Phòng GD-ĐT Triệu Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 3)
năm học : 2008 - 2009
Môn : Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)
Bài 1 ( 3,0 điểm)
Cho các số dơng: a; b và x =
1
2
2
+
b
ab
. Xét biểu thức P =
b
xaxa
xaxa
3
1
+
+
++
1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P.
2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2 (3,0 điểm)
Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:





=

n + 1
+ b
n + 1
) ab(a
n
+ b
n
)
2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, S
n
là số nguyên.
3. Chứng minh S
n
2 =
2
2
15
2
15












) và N là tiếp điểm thuộc (O
2
).
1. Gọi F là giao điểm của các đờng thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đờng thẳng
EF vuông góc với đờng thẳng AB.
2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đờng tròn (O) đờng kính AB. Đờng thẳng MN cắt
đờng tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Bài 5: (4đ): Cho ABC đờng thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là E , F , N .
a) Chứng minh :
AN
AM
AF
AC
AE
AB 2
=+
b) Giả sử đờng thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đờng thẳng KN cắt AB tại P đờng
thẳng KM cắt AC tại Q.
Chứng minh PQ//BC.
Bài 6: (2 điểm)
Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :

accbbacba
222333
3222 +++<++
------------- Hết-------------
hớng dẫn chấm: Đề số 3
Câu 1. (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
1. (2.0 điểm)

1
)1(
1
2
2
2
2
+
+
=
+
+
b
ba
b
ab
a


1
)1(
2
+
+=+
b
a
bxa
a - x =
1
)1(

b
a
b
b
a
b
b
a
b
b
a
b
3
1
11
11
3
1
11
1
)1(
1
1
1
)1(
22
22
+
+
++

3
1
2
+
=+
2. (1.0 điểm)
Xét 2 trờng hợp:
Nếu 0 < b < 1, a dơng tuỳ ý thì P =

b3
4
P
4
3
>
Nếu b
1

, a dơng tuỳ ý thì P =
3
2
3
1
33
1 b
b
b
b
b
+

2
3
2
=+
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
KL: Giá trị nhỏ nhất của P =
3
4
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2 (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
Biến đổi tơng đơng hệ ta có





=+
=+
=+
)2(3)1)(2(

1,00
0,50
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
Câu 3 (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
2
1. (1,0 điểm)
Với n 1 thì S
n + 2
= a
n+2
+ b
n+2
(1)
Mặt khác: (a + b)( a
n + 1
+b
n + 1
) ab(a
n
+b
n
) = a
n+2
+ b
n+2

4

Z
Tiếp tục quá trình trên ta đợc S
5
; S
6
;...; S
2008


Z
3. (1.0 điểm)
Ta có S
n
2 =
2
2
1
2
5
2
1
2
5
22





+
nn
=
n
nn
































+
2
15
2
15
2
2
15
2
15
22
=
2
2
15
2
15








=
2
15



a
1
+ b
1
=
5
; a
1
b
1
= 1
Xét U
n
=
1 1
n n
a b
Với n 1 thì U
n+2
= (a
1
+ b
1
)(a

2
=
5

Z; U
3
= 4

Z; U
4
= 3
5

Z;...
Tiếp tục quá trình trên ta đợc U
n
nguyên

n lẻ
Vậy S
n
2 là số chính phơng

n = 2k+1 với k

Z và 0

k
1003
0,25


MO
1
E =

NO
2
B
Các tam giác O
1
ME; O
2
NB lần lợt cân tại O
1
và O
2
nên ta có:

MEO
1
=

NBO
2
(1)
Mặt khác ta có:

AME = 90
0





NME =

FEM (3)
Do MN

MO
1




MNE +

EMO
1
= 90
0
(4)
0,25
0.25
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
3
F

FEM +

MEO
1
= 90
0
hay

FEO
1
= 90
0
(đpcm)
2. (2,5 điểm)
Ta có EB = 12 cm

O
1
M = 3 cm < O
2
N = 6 cm

MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B.
Gọi I là trung điểm CD

CD

OI

OI// O

1
= O
1
O
2
Do O
1
O
2
= 3 + 6 = 9 cm

SO
1
= O
1
O
2
= 9 cm

SO =SO
1
+ O
1
O = 15cm
Mặt khác:
11
SO
SO
MO
OI

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
Câu 5 (2,0 điểm)
Điểm
a)
Kẻ
EFCSBI //,

),( AMSI

Ta có:
AN
AS
AF
AC
AN
AI
AE
AB
==
,
)(
+=+

LFEPcgcNFLNFP
==
)(

Do đó :

)1(
KB
KF
PB
LF
PB
EP
==

+Từ B kẻ đờng thẳng song song với AC cắt
KM tại H
0,5
0,5
0,5
4
E
E
I
S
M
N
C
B
A

=
(đpcm)
0,5
0,5
Bài 6: 2 điểm)
Do a <1


2
a
<1 và b <1
Nên
( )
( )
2 2 2
1 . 1 0 1 0a b a b a b > + >
Hay
baba
+>+
22
1
(1)
Mặt khác 0 <a,b <1


32
aa
>
;
3

0,25
0,25
0,5
5