Ch
Ch
ương 4
ương 4
:
:
BI
BI
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG
MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC
MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC
BÀI 1 KHÁI NiỆM DFT
BÀI 2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
BÀI 3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
BÀI 4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)
BÀI 1 KHÁI NIỆM DFT
BÀI 1 KHÁI NIỆM DFT
X(
X(
ω
ω
) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:
) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:Tần số
Tần số
ω
ω
liên tục

ω
->
->
ω
ω
K
KĐộ dài x(n) hữu hạn là N:
Độ dài x(n) hữu hạn là N:
n
n
= 0
= 0÷
÷
N -1
N -1
⇒
⇒B
B
iến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần
iến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần
số rời rạc, gọi tắt là

∑
−
=
−
: 0
10:)(
)(
1
0
2
k
Nkenx
kX
N
n
kn
N
j
π
còn lại
r
N
r
N
jmNr
N
j
mNr
N
WeeW

còn lại
N
j
N
eW
π
2
−
=
W
W
N
Ntuần hòan với độ dài
tuần hòan với độ dài
N:
N:
X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:
)(
)()(
kj
ekXkX
ϕ
=
Trong đó:
Trong đó:
)(kX
- phổ rời rạc biên độ

kn
N
j
π
còn lại







−≤≤=
−≤≤=
∑
∑
−
=
−
−
=
10:)(
1
)(
10: )()(
1
0
1
0
NnWkX

=−=−==
−
3
4
2
4
4
2
1
4
;1;
π
10)3()2()1()0()()0(
3
0
0
4
=+++==
∑
=
xxxxWnxX
n
22)3()2()1()0()()1(
3
4
2
4
1
4
3

3
4
3
0
3
4
jWxWxWxxWnxX
n
n
−−=+++==
∑
=
BÀI 3. CÁC TÍNH CHẤT DFT
BÀI 3. CÁC TÍNH CHẤT DFT
a) Tuyến tính
N
DFT
N
kXnx )()(
11
 →←
NN
DFT
NN
kXakXanxanxa )()()()(
22112211
+ →←+
Nếu:
Nếu:
Thì:

~
)(
N00 NN
nnxnnx
−=−
gọi là dịch vòng của
x(n)
N
đi n
0
đơn vị
21
21 xx
LNNL
=≠=
Nếu:
Nếu:
Chọn:
Chọn:
},max{
21
NNN
=
Ví dụ 1: Cho:
a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2)
b)Tìm dịch vòng: x(n+3)
4
, x(n-2)
4
{ }

2
1
1
n
n
x(n+3)
x(n+3)
-3 -2 -1 0
-3 -2 -1 0
4
4
3
3
2
2
1
1
b)
x(n)
n
n
0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1

1
c) Chập vòng:
N
DFT
N
kXnx )()(
11
 →←
NN
DFT
NN
kXkXnxnx )()()()(
2121
 →←⊗
Nếu:
Nếu:
Thì:
Thì:
N
DFT
N
kXnx )()(
22
 →←
∑
−
=
−=⊗
1
0

1221
⊗=⊗
)()(
~
)(
22
nrectmnxmnx
NNN
−=−
Và:
Và:
Dịch vòng dãy
x
2
(-m) đi n đ/vị
Ví dụ 1: Tìm chập vòng 2 dãy
30:)()()()()(
3
0
4241424143
≤≤−=⊗=
∑
=
nmnxmxnxnxnx
m
4},max{4,3
2121
==⇒==
NNNNN


2
2
(m)
(m)
m
m0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
x
x
2
2
(-m)
(-m)
m
m-3 -2 -1 0
-3 -2 -1 0

4
3
3
2
2
1
1
)()(
~
)(
4242
nrectmxmx −=−

Xác định x
2
(n-m) là dịch vòng của x
2
(-m) đi n đơn vị
n>0: dịch vòng sang phải, n<0: dịch vòng sang trái
x
x
2
2
(1-m)
(1-m)
4
4
m
m


2
1
1
m
m0 1 2 3
0 1 2 3
4
4
3
3
2
2
1
1
x
x
2
2
(3-m)
(3-m)
4
4
m
m
0 1 2 3
0 1 2 3
4

26)0()()0(
3
0
424143
=−=
∑
=
m
mxmxx

n=1:
23)1()()1(
3
0
424143
=−=
∑
=
m
mxmxx

n=2:
16)2()()2(
3
0
424143
=−=
∑
=
m

=
NkWnxkX
N
n
kn
N

Để tính X(k), với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và (N-1)
phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N
2
phép nhân và
N(N-1) phép cộng.

Để khắc phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT,
nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trên DFT
gọi là FFT (Fast Fourier Transform).
2. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2
2. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2
a. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN
a. THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN
Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy vào x(n) thành các
dãy nhỏ, do biến n biểu thị cho trục thời gian nên gọi là
phân chia theo thời gian.
∑
−
=
=
1
0
)()(

1)2/(
0r
)12(
1)2/(
0r
2
)12()2()(
N
rk
N
N
kr
N
WrxWrxkX
Thay n=2r với n chẵn và n=2r+1 với n lẽ:
Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2
M
, nếu không có dạng lũy
thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n).
X
0
(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n chẵn
X
1
(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n lẽ
∑
−
=
=
1)2/(

−
=
++=
1)2/(
0r
2/
1)2/(
0r
2/
)12(.)2()(
N
kr
N
k
N
N
kr
N
WrxWWrxkX
kr
N
kr
N
j
rk
N
j
rk
N
WeeW