SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
THPT LÊ QUÝ ĐÔN
--------&&&-------

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn thi : Toán - Thời gian làm bài 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)

Bài 1.(5 điểm)

2x 1
có đồ thị là (H). M là điểm trên (H) sao cho xM > 1, tiếp tuyến của (H) tại
2x  2
M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B. Xác định toạ độ điểm M sao cho
SOIB  8SOIA ( trong đó O là gốc toạ độ, I là giao của hai tiệm cận)

Cho hàm số y 

Bài 2.(6 điểm)
1) Giải hệ phương trình





4  9.3x2 2y  4  9 x2 2y .72y  x2  2



2  x 2  2x  2y  2x  4

a . Hình chiếu vuông góc của B’ trên (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC.
3
Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’.
  600 , SA =
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, góc BAD
= SB = SD = 1. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AD sao cho mp(SMN)
vuông góc với (ABCD). Đặt AM = x, AN = y, tìm x, y để diện tích toàn phần của tứ diện SAMN
nhỏ nhất.
Bài 4.(2 điểm)
A
B
C
Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn 2sinA + 3sinB + 4sinC = 5cos  3cos  cos .
2
2
2
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 5.(1 điểm) Trong mặt phẳng có n điểm, trong đó có k điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm
nào thẳng hàng. Biết rằng từ n điểm đó tạo được 36 đường thẳng phân biệt và tạo được 110 tam giác khác
nhau. Hãy tìm n, k.

---------Hết-------Lưu ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh: ……………………………………...Số báo danh:………………..…………..


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
--------&&&------THPT Lê Quý Đôn

Bài
(5 đ)

x 
(d) cắt tiệm cận đứng tại A  1; 0  , (d) cắt tiệm cận ngang tại B(2x0 – 1; 1)
 x0  1 
1
IA =
, IB = 2( x0  1)
x0  1

1.0

S OIB  8S OIA  2( x0  1) 

 x  1(ktm)
8
2
  x0  1  4   0
x0  1
 x0  3(tm)

1.0
1.0

 5
Vậy M  3; 
 4
Bài 2
1
(2đ)

1.0

7t  2
7

0.5


 Từ đó 2y = x – 2
43
nghÞch biÕn trªn R 
 Víi f(x) =
x
7


2

x

Thay 2y = x2 – 2 vào pt(2) ta được
Đặt

2  x 2  2x  x 2  2x  2 (3)

x 2  2x  2  a  1 phương trình (3) trở thành a 2  a  (2  2)  0 (4)

 x  0
(tm *)

y  1



Khi đó (*)  4 x( x 2  2 x  4)  x 2  5 x  4
 4 x( x 2  2 x  4)  ( x 2  2 x  4)  3x (**)

0.5

TH 1: x  1  5 ,
Chia hai vế cho x > 0, ta có: (**)  4

Đặt t 

1

x2  2 x  4 x2  2 x  4

3
x
x

x2  2 x  4
, t  0 , ta có bpt: t 2  4t  3  0  1  t  3
x

2
1  17
7  65
x2  2x  4
 x  7 x  4  0
x


3
P=
.
13a + 12 ab + 16 bc
a+b+c
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
a  4b
b  4c
13a  12 ab  16 bc  13a  6 a.4b  8 b.4c  13a  6.
 8.
 16(a  b  c)
2
2

0.5

 13a  12 ab  16 bc  16(a  b  c) . Dấu “ = ” xảy ra  a  4b  16c .

Suy ra P 

3
2a  b  c

3



abc

Đặt t  a  b  c, t  0 . Khi đó ta có: P 



3
2t

2

3
2t t



3
2t

2

.

 0  t  1 ; lim f (t)   ; lim f (t)  0
x 0

x 

0.5


16
4
1


A

B
N

M
H
D

MN là đường trung bình của tam giác HAB  MN / / AB, MN 
bình hành  MN / / CK, MN  CK 

C

K

1
AB . Do MNCK là hình
2

0.5

1
AB suy ra K là trung điểm của CD
2

Ta có MN  BC , BH  MC nên N là trực tâm tam giác BCM  CN  BM , mà MK //

CN  BM  MK

Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’.

A'

B'

C'

B
A
G
M
I
C
H

BB’// (ACC’) suy ra d(BB’, AC’) = d(BB’, (ACC’)) = d(B, (ACC’)

0.5

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C’ trên (ABC). Gọi I là giao điểm của GH và AC.

0.5

Chứng minh được C ' I  AC v C'I = C ' H 2  HI 2  2 2a
S C ' AC

1
 C ' I.AC  4 2a 2
2

0.5

S

D

C

N
O
H
A

B

M

Chứng tỏ M,H,N thẳng hàng theo thứ tự đó
S AMN  S AMH  S ANH 
S AMN

1
1
1 3
AM . AH .sin 300  AN . AH .sin 300  .
( x  y)
2
2
4 3


2
2
2
2
1
3 1
3 1
3 1 6
. 3xy (3 xy  1)
 .x. y.
 . y.1.
 .x.1.
 .
2
2 2
2 2
2 2 3
3
6
6

 xy  x  y   . 3xy(3xy  1)  3xy  . 3xy(3xy  1)
4
6
6


Từ (7) ta có 3 xy  x  y  2 xy  xy 

S


x y

2
3

Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn 2sinA + 3sinB + 4sinC = 5cos
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

A
B
C
 3cos  cos .
2
2
2


0.5

AB
AB
C
Ta có : sinA +sin B = 2 sin
cos
2 cos
2
2
2


A
B
C
+3cos
+cos
2
2
2

0.5
0.5

Đẳng thức xảy ra khi v chỉ khi tam giác ABC đều.
Bi 5
(1 )

Trong mt phng cú n im, trong ú cú k im thng hng, s cũn li khụng cú 3 im no
thng hng. Bit rng t n im ú to c 36 ng thng phõn bit v to c 110 tam giỏc
khỏc nhau. Hóy tỡm n, k.
+ S ng thng phõn bit cú c

Cn2 Ck2 1

+ S tam giỏc phõn bit cú c C n C k
Theo bi ra ta cú:
Cn2 Ck2 1 36
( n k )(n k 1) 70 (1)
n( n 1) k ( k 1) 70




khụng tha món (2)
n k 1
k 35
3

Vy n=10, k=5.

0.25

3

0.25

0.25

0.25