Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 1
Tiết:
Ngày sọan: Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
A. Mục đích yêu cầu:
1. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
- Thế nào là phương pháp quy nạp tóan học.
- Các bước tiến hành để giải bài tóan quy nạp.
2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
- Giải tóan bằng phương pháp quy nạp.
B. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Cách giải các bài tóan bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TÓAN HỌC
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
I. Mở đầu:
Trong nhiều bài tóan, đôi lúc ta thường gặp phải chứng minh
những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n
∈ ¥
.
Để chứng minh những mệnh đề như thế, ta không thể thử trực
tiếp được mà dùng phương pháp chứng minh bằng quy nạp như
sau:
II. Phương pháp chứng minh bằng quy nạp:
Để chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp tóan
học (hay phương pháp quy nạp), ta làm như sau:
III. Một số ví dụ:
1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n
≥
1, ta có:

+
+ + + + =
Ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, tức phải chứng minh:
+ GV giới thiệu phương pháp quy nạp tón học.
+ Kiểm tra với n nào?
+ Cách kiểm tra?
+ Cách thiết lập giả thiết quy nạp?
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
n = k
≥
0 (gọi là giả thiết quy nạp). Ta hãy chứng minh mệnh
đề cũng đúng với n = k+1.
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n.
Chú ý. Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự
nhiện n
≥
p thì:
- Trong bước 1 ta phải thử với n = p.
- Trong bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với một số tự
nhiên n = k≥ p.
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 2
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
( )
( ) ( )
( )
k 1 k 2
1 2 3 ... k k 1 1"
2
+ +

n n n 1 n 2 n 2 n 1
a b a b a a b ... ab b 2
− − − −
− = − + + + +
Giải:
+ Khi n = 2:

( ) ( )
2 2
2 2
VT a b
VP a b a b a b

= −

⇒

= − + = −


(2) đúng với n = 2
+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 2, tức là:

( )
( )
( )
k k k 1 k 2 k 2 k 1
a b a b a a b ... ab b 2'
− − − −
− = − + + + +

Chứng minh rằng với
*
n∀ ∈ ¥
, ta có:
( ) ( )
2 2 3 2
n n 1 2n 1
1 2 3 ... n
6
+ +
+ + + + = (*)
Giải:
+ Khi n = 1, ta có:
( ) ( )
VT 1
1 1 1 2 1
VP 1
6
=


⇒
+ +

= =


(*) đúng với n = 1
+ Giả sử (*) đúng với một số tự nhiên n = k > 0, tức là:
( ) ( )

2k 7k 6
k 1 . k 1 .
6 6
k 1 k 2 2k 3
VP
6
+ +
= + + + + + + = + +
+ + +
+ +
= + = + =
+ + +
= =
B4. Củng cố: Phương pháp chứng minh bằng quy nạp?
B5. Dặn dò: BTVN trang 88
+ Phải chứng minh điều gì?
+ Dùng giả thiết quy nạp thay vào k số hạng đầu
tiên.
+ Kiểm tra với n = 2.
+ Thành lập giả thiết quy nạp?
+ Mệnh đề phải chứng minh?
+ Hướng dẫn chứng minh.
+ Kiểm tra (*) với n = 1
+ Thành lập giả thiết quy nạp?
+ Cách chứng minh?
+ Kết luận.
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 3
Tiết:
Ngày sọan:
C. Mục đích yêu cầu:

• u
m
là số hạng cuối (số hạng thứ m)
2. Định nghĩa 2: Một hàm số u xác định trên tập
*¥
được gọi là
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số)
- Tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử được ký hiệu là:
1 2 n
u ;u ;...;u ;...
Dạng này được gọi là dạng khai triển của dãy số.
- u
1
là số hạng thứ nhất,…
- u
n
là số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của dãy số u.
II. Cách cho dãy số
1. Cho số hạng tổng quát bằng công thức:
Ví dụ: Cho dãy số (u
n
), với
( )
n
n
2
1
u
n
−

Ta có:
- Dãy số có 5 số hạng.
- Số hạng đầu: 2
- Số hạng cuối: 10
+ Ví dụ: Cho dãy số (u
n
), với
n
1
u
n
=
, ta có dạng
khai triển của nó là:
1 1 1
1; ; ;...; ;...
2 3 n
+ Thay các giá trị của n vào.
DÃY SỐ
- Cho một hay vài số hạng đầu của dãy.
- Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng
thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) trước nó.
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 4
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
+ Cho n vài giá trị để thấy dãy số dần tiến về điểm 0
(nhưng không bằng 0)
+ Suy ra: Để khảo sát tính đơn điệu của dãy số ta
tính u
n+1
rồi xét hiệu u

1
n
 
 ÷
 
trên trục số

O
1
4
u
4
1
3
u
3
1
u
1?
1
2
u
2
IV. Dãy số tăng, dãy số giảm:
1. Các định nghĩa :
2. Ví dụ: Chứng minh dãy số (u
n
) với
n
n 1

− = − = = <
+ + +
Vậy dãy số đã cho giảm (đpcm)
V. Dãy số bị chặn:
1. Các định nghĩa:
2. Ví dụ: Chứng minh rằng dãy số
1
n
 
 ÷
 
bị chặn.
Giải: Với
n *∀ ∈ ¥
, ta có:
1
0 1
n
< ≤
nên dãy số đã cho bị chặn trên bởi 1, bị chặn dưới bởi 0
Vậy dãy số đã cho bị chặn.
B4. Củng cố: Các định nghĩa.
B5. Dặn dò: BTVN trang 94 – 95
a) ĐN1:
( )
2
u
là dãy số tăng
⇔
n n 1

u
giảm
n 1
n
u
n *, 1
u
+
⇔ ∀ ∈ <¥
a) ĐN1:
( )
n
u
bị chặn trên
n
M : n *, u M⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤¥¡
b) ĐN2:
( )
n
u
bị chặn dưới
n
m : n *, u m⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≥¥¡
c) ĐN3:
( )
n
u
bị chặn
n
m,M : n *, m u M⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ≤¥¡

= = +



Ơ
NI DUNG TG PHNG PHP
Gii:
a) Ta cú:
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
u ;u ;u ;u ;u
2 2 8 16 32
= = = = =
b) Ta cú:
1 2 3 4 5
u 1;u 4;u 6;u 8;u 10= = = = =
c) Ta cú:
1 2 3 4 5
1 2 1 4
u 0;u ;u ;u ;u
2 3 4 5
= = = = =
Gii:
( ) ( )
( ) ( )
7 12
7 12
2n 2n 1
2n 2n 1
1 1 1 1


+ Ln lt cho n = 1; 2; 3; 4; 5 vo cụng thc ó
cho, tớnh cỏc giỏ tr tng ng.
+ Chỳ ý n chn, n l chn du ỳng.
Bi tp: DY S
Bi 1: Vớt 5 s hng u ca cỏc dóy s sau:
( )
= =



=





n
n n
n
n
1
a) u b) u 1 2n
2
1
neỏu n chaỹn
n
c) u
n 1
neỏu n leỷ

=



= = +



Ơ
+ tỡm s hng tng quỏt ca dóy, ta cú th
lm nh sau:
- Cho n vi giỏ tr u tiờn.
- Xem th quy lut ca u
n
?
- D úan cụng thc u
n
.
- Chng minh cụng thc d úan l
ỳng bng phng phỏp quy np.
Giáo án Giải tích 11 – GV: Bùi Quang Quyền – THPT Hương Thủy – Năm học: 2006 – 2007 6
CCCC
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
+ Nhắc lại cách chứng minh bằng phương pháp quy
nạp.
+ Thử với n = 1?
+ Biểu thức của giả thiết quy nạp?
+ Biểu thức cần chứng minh?
+ Kết luận công thức cần tìm?
b) Hướng dẫn học sinh giải.

= −
+ +
và
1 1 1
1, , n *
n n 1 2
≤ ≤ ∀ ∈
+
¥
d) Phân tích như thế nào?
Chứng minh:
+ Khi n = 1:
1
1 1
VT u 3
VP 3.2 3
−
= =


⇒

= =


(1) đúng với n = 1.
+ Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là:
k 1
k
u 3.2

n n n
2 n
1 2 1 1
a) u b) u c) u
2n 1 2
−
 
= = = −
 ÷
+
 
Giải:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
n 1 n
2 2
2 2
2 2
1 1 n 1 n 2n 2
a) u u
n 1
n 1 n 2n 2
n 1 1
2n 1
0, n *
n 1 n 2n 2
+
+ − − −

n n
n
2n 1
n n
1
a) u 2n 1 b) u
n n 1
1
c) u 3.2 d) u
3
−
= − =
+
 
= = −
 ÷
 
Giải:
a) Với
n
n *: u 2n 1 1∀ ∈ = − ≥¥
Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 1.
b) Với
( )
n
1 1 1
n *: 0 0 u
n n 1 2 2
∀ ∈ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
+

A. Mục đích yêu cầu:
a. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
i. Định nghĩa cấp số cộng.
ii. Số hạng tổng quát của cấp số cộng
iii. Tính chất của CSC, tổng n số hạng đầu của một CSC.
b. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
i. Giải các bài tóan về cấp số cộng.
ii. Rèn luyện kỹ năng tính tóan.
B. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSC.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
( )
1
1
n 1 n n 1 n
u 3
u 11
a) b)
u 2u n 1 u 10u 1 9n, n
+ +
=
 =


 
= ≥ = + − ∀ ∈



= u
1
+ d = –1 +(–2) = –3, u
3
= –5, u
4
= –7, u
5
= –9
Vậy ta có cấp số cộng là:

1; 3; 5; 7; 9÷ − − − − −
II. Số hạng tổng quát:
1. Định lý:
(2)
Chứng minh:
+ Khi n = 1: Rõ ràng (2) đúng.
+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1, tức là:

( )
k 1
u u k 1 .d= + −
Ta chứng minh (2) cũng đúng khi n = k+1, tức là:

k 1 1
u u k.d
+
= +
Cm: Ta có: