Tr ng THPT Triu Sn 2 GV: Nguyn Th Thc
đề cơng ôn tập giải tích khối 12
Chơng ứng dụng của đạo hàm
I. sự đồng biến nghịch biến của hàm số
A. Tóm tắt sách giáo khoa:
1. Định lí Lagrăng:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
b;a
và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại
một điểm
( )
b;ac

sao cho:
f(b) f(a) = f

(c)(b a) hay
( )
( ) ( )
ab
afbf
cf
'


=
.
2. Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).
a) Nếu f


Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y = 2x
2
3x + 5; b) y = 4 + 3x x
2
;
c) y = x
4
2x
2
+ 3; d)
.2x8x3x
3
1
y
23
+=

Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
a)
;x3x
2
1
xx
4
1
y
234
+=
b)

2
x
1xcos
2
>
(với x > 0).
II. cực đại và cực tiểu
A. Tóm tắt sách giáo khoa:
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và điểm
( )
b;ax
0

.
. x
0
là điểm cực đại của f

f(x) < f(x
0
); x

( )

V
(x

x
0
)

0
và f đạt cực trị tại x
0
thì f(x
0
) = 0.
. ý nghĩa hình học: Nếu hàm số có đạo hàm và đạt cực trị tại x
0
thì tại điểm đó tiếp tuyến
với đồ thị của hàm số tại điểm M(x
0
, f(x
0
)) cùng phơng với trục hoành.
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
a/ Dấu hiệu 1:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b);
( )
b;ax
0

và f(x
0
) = 0.
Nếu khi x qua x
0
thì f

(x) đổi dấu thì f đạt cực trị tại x
0

0
"
<
thì x
0
là điểm cực đại.
Nói cách khác,
1) f(x
0
) = 0,
0)x(f
0
"
>


x
0
là điểm cực tiểu.
2) f(x
0
) = 0,
0)x(f
0
"
<


x
0

và tại các giá trị đó y

có đổi dấu hay không khi x qua x
0
.
Đặc biệt nếu y

là tam thức bậc hai thì hàm số có cực trị

y

= 0 có hai nghiệm phân
biệt.
C. Bài tập:
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2x
3
+ 3x
2
36x - 10; b) y = xe
-x
;
c) y = x
4
+ 2x
2
- 3; d)
xln
x
y

y
+=
b) y = x
3
2ax
2
+ a
2
x .
Bài 3: Cho hàm số
( )
.1x1mmmxx
3
1
y
223
+++=
Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x =
1.
Bài 4: Xác định m để hàm số y = 2x
3
3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 đạt cực đại,
cực tiểu tại x
1
, x
2
. Chứng minh rằng khi đó x
2


=
mxf:Dx
Dx,mxf
xfminm
00
D
.
2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
. Lập bảng biến thiên của hàm số trên D.
. Trờng hợp đặc biệt D =
[ ]
b;a
. Thực hiện các bớc sau:
+ Tìm các điểm tới hạn x
1
, x
2
, .,x
n
của f(x) trên đoạn
[ ]
b;a
.
+ Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), .,f(x
n

;
b)
x45y
=
trong
[ ]
1;1

.
Bài 4: Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất biết rằng chu vi của nó không đổi và bằng
16cm.
IV. tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị
A. Tóm tắt sách giáo khoa:
1. Tính lồi lõm của đồ thị:
Định nghĩa: (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) trong khoảng (a; b) và giả sử f có đạo hàm
trong khoảng (a; b). Nếu tại mỗi điểm của (C) tiếp tuyến luôn ở phía trên (C) ta nói (C) là
đồ thị lồi, nếu tiếp tuyến luôn ở phía dới (C) ta nói (C) là đồ thị lõm.
Định lí: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a; b) có đồ thị là (C)
. Nếu
( )
b;ax0)x(f
"
>
thì (C) là đồ thị lõm trên (a; b).
. Nếu
( )
b;ax0)x(f
"
<
thì (C) là đồ thị lồi (a; b).

Chú ý: Tại điểm uốn của đồ thị, tiếp tuyến xuyên qua đồ thị.
2. M(x
0
, y
0
) là điểm uốn của đồ thị y = f(x)
()
()





=
=

0
"
00
0
"
x.qua.x.khi.dau.doif
yxf
0xf
.
C. Bài tập:
Bài 1: Tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau đây:
a) y = x
4
6x

y
2
+
=
có ba điểm uốn nằm trên cùng một đờng
thẳng.
Bài 5: Xác định hoành độ các điểm uốn của đồ thị hàm số
.ey
xx
2
+
=
V. Tiệm cận
A. Tóm tắt sách giáo khoa:
1. Tiệm cận đứng:
Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
x = x
0
là tiệm cận đứng của (C)
( )
=

xflim
0
xx
.
2. Tiệm cận ngang:
y = y
0
là tiệm cận ngang của (C)

.axxflimb
x
=

B. Bài tập:
Bài 1: Tìm tiệm cận các hàm số sau đây:
a)
;
3x
3x6x
y
2

+
=
b)
;
3x2
3
1x5y
+
+=
c)
;
1x
1xx
y
2
3


+
=
c)
;
2x
2x6mx
y
2
+
+
=
d)
2x3x
1mx
y
2
3
+

=
.
Bài 4: Cho hàm số
2x
cbxax
y
2

++
=
. Xác định a, b, c biết hàm số có cực trị bằng 1 khi x = 1

* Vẽ đồ thị
+ Chính xác hoá đồ thị
+ Vẽ đồ thị
2. Hàm số bậc ba: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a
0

)
* Miền xác định: D = R
* y

= 3ax
2
+ 2bx + c; y

= 6ax + 2b
a > 0 a < 0
y