( xem phụ lục 9):
( )
( )
( )( )
ˆ
, 2 2 1 , ;
ˆ
, 2 1, ;
ˆ
, 2 1 1 1, ,
N k m k m k m
M k m k k m k m
M k m k k m k m+
= + +
= + −
= + + + +
(3.15)
giúp ta xác định được nghiệm của phương trình (3.11):
( ) ( ) ( )
( )
( )
0 2
2 12
0
( )! !1
2 1
2 ( )! !!
i
k k
k
k k m
i
k k m
H k m Z I
k i k m ii
ω
ε ω + +
=
+
= = + + −
− + −
∑ , (3.16)
với
( )
( ) ( ) ( )2
2 1
00
,
1 (2 2 3)!! 2 1 !!2
(1 ) 2 ( 1)!
q q
p p
p q
p q Z
t p q qq dtp t pI
pi
pi
+∞
−
> ≥
∈
−
− − − −
= =
+ −∫
, với , 1, 2,3...p q =
(xem phụ lục 11).
Biểu thức trên chính là năng lượng gần đúng bậc không tìm được phụ thuộc vào
tham số ω . Như đã nói, đây là tham số được đưa vào để tối ưu hóa quá trình tính toán,
ta xác định ω từ điều kiện (1.26) như sau:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 33
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 12
0
!!1
.(2 1) ( )! !!
i
k
k
m
i
m kkZ I
k m k i m k ii
ω + +
=
 +
=  
+ + − + −  
∑ (3.17)
Tuy nhiên việc chọn ω theo điều kiện này cho tốc độ hội tụ chưa cao, việc chọn
ω
để tăng tốc độ hội tụ sẽ khảo sát thêm ở phần sau.
Bước bốn: Phương pháp toán tử (OM) tìm nghiệm bằng số:
Vì các vector trạng thái (3.12) tạo thành một bộ cơ sở đầy đủ nên lời giải chính
xác của hàm sóng có thể viết dưới dạng chuỗi của các vector trạng thái đó như sau:
0
( ) ( )km l
l
l k
k m C l m
∞
=
≠
Ψ = +∑ , (3.18)
Trong phần này, ta sẽ sử dụng sơ đồ vòng lặp đã đề cập ở mục 1.3 để tìm nghiệm
số chính xác. Khi đó hàm sóng chính xác ở bậc (s) ứng với năng lượng ( )skmE có dạng:
( )
0
( ) ( )Skm
k s
l
l
l k
k m C l m
+
=
≠
Ψ = +∑ , (3.19)
Hệ phương trình truy toán để xác định năng lượng chính xác ở gần đúng bậc s là:
( ) ( )
0
k s
s s
kk l lk km
l
l k
H C H ε
+
=
≠
=+∑ , (3.20)
( )
( )
( )1
1
0
,
jk jl
s
j s
k jj
k s
s
l
l
l k j
H
C
H
C H
ε −
+
−
=
≠
=
−
+ ∑
, ( )j k≠ , (3.21)
với điều kiện ban đầu là ( ) ( )00 0, km kkk HC ε == .
Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên có thể tính một cách dễ dàng bằng các biến đổi
thuần đại số nhờ các hệ thức (3.8), (3.13) . Kết quả ta có các phần tử ma trận khác
không như sau (xem phụ lục 10):
( ) ( )
( )
( )
2
, 2 12
0
( )! !1
2 1
2 ( )! !!
i
k k k m
k
i
k k m
H k m Z I
k i k m ii
ω
ω + +
=
+
= + + −
− + −
∑ ,
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 34
...

---