Xử lý số tín hiệu
Chương 5: Biến đổi Z
 Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc thời gian x(n):
 Hàm truyền của bộ lọc có đáp ứng xung h(n)
1. Định nghĩa
)2()1()0()1()2(
)()(
212







zxzxxzxzx
znxzX
n
n





n
n
znhzH )()(
2. Các tính chất cơ bản
a. Tính tuyến tính
b. Tính trễ
c. Tính chập

ệu ngõ vào sau:
h = [1, 2, -1, 1]
x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]
)()1()( nnunu




Miền hội tụ (Region of convergence – ROC) của X(z):
Ví dụ 1: x(n) = (0.5)
n
u(n)
Bi
ến đổi Z:
T
ổng hội tụ khi
3. Miền hội tụ


 )(zXCzROC








0
1

|
ROC
z-plane
z
0
.
5
Ví dụ 2: x(n) = -(0.5)
n
u(-n -1)
Bi
ến đổi Z:
 Kết quả:
3. Miền hội tụ







1
1
1
])5.0[()5.0()(
m
mn
n
n
zzzX

Z
n




z ,
1
1
)(
1
a
az
nua
Z
n




z ,
1
1
)1(
1
|
a
|
ROC
z-plane

2
1
1
1






zp
A
zp
A
zX
i
i
pz max
p
1
p
2
p
3
p
4
ROC
 Tín hiệu phản nhân quả dạng:
c
ũng có biến đổi Z là:

p
1
p
2
p
3
p
4
ROC
Ví dụ Xác định biến đổi z và miền hội tụ của
a. x(n) = (0.8)
n
u(n) + (1.25)
n
u(n)
b. x(n) = (0.8)
n
u(n) – (1.25)
n
u(-n – 1 )
c. x(n) = – (0.8)
n
u(-n-1) + (1.25)
n
u(n)
d. x(n) = – (0.8)
n
u(- n – 1) – (1.25)
n
u(-n – 1)

Đây chính là biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị.





n
fnTj
enxfX

2
)()(




n
n
znxzX )()(



j
ez
n
nj
zXenxX







)()()(
   
dfefX
f
deXnx
S
S
S
ffnj
f
f
S
nj
/2
2/
2/
1
2
1
)(








zp
zz
zX








2
1
1
1
)()(
ze
ze
X
pe
ze
X
j
j
j
j





zero
pole
φ
1
ω
1
6. Biến đổi Z ngược
Tổng quát:
 Đưa X(z) về dạng
Tùy theo ROC, suy ra x(n)
Ví dụ:
 ROC={z,|z|<0.8}  x(n) = -0.8
n
u(-n-1)-1.25
n
u(-n-1)
 ROC={z, 0.8<|z|<1.25}  x(n) = 0.8
n
u(n) – 1.25
n
u(-n-1)
 ROC={z, 1.25 < |z|}  x(n) = 0.8
n
u(n) + 1.25
n
u(n)

11
)(
1




zz
zX
6. Biến đổi Z ngược
A. Pp khai triển phân số từng phần:
Bậc của mẫu số D(z) bằng M
 Trường hợp 1: Bậc của N(z) nhỏ hơn M:
V
ới
)1) (1)(1(
)(
)(
)(
)(
11
2
1
1



zpzpzp
zN
zD
zN
zX
M
11

1



i
pz
ii
zXzpA
6. Biến đổi Z ngược
 Ví dụ: Khai triển
=>
V
ới
  
11
1
21
1
25.118.01
05.22
05.21
05.22
)(








zX
 
 
1
25.11
05.22
)(8.01
8.0
1
1
8.0
1
1















z
z

z
z
z
z
zXzA
6. Biến đổi Z ngược
 Trường hợp 2: Khi bậc của N(z) bằng M:
 Với
11
2
2
1
1
1
0
1

11
)(







zp
A
zp
A

)(
)(
)(
)(
)(
)(
zD
zR
zQ
zD
zN
zX

)(
)(
zD
zR
6. Biến đổi Z ngược
B. PP “Khử - phục hồi”:
 Đặt
 Khai triển phân số từng phần của W(z)
Ví dụ:
 Đặt:
 Mặt khác:
 
)()()(
)(
1
zWzNzX
zD




zzz
zW
)()5.0(5.0)()5.0(5.0)( nununw
nn



)5()(6)(
)()(6)(6)(
55



nwnwnx
zWzzWzWzzX