XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Chương V:
BIẾN ĐỔI FOURIER
LIÊN TỤC

2008


Nội dung
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục
 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
 Các tính chất của biến đổi Fourier
 Lấy mẫu tín hiệu



Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục
tuần hoàn


Một tín hiệu tuần hoàn x(t) sẽ biểu diễn
được một cách chính xác bởi một chuỗi
Fourier nếu x(t) thỏa mãn các điều kiện
Dirichlet sau đây:
1.
2.
3.

Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của
x(t) phải hữu hạn.

1
ck   x (t )e
TT



j 2kt
T

dt


Phổ mật độ công suất của tín hiệu
liên tục tuần hoàn


Tín hiệu tuần hoàn có năng lượng vô hạn
nhưng luôn là tín hiệu công suất:

1
2
Px   | x (t ) | dt  
TT


Công thức Parseval cho tín hiệu công
suất:


Px 



Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(t)


F

[ x (t )]  X ( F ) 

 x (t )e

 j 2Ft

dt





Biến đổi Fourier ngược:


x (t ) 

F

1

[ X ( F )] 





 lim

F0 0

k  





 X ( F )e


j 2Ft

dF

 X (kF )e
0

k  

j 2kF0t

F0



Công thức Parseval cho tín hiệu không
tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:



2

2

E x   | x (t ) | dt   | X ( F ) | dF





Phổ mật độ năng lượng của tín
hiệu liên tục không tuần hoàn




Giá trị |X(F)|2 có thể coi là đại diện cho
năng lượng của thành phần ej2Ft (tín
hiệu dạng sin phức có tần số F) trong tín
hiệu x(t).
Đồ thị của |X(F)|2 theo F thể hiện phân
bố năng lượng của tín hiệu x(t) theo tần
số  phổ mật độ năng lượng.




j 2kn
N


Phổ mật độ công suất của tín hiệu
rời rạc tuần hoàn


Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc
x(n) tuần hoàn với chu kỳ N:

1
Px 
N


N 1
2

 | x(n ) |



n 0

Công thức Parseval cho tín hiệu công suất
rời rạc tuần hoàn:
N 1
2

x(n) 

F

1

1
[ X ( )] 
2



 X ( )e



jn

d


Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn


Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của
tín hiệu rời rạc tuần hoàn

1  2k 
ck  X 



jn

d

 X (2kF )e
0

k  

j 2kF0 n

F0


Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn


Điều kiện hội tụ:




 | x ( n )e

 jn

|  

n  

2

| 


Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn


Quan hệ với biến đổi Z: thay z = |z|ej


X ( z) 

 x(n) z
n  


n



n

 x(n) | z |

e




Công thức Parseval cho tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:

1
Ex 
2


2

 | X ( ) |



d


Phổ mật độ năng lượng của tín
hiệu rời rạc không tuần hoàn




Giá trị |X()|2 có thể coi là đại diện cho
năng lượng của thành phần ejn (tín hiệu
dạng sin phức có tần số góc ) trong tín
hiệu x(n).
Đồ thị của |X()|2 theo  thể hiện phân



Các tính chất của biến đổi Fourier


Biến đổi Fourier của tích chập:

F


[ x1 ( n )  x2 ( n )]  X 1 ( ) X 2 ( )

Biến đổi Fourier của tương quan:

F
F

[ rx1x2 ( n )]  X 1 ( ) X 2 (  )  S x1x2 ( )
2



[ rxx ( n )]  S xx ( ) | X ( ) | ( x ( n )  R )

Sx1x2() được gọi là phổ mật độ năng lượng
chéo của 2 tín hiệu x1(n) và x2(n).


Các tính chất của biến đổi Fourier


Lấy mẫu tín hiệu
Tín hiệu x(t) có năng lượng hữu hạn  bề
rộng phổ hữu hạn  tồn tại một tần số
cao nhất trong tín hiệu, Fa: F > Fa thì
X(F) = 0.
 Rời rạc hóa x(t) với tần số lấy mẫu Fs 
x(n). x(t) sẽ được khôi phục chính xác từ
x(n) theo công thức sau nếu Fs = 2Fa:




sin(2Fa t  n )
x (t )   x ( n )
2Fa t  n
n  


Lấy mẫu tín hiệu
Định lý lấy mẫu (Shannon): một tín hiệu
liên tục có bề rộng phổ hữu hạn với tần số
cao nhất (bề rộng phổ) Fa có thể được
khôi phục một cách chính xác từ các mẫu
của tín hiệu đó nếu tần số lấy mẫu thỏa
mãn điều kiện: Fs  2Fa.
 Tần số Fs = 2Fa được gọi là tần số
Nyquist.
