CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
1. Cấp số cộng
 u1 = a
, n∈ N * gọi là cấp
1.1. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi 
u
=
u
+
d
n
 n+1
số cộng; d gọi là công sai.
2.1. Các tính chất:
• Số hạng thứ n được cho bởi công thức: un = u1 + (n − 1)d .
• Ba số hạng uk ,uk+1 ,uk+ 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi
1
uk+1 = ( uk + uk+ 2 ) .
2
• Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức :
n
n
Sn = u1 + u2 + ... + un = ( u1 + un ) =  2u1 + ( n − 1) d .
2
2
2. Cấp số nhân
 u1 = a
, n∈ N * gọi là cấp
1.2. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi 
un+1 = un .q
q

bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.
A. 1,5,6,8
B. 2,4,6,8
C. 1,4,6,9
D. 1,4,7,8
Lời giải:
Giả sử bốn số hạng đó là a− 3x; a− x; a+ x; a+ 3x với công sai là d = 2x .Khi đó, ta
có:
 ( a− 3x) + ( a− x) + ( a+ x) + ( a+ 3x) = 20

2
2
2
2
( a− 3x) + ( a− x) + ( a+ x) + ( a+ 3x) = 120

4a = 20
 a= 5
⇔ 2
⇔
2
4a + 20x = 120  x = ±1
Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8 .
Chú ý:
* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán
gọn hơn.
* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai d = x , là chẵn thì gọi công sai
d = 2x rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng.
 a1 + a2 + ... + an = p
* Nếu cấp số cộng (an ) thỏa:  2 2

B. un = 3n − 4
C. un = 3n − 3
2. Tính S = u1 + u4 + u7 + ... + u2011 .
A. S = 673015
B. S = 6734134
Gọi d là công sai của CSC, ta có:

C. S = 673044

)

D. d = 5
D. un = 3n − 1
D. S = 141

Lời giải:

(u1 + d) − (u1 + 2d) + (u1 + 4d) = 10 u1 + 3d = 10 u1 = 1
⇔
⇔

(u1 + 3d) + (u1 + 5d) = 26
u1 + 4d = 13 d = 3
1. Ta có công sai d= 3 và số hạng tổng quát : un = u1 + (n − 1)d = 3n − 2 .
2. Ta có các số hạng u1 ,u4 ,u7 ,...,u2011 lập thành một CSC gồm 670 số hạng với
670
công sai d' = 3d , nên ta có: S =
( 2u1 + 669d') = 673015
2


 3(u1 + 6d) − 2(u1 + 3d) = −34
u + 3d = −7
u = 2
⇔ 1
⇔ 1
.
u1 + 12d = −34 d = −3
1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100 = u1 + 99d = −295
2. Tổng của 15 số hạng đầu: S15 =

15
 2u + 14d = −285
2 1

27
 2u + 26d
2 4
= 27( u1 + 16d) = −1242 .
Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:
3. Ta có: S = u4 + u5 + ... + u30 =

S = S30 − S3 = 15( 2u1 + 29d) −

3
( 2u + 2d) = −1242 .
2 1

u2 − u3 + u5 = 10
Ví dụ 4. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn 
 u4 + u6 = 26

1
1
1
+
+ ... +
24850. Tính S =
u49u50
u1u2 u2u3
A. S =

9
246

B. S =

4
23

C. S = 123

D. S =

49
246

Lời giải:
d
Gọi là công sai của cấp số đã cho
497 − 2u1
Ta có: S100 = 50( 2u1 + 99d) = 24850 ⇒ d =

+
−
u1 u2 u2 u3
u48 u49 u49 u50

1 1
1
1
245
−
= −
=
u1 u50 u1 u1 + 49d 246

49
.
246

Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm u1 biết:
 u1 + u2 + u3 + u4 = 15
1.  2 2 2 2
u1 + u2 + u3 + u4 = 85
A. u1 = 1,u1 = 2

B. u1 = 1,u1 = 8

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 11

2. 
82

11
11


 q4 − 1
= 15
u1
u1(1+ q+ q2 + q3 ) = 15
 q− 1
⇔
1. Ta có:  2
2
4
6
8
u1 1+ q + q + q = 85 u2 q − 1 = 85
 1 q2 − 1

2
q = 2
 q4 − 1  q2 − 1 45 (q4 − 1)(q+ 1) 45 
⇒
⇔
=
⇔
÷ 8
÷=
q = 1
(q− 1)(q4 + 1) 17
 q− 1   q − 1 17

q4 + 1
82
1
=
⇔ q = 3,q = .
3
2
3
q + q + q 39


2
u4 =
Ví dụ 7. Cho cấp số nhân (un ) thỏa: 
27 .
u3 = 243u8
1. Viết năm số hạng đầu của cấp số;
2
2
2
2
2
2
2
2
,u5 =
,u5 =
A. u1 = 2,u2 = ,u3 = ; u4 =
B. u1 = 1,u2 = ,u3 = ;u4 =
5

1359048
A. S10 =
B. S10 =
C. S10 =
12383
19683
3319683
3. Số

2
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?
6561
A.41
B.12
C.9

Lời giải:
Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
 3 2
 3 2

1
uq =
u1q =
 1
q =
27
⇔
⇔
27

27
81

10

 1
 3÷ − 1
10
  1 10  59048
q −1


.
S10 = u1
= 2.
= 31−  ÷  =
1
q− 1
3   19683




−1
3
2
2
⇔ 3n−1 = 6561 = 38 ⇒ n = 9
3. Ta có: un = n−1 ⇒ un =
6561


C. d = −3

D. d = 1

2
n
A. d = ∅

B. d=

Lời giải:
1. Ta có: un+1 − un = 2(n + 1) + 3− (2n + 3) = 2 là hằng số
Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d = 2 .
2. Ta có: un+1 − un = −3(n + 1) + 1− (−3n + 1) = −3 là hằng số
Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d = −3.
3. Ta có: un+1 − un = (n + 1)2 + 1− (n2 + 1) = 2n + 1 phụ thuộc vào n . Suy ra dãy (un )
không phải là cấp số cộng.
2
2
−2
− =
4. Ta có: un+1 − un =
phụ thuộc vào n
n + 1 n n(n + 1)
Vậy dãy (un ) không phải là cấp số cộng.


Bài 2 . Dãy số (un ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số
công bội ? Biết:

1. Ta có:

un+1 n + 1
=
phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) không phải là cấp số
un
n

nhân.
un+1 4.3n+1
=
= 3 không phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) là một cấp số
2. Ta có:
un
4.3n
nhân với công bội q= 3.
3. Ta có:

un+1
2 2
n
=
: =
phụ thuộc vào n .
un
n+ 1 n n+ 1

Suy ra dãy (un ) không phải là cấp số nhân.
Bài 3. Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải
hãy xác định công sai.

n+ 1
n
A. d = ∅

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1


n
2n
A. d= ∅

B. d= 3

C. d= −3

D. d= 1

6. un = n2 + 1
A. d = ∅

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1


B. q= 2

C. q= 4

D. q= ∅

3. un = 3n − 1
A. q= 3

B. q= 2

C. q= 4

D. q= ∅

2n − 1
4. un =
3
A. q= 3

B. q= 2

C. q= 4

D. q= ∅

2. un = −


5. un = n3 .

= n
⇒ (un ) không phải là CSN
4. Ta có:
un
2 −1
un+1 (n + 1)3
=
⇒ (un ) không phải là CSN .
5. Ta có:
un
n3
Bài 5.
1. Tam giác ABC có ba góc A , B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và
C = 5A . Xác định số đo các góc A , B,C .
 A = 100
 A = 150
 A = 50
 A = 200




0
0
0
0
A.  B = 120
B.  B = 105
C.  B = 60
D.  B = 60

9A = 1800
C = 1000



2. Ba góc của tam giác: 300 ,600 ,900

D. 400 ,600 ,800


n

Bài 6. Cho dãy số (un ) với u = 32+1
n
1. Tìm công bội của dãy số (un).
3
A. q=
B. q= 3
2
2. Tính tổng S = u2 + u4 + u6 +…+ u20
9
9
A. S = (320 + 1) B. S = (320 − 1)
2
2

C. q=

1
2

1− 310
310 − 1 9 10
S = u2.
= 9.
= (3 − 1)
1− 3
2
2
n
+1
n
3. Ta có : un = 19683 ⇔ 32 = 39 ⇔ + 1= 9 ⇔ n = 16
2
Vậy số 19683 là số hạng thứ 16 của cấp số.
1. Ta có:

Bài 7.
1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7
gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.
2
2
A. u1 = ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162
9
5
2
2
B. u1 = ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162
7
3
2

 u1.q = 6
u1 =
⇔
⇔
9

6
u7 = 243u2
u1.q = 243u1.q  q = 3

Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là
2
2
u1 = ;u2 = ;u3 = 2;u5 = 18;u6 = 54;u7 = 162
9
3
2. Gọi ba số hạng của CSC là a− 2x; a; a+ 2x với d = 2x
 a = −3
 a− 2x + a+ a+ 2x = −9

⇔
Ta có: 
1.
2
2
2
(a− 2x) + a + (a+ 2x) = 29  x = ±

2
 a+ d = 37  a = 37 − d

d = 2
B. 
u1 = 3,u1 = −7

C.

d = 2
D. 
u1 = 3,u1 = −17

u31 + u34 = 11
2. Cho cấp số cộng (un) có công sai d> 0 ;  2
. Hãy tìm số hạng tổng
2
u31 + u34 = 101
quát của cấp số cộng đó.
A. un = 3n − 9
B. un = 3n − 2
C. un = 3n − 92
D. un = 3n − 66


3. Gọi S1;S2 ;S3 là tổng n1; n2 ; n3 số hạng đầu của một cấp số cộng. Chứng minh
rằng:

S1
S
S
n2 − n3 ) + 2 ( n3 − n1 ) + 3 ( n1 − n2 ) = 0
(


Bài 9. Cho CSN (un ) thỏa: 
82
u1 + u5 =

11
1. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số
1
81 1
3n−1
A. q = 3;un =
B. q = ;un = . n−1
3
11 3
11
D. Cả A, B sai

C.Cả A, B đúng

2. Tính tổng S2011
1
243 
1 
1− 2011 ÷
A. q = ;S2011 =

3
22  3 
C.Cả A, B đúng



(
(

)

)

(

)

D. 4


q4 + 1
82
=
⇔ 39q4 − 82q3 − 82q2 − 82q+ 39 = 0
3
2
q + q + q 39

Suy ra:

⇔ (3q− 1)(q− 3)(13q2 + 16q+ 13) = 0 ⇔ q =

1
,q = 3
3

3 −1
22
3n−1  1 
∈ ;1 ⇔ n = 3 nên có một số hạng của dãy
3. Với q= 3 ta có: un =
11  2 ÷

• q=

(

Với q=

)

1
1 
1
∈  ;1÷ ⇔ n = 3 nên có một số hạng của dãy.
ta có: un =
n− 5
11.3
3
2 

Bài 10.
1
, n = 1,2,3... . Chứng minh rằng luôn tồn tại một CSC
n
gồm 2011 số hạng mà mỗi số hạng đều thuộc dãy số trên.


i ) a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC ⇔ a+ c = 2b
ii ) a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSN ⇔ ac = b2
Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng các số:
1. 1, 3,3 không thể cùng thuộc một CSC;
2. 2,3,5 không thể cùng thuộc một CSN.
Lời giải:
1. Giả sử 1, 3,3 là số hạng thứ m,n, p của một CSC (un ) . Ta có:
3− 3 up − un u1(p − n) p − n
p− n
3=
=
=
=
vô lí vì 3 là số vô tỉ, còn
là số hữu
n− m
3 − 1 un − um u1(n − m) n − m
tỉ.
2. Giả sử 2,3,5 là ba số hạng thứ m,n, p của CSN (vn ) có công bội q
p− n

2 um
5
= qm−n ; = qp− n , suy ra  2 ÷
Ta có: =
3 un
3
 3

9ab = 2a3 + 27c
2. Nếu phương trình x3 − ax2 + bx − c = 0 có ba nghiệm lập thành CSN thì
c(ca3 − b3 ) = 0
Lời giải:
1. Giả sử phương trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành CSC
Suy ra: x1 + x3 = 2x2 (1)


Mặt khác: x3 − ax2 + bx − c = (x − x1)(x − x2 )(x − x3 )
= x3 − (x1 + x2 + x3 )x2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1)x − x1x2x3
Suy ra x1 + x2 + x3 = a (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra 3x2 = a hay x2 =

a
3

Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm x2 =
3

a
, tức là:
3

2

 a
 a
 a
2a3 ba
−


3

2

+ b3 c − c = 0 ⇔ b3 c = a3 c2 ⇔ c(ca3 − b3 ) = 0

Bài toán được chứng minh.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi cách chia tập X = { 1,2,3,...,9} thành hai tập
con rời nhau luôn có một tập chứa ba số lập thành cấp số cộng.
Lời giải:
Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng
Giả sử X được chia thành hai tập con A và B đồng thời trong A và B không có
ba số nào lập thành CSC.
Xét ba CSC (1;3;5), (3;4;5), (3;5;7)
Ta thấy số 3, 5 không thể cùng nằm trong một tập hợp, vì nếu hai số này
thuộc A thì 1,4,7 phải thuộc B, tuy nhiên các số 1,4,7 lại lập thành CSC.
Tương tự bằng cách xét CSC (3;5;7), (5;6;7), (5;7;9) thì ta có hai số 5,7
không thể cũng nằm trong một tập.
Vì cặp (3;5) và (5;7) hkoogn cùng thuộc một tập nên ta suy ra
(3;7) thuộc A, 5 thuộc B. Khi đó ta xét các trường hợp sau
• 4∈ A , vì 3,4∈ A ⇒ 2∉ A ⇒ 2∈ B , do 1,4,7 lập thành CSC nên 1∈ B ; 2,5,8 lập
thành CSC nên 8∈ A ⇒ 9∈ B
Do đó 1,5,9∈ B lập thành CSC vô lí
• 4∈ B , do 4,5∈ B ⇒ 6∈ A mà 6,7∈ A ⇒ 8∈ B
5,8∈ B ⇒ 2∈ A , vì 2,3∈ A ⇒ 1∈ B , vì 1,5∈ B ⇒ 9∈ A
Do đó: 3,6,9∈ B vô lí.
Vậy bài toán được chứng minh.
1

2. Cho a, b, c > 0 lập thành cấp sô cộng.Chứng minh rằng :
1
1
2
+
=
.
a+ b
b+ c
c+ a
3. Cho (un) là cấp số cộng. Chứng minh rằng :
1
un = ( un− k + un+ k ) , 1≤ k ≤ n − 1
2
Lời giải:
1. Vì a, b, c lập thành cấp số cộng nên a+ c = 2b.
2
2
Do đó : a + 2bc − c − 2ab = ( a− c) ( a+ c) − 2b( a− c)
= ( a− c) ( a+ c − 2b) = 0

Suy ra a2 + 2bc = c2 + 2ab.
2. Gọi d là công sai của cấp số, suy ra b− a = c − b = d,c − a = 2d
Do đó:

1
a+ b

+


1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tan

A
B
;tan ;
2
2


C
lập thành cấp số cộng ⇔ cos A ;cos B;cosC lập thành cấp số cộng.
2
A
B
C
2. Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng cot ;cot ;cot lập thành cấp số
2
2
2
cộng ⇔ sin A ;sin B;sin C lập thành cấp số cộng.
Lời giải:
A
B
C
1. Ta có: tan ;tan ;tan lập thành cấp số cộng
2
2
2
A C
B

1+ cos B 1− cos B 1
=
+  cos A + cosC 
2
2
2
cos A + cosC
⇔ cos B =
⇔ cos A ,cos B,cosC lập thành CSC.
2
A
B
B
C
2. Ta có: cot − cot = cot − cot
2
2
2
2
A
B
B
A
B
C
C
B
cos sin − cos sin
cos sin − cos sin
2

⇔ sin B − sin A = sin C − sin B ⇔ sin A + sin C = 2sin B .
⇔

Bài 3 Cho a, b, c lập thành cấp số nhân . .Chứng minh rằng :
2
2
2
1. ( a+ b+ c) ( a− b+ c) = a + b + c

(

)(

)

2. a2 + b2 b2 + c2 = ( ab+ bc)

2

3. ( ab+ bc + ca) = abc( a+ b+ c)
3

(

)(

3

)



2. Ta có: a2 + b2 b2 + c2 = a2 + ac ac + c2 = ac( a+ c)

2

= b2 ( a+ c) = ( ab+ bc) .
2

3. b2 = ac

(

Ta có: ( ab+ bc + ca) = ab+ bc + b2
3

)

3

2

= b3(a+ b+ c)3

= abc(a+ b+ c)3 .
4. Ta có: VT = (an + cn )2 − b2n = a2n + c2n + b2n + 2(ancn − b2n )
= a2n + b2n + c2n .
Bài 4 Cho (un) là cấp số nhân .Chứng minh rằng :
1. a1an = ak .an− k+1 , k = 1; n
2. Sn ( S3n − S2n ) = ( S2n − Sn ) .
2

2n
n
2
 q2n − 1
qn − 1
2 q (q − 1)
=  u1
− u1
=
u
÷
1
q− 1
q− 1 
(q− 1)2


Suy ra Sn ( S3n − S2n ) = ( S2n − Sn ) .
2

Bài 5
1. Điều cần và đủ để ba số khác không a, b, c là ba số hạng của một CSN là
tồn tại ba số nguyên khác không p,t,r sao cho
 p + t + r = 0
.
 p t r
 a .b .c = 1
2. Cho cấp số cộng (an) với các số hạng khác không và công sai khác
1
1

7. Chứng minh rằng nếu ba cạnh của tam giác lập thành CSN thì công bội
 5 − 1 1+ 5 
;
÷.
của CSN đó nằm trong khoảng 
2 ÷
 2

Lời giải:
1. • Giải sử a, b, c là ba số hạng thứ k + 1; l + 1; m+ 1 của cấp số nhân có công
l−m

a
b
 a
bội q, khi đó ta có : a = u1.qk ; b = u1.ql ; c = u1.qm ⇒ = qk−l ; = ql −m ⇒  ÷
b
c
 b
l − m m− l − k+1 k−1
⇒ a .b
.c = 1
Đặt p = l − m;t = m− l − k + 1;r = k − 1.
Khi đó ta có ba số p,t,r thỏa mãn yêu cầu bài toán.
p

k− l

 b
= ÷

Suy ra

1
=
akak+1

1 1
1 
 −
÷
d  ak ak+1 

1
1
1
1 1 1  n − 1
+
+ ... +
=  − ÷=
a1a2 a2a3
an−1an d  a1 an  a1an


3. Ta có

1
1
2
+
=

Ta có: 
b = u1 + nd
u = a− m(a− b) = mb− an
 1
m− n
m− n
Mặt khác: c = u1 + kd ⇒ (m− n)c = mb− na+ k(a− b)
⇒ (k − n)a+ (m− k)b+ (n − m)c = 0
 pa+ qb+ rc = 0
Đặt p = k − n,q = m− k,r = n − m⇒ 
 p + q+ r = 0
• Giả sử tồn tại ba số nguyên khác không p, q,r sao cho
 pa+ qb+ rc = 0

 p + q+ r = 0
Không mất tính tổng quát ta giả sử a ≥ b≥ c và p,q,r > 0
Ta có: p = −q− r nên (−q− r )a+ qb+ rc = 0 ⇔ (a− b)p = (c − a)r
a− b
⇒ a = b+ rd,c = a+ pd = b+ (p + r )d
r
Vậy b, a, c là ba số hạng u1 ,ur ,up+r của một CSC. a, b, c
Đặt d =

6. Ta có Sm = Sn ⇔ 2u1(m− n) + (m2 − n2 )d− (m− n)d = 0
⇔ 2u1 + (m+ n − 1)d = 0
n+ m
 2u + (m+ n − 1)d = 0 .
2  1
7. Giả sử là ba cạnh tam giác theo thứ tự đó lập thành CSN với công bội q.
 a+ aq > aq2

÷
2
 

 
Bài 6
1. Chứng minh ba số a, b, c > 0 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và
chỉ khi 3 số a2 + ab+ b2 ; c2 + ca+ a2 ; b2 + bc + c2 cũng là ba số hạng liên tiếp của
một cấp số cộng.
2. Cho (un ) là cấp số nhân. Kí hiệu S = u1 + u2 + ... + un ;
1 1
1
T = + + ... +
; P = u1u2...un . Hãy tính P theo S,T và n.
u1 u2
un
Lời giải:
1. Ta có: a + ab+ b + b + bc + c = 2(a + ca+ c2 )
2

2

2

2

2

2
2

=u q
n
1

n

 S
. Suy ra: P =  ÷
T 

Bài 7 Cho hai số tự nhiên n, k thỏa k + 3 ≤ n .
1. Chứng minh rằng tồn tại không quá hai giá trị của k sao cho Cnk , Cnk+1 và
Cnk+ 2 là ba số hạng liên tiếp của một CSC.
2. Chứng minh rằng không tồn tại k để Cnk , Cnk+1 , Cnk+ 2 và Cnk+ 3 là bốn số hạng
liên tiếp của một CSC.
Lời giải:
k
k+ 2
k+ 1
1. Ta có: Cn + Cn = 2Cn
n!
n!
n!
+
=2
k!(n − k)! (k + 2)!(n − k − 2)!
(k + 1)!(n − k − 1)!
⇔ (k + 1)(k + 2) + (n − k)(n − k − 1) = 2(k + 2)(n − k)
Đây là phương trình bậc hai ẩn k nên có nhiều nhất hai nghiệm.
⇔

k!(n − k)! (k + 1)!(n − k − 1)!
2
Suy ra phương trình (2) có không quá một nghiệm k, điều này dẫn tới (1)
mâu thuẫn.
Vậy không tồn tại k để Cnk , Cnk+1 , Cnk+ 2 và Cnk+ 3 là bốn số hạng liên tiếp của một
CSC.
⇔

Bài 8
uk+1 u1 + un+1 n + 1 n+1 2k
. n+1 ∑
1. Cho (un ) là CSC. Chứng minh rằng: ∑ k =
2
2 k=1 k
k= 0 Cn
n

2. Cho k là một số nguyên dương cho trước. Giả sử s1 , s2 , s3 ,... là một dãy tăng
nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con ss1 , ss2 , ss3 ,... và ss1+ k , ss2 + k , ss3 + k ,...
đều là cấp số cộng. Chứng minh rằng s1 , s2 , s3 ,... cũng là một cấp số cộng
Lời giải:
u1 + un+1 = uk+1 + un− k+1
, ∀k = 0,1,2,..., n
1. Ta có  k
n− k
Cn = Cn


n
uk+1 n  uk+1 un− k+1  n uk+1 + un− k+1

Nên 2∑

Do đó, để chứng minh đẳng thức đã cho ta chỉ cần chứng minh
n
1 n + 1 n+1 2k
= n+1 ∑
(1).
∑
k
2 k=1 k
k= 0 Cn
Ta chứng minh (1) bằng quy nạp
1 1
2
• Với n = 1 ta có: VT (1) = 0 + 1 = 2 và VP(1) = ( 2+ 2) = 2
C1 C1
4
Nên (1) đúng với n = 1.
n
n+1
1 n + 1 n+1 2k
1
n + 2 n+ 2 2k
• Giả sử ∑ k = n+1 ∑ , ta chứng minh ∑ k = n+ 2 ∑
(2)
2 k=1 k
2 k=1 k
k= 0 Cn
k= 0 Cn+1


k+1
k+1
Cn+1 k= 0 Cn+1
k= 0 Cn+1

(n + 1)!
n+ 1 k
=
C
(k + 1)!(n − k)! k + 1 n

n 
1
1 n k+ 1
1
k + 1 n − k + 1
=
=
Suy ra ∑ k+1
 k +
÷
∑
∑
k
n + 1 k= 0 Cn
2(n + 1) k=0  Cn
Cnn−k ÷
k= 0 Cn+1

n

ssn = ss1 + (n − 1)p = a+ np, ssn + k = ss1+ k + (n − 1)q = b+ nq.
Từ dãy s1 , s2 , s3 ,... là một dãy tăng ngặt, nên với mọi số nguyên dương n và
với chú ý sn + k ≤ sn+ k ta có ssn + k − 1< ssn + k ≤ ssn+k ,
từ đó ta thu được a+ np + k − 1< b+ nq ≤ a+ (n + 1)p,
điều này tương đương với 0 < k − 1+ b− a+ n(q− p) ≤ kp,
nếu p ≠ q thì ta thấy bất đẳng thức trên mâu thuẫn khi cho n cằng lớn. Nên
suy ra p = q và do đó 0 ≤ k − 1+ b− a ≤ kp
(1)
Đặt m= min{ sn+1 − sn : n = 1,2,...} .

Khi đó b− a = (ss1+ k − q) − (ss1 − p) = ss1+ k − ss1 ≥ km

(2) và

kp = a+ (s1 + k)p − (a+ s1p) = sss + k − sss = sb+ p − sa+ q ≥ m(b− a)
1

1

(3)


Ta xét hai trường hợp:
• b− a = kp .
Khi đó, với mỗi số nguyên dương n , ssn + k = b+ np = a+ (n + k)p = ssn+k , từ đây kết
hợp với dãy s1 , s2 , s3 ,... là một dãy tăng ngặt ta có sn+ k = sn + k .
Mặt khác do sn < sn+1 < ... < sn+ k = sn + k nên sn+1 = sn + 1 và do đó s1 , s2 , s3 ,... là một
cấp số cộng với công sai bằng 1.
• b− a < kp .
Chọn số nguyên dương N sao cho sN +1 − sN = m. Khi đó

Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm x biết :
1. x2 + 1, x − 2,1− 3x lập thành cấp số cộng ;
A. x = 4, x = 3
B. x = 2, x = 3
C. x = 2, x = 5
D. x = 2, x = 1
2. 1, x2 ,6 − x2 lập thành cấp số nhân.
A. x = ±1
B. x = ± 2

C. x = ±2

Lời giải:
1. Ta có: x + 1, x − 2,1− 3x lập thành cấp số cộng
⇔ x2 + 1+ 1− 3x = 2(x − 2) ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2; x = 3
2

D. x = ± 3


Vậy x = 2, x = 3 là những giá trị cần tìm.
2. Ta có: 1, x2 ,6 − x2 lập thành cấp số nhân ⇔ x4 = 6− x2 ⇔ x = ± 2 .
Ví dụ 2. Cho các số 5x − y, 2x + 3y, x + 2y lập thành cấp số cộng ; các số
2
2
( y + 1) , xy + 1,( x − 1) lập thành cấp số nhân.Tính x, y
 1 4  3 3 
A. (x; y) = ( 0;0) ; ; ÷; − ; − ÷
 3 3   4 10 


⇔ ( 4 + 2y − 2x) ( 4xy + 2x − 2y) = 0 (2)

(

)

2
Thay (1) vào (2) ta được : ( 4 + 2y − 5y) 10y + 5y − 2y = 0

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm x để các số sau lập thành cấp số cộng
1. 1; x; x3
π

2. 1;sin  − x÷;4sin x
6 
Bài 2. Tìm x, y biết:
1. Các số x + 5y,5x + 2y,8x + y lập thành cấp số cộng và các số

( y − 1)

2