ĐỀ SỐ 1.
( Thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc)
Th
ờ
i gian la
̀
m ba
̀
i 150 phu
́
t.
Câu 1 . Giải hệ phương trình





=+−+
=−−−
0)(4
0)(9
33
33
yxyx
yxyx
Câu 2 .
a.Xác định các giá trị nguyên x,y nghiệm đúng phương trình:
0)1()1(
22
=−+−
yyyx

) tại A và C cắt (O
2
) tại B và D sắp thứ tự A,B,C,D . Hai đường
thẳng EF ,O
1
O
2
cắt nhau tại H, gọi P là điểm tùy ý trên đoạn HE ( P không trùng H,E)
đường CP cắt (O
1
) tại M. Đường thẳng BD cắt (O
2
) tại N.
a. Chứng minh rằng:
HC
HD
HB
HA
=
b. Chứng minh rằng. AM, EF, PN đồng quy
a. | MN-BC| +|MB-NC|≥2|MC-NB|.
ĐỀ THI SỐ 2.
(Thi học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh Phúc)
Thời gian làm bài 150 phút.
Câu 1.
a. Giải phương trình:
||583
22
xxx =+++
b. Giải hệ phương trình:

...321
++++
là số chính
phương.
Câu 3. Cho biểu thức: A=
( )
2
12
12
2
21
21624
44








−+−+−
xx
xxxx
. Trong đó x
1
, x
2
là hai
nghiệm của phương trình bậc hai ẩn x: x




=−+
=+
1|ax||y|
|x||y|4x
a) Giải hệ phương trình khi a=-2.
b) Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình có đúng 2 nghiêm.
Câu 2 ( 2 điểm )
a) Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: A= -z
2
+z(y+1)+xy.
b) Cho tứ giác ABCD (Hai cạnh AB và AD có cùng độ dài )nội tiếp đường tròn
bán kính 1. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn bán
kính r thì r ≤
2
2
.
Câu 3 ( 2 điểm ).
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình 499(1997
n
+1)=x
2
+x có
nghiệm nguyên.
Câu 4 ( 3 điểm ).
Cho tam giác ABC vuông (AC ⊥ BC). Đường tròn (C ) đường kính CD cắt cạnh
AC và BC lần lượt tại E và F ( D là hình chiếu vuông góc của C lên AB). Gọi M là giao








++
1
2
2
1
1
11
1
11
x
x
x
x
.
b. Tìm giá trị nguyên của a để phương trình có và chỉ có nghiệm hữu tỷ.
c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để phương trình có ngiệm x
1
, x
2
thoả
mãn:
( ) ( )
644141

1
A
2
A
3
và các đường tròn (O
1
), (O
2
), (O
3
) đôi một tiếp xúc với nhau,
(O
1
) đi qua A
2
, A
3
; (O
2
) đi qua A
3
, A
1
; (O
3
) đi qua A
1
, A
2

168
1
4444
xx
xxxx
+−
−−+−+
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
c. Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên.
Câu 2.
a.Cho y=(x-a)
2
+(x-b)
2
, a và b là các hằng số. Với giá trị nào của x thì y nhỏ nhất.
b. Cho:
ab
ba
2
2
=
+
; ( a>0, b>0). Tính
b
a
.
Câu 3. Giải hệ phương trình:



2
1
13
yx
y
yx
x
Câu 4. Cho A, B thuộc đường tròn ( O), AB không là đường kính, C là trung điểm
của cung nhỏ AB, F là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B; D, E lần lượt là giao
điểm của tiếp tuyến tại C với hai tiếp tuyến tại A và B. Chứng minh rằng: S
DEF
>
2
1
S
ABC
.
Câu 5. Đường thẳng xy cố định và đường tròn cố định tâm O không cắt nhau. Từ
điểm A di động trên xy dựng hai tiếp tuyến AB và AC tiếp xúc với đường tròn tại B
và C. Chứng minh rằng BC đi qua điểm cố định khi A di động trên xy.
ĐỀ THI SỐ 6.
(Thi học sing giỏi huyện Yên Lạc)
Thời gian làm bài 150 phút.
_______________________________________________________________
Câu 1. Cho biểu thức:
A=





1xy
xxy
1xy
1x
.
a. Rút gọn A.
b. Tính giá trị của A nếu: x=
7474
−−+
; y=
32
−
.
c. Biết x+y=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Câu 2.
a. Tìm các số x, y, z biết :





++
=
−+
=
++
=
++
≠++
zyx

1
2
1
1
++++
. Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên.
Câu 4. Cho ∆ ABC cân tại A. Biết BÂC=20
0
và AB=AC=b, BC=a. Chứng minh rằng:
a
3
+b
3
=3ab
2
.
Câu 5. Cho đường kính AB của đường tròn và một điểm C nằm trên đường kính đó.
Tìm trên đường tròn các điểm E, F đối xứng với nhau qua AB sao cho AE ⊥ CF.
========== ==========
ĐỀ THI SỐ 7
(Tuyển sinh vào lớp 10 THPT )
Thời gian làm bài 150 phút.
_______________________________________________________________
Câu 1.
a. Giải phương trình:
.1x3x
2
1
x
2

, x
2
. Tính: (x
1
-x
2
)
4
.
Câu 3. Một ôtô du lịch đi từ A đến C; cùng lúc đó, từ địa điểm B nằm trên đoạn
đường AC có một ôtô vận tải cùng đi đến C. Sau 6 giờ ôtô du lịch và ôtô vận tải cùng
tới C. Hỏi ôtô du lịch đi từ A đến B mất bao lâu biết vận tốc ôtô tải bằng 5/6 vận tốc
ôtô du lịch?.
Câu 4. Trên đường tròn (O; R) lấy hai điểm A, B sao cho AB<2R. Gọi giao điểm của
các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, B là P. Qua A, B kẻ các dây AC, BD song
song với nhau, gọi giao điểm của các đây AD, BC là Q.
a. Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp.
b. Chứng minh PQ//AC.
Câu 5. Biết rằng: y
2
+xy+z
2
+1-
2
x3
2
.
Chứng minh rằng:
.2zyx2
≤++≤−

−
+−
−
c. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:



+=
−=
x1y
x1y
.
Câu 2. Cho phương trình ẩn x: x
2
-2(m+1)x+n+2=0.
a. Tìm giá trị của m, n để phương trình có nghiệm là 3 và -2.
b. Cho m=0, tìm các giá trị nguyên của n để phương trình có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
thoả mãn:
2
1
x
x
1
2
x
x

1xx
2
xxxx
2
2
−






++
+
++
c. Vẽ đồ thị hai hàm số: y=x-1 (1) và y=x+1 (2) trên cùng một hệ trục toạ độ.
Cho nhận xét về hai đồ thị trên.
Câu 2. Cho hệ phương trình:



=++
=−−
.0myx
.02yx
2
( m là tham số ).
a. Giải hệ phương trình với m=-4.
b. Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt (x
1

;
625
25
+
b=
;
625
25
−
P=
xy
xyyx
−
; với x>0, y>0.
a. Tính a+b.
b. Rút gọn biểu thức P.
c. Tính giá trị biểu thức P khi thay x bằng biểu thức a, thay y bằng biểu thức b.
Câu 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x: x
2
+(2m+1)x+m
2
+3m=0.
a. Giải phương trình với m=0.
b. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
c. Xác định m để phương trình có một nghiệp bằng 2 và tổng các bình phương
các nghiệm lớn nhất.
Câu 3. Một ca nô ngược dòng từ A đến B với vận tốc 20km/h, sau đó lại xuôi từ bến
B trở về bến A. Thời gian ca nô ngược dòng từ A đến B nhiều hơn ca nô xuôi dòng từ
B trở về A là 2 giờ 40 phút. Tình khoảng cách giữa hai bến A và B. biết vận tốc của
dòng nước lá 5km/h, vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng bằng

3
5
>−
c.





=−−
=+−
.03y2
3
x2
.01y3x5
Câu 2. Cho phương trình: x
2
-3x-2=0.
a. Giải hệ phương trình.
b. Gọi hai nghiệm của phương trình là x
1
, x
2
. Tính:
.xx
4
2
4
1
+

;y
0
) với mọi giá trị của
tham số m.
c. Biết rằng điểm (1 ;1) thuộc hàm số đã cho. Xác định tham số m và vẽ đồ thị
của hàm số ứng với giá trị tìm được của m.
Câu 2. Cho hệ phương trình ẩn x, y :







−
=
−
+
+
=
−
−
+
3
2
y1
5
2x
3
.n

Câu 2. Cho biểu thức A=
.1
1a
1
1a
1
−
+
−
−
a. Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A.
b. Tìm các số nguyên tố a để giá trị của biểu thức A là số nguyên.
Câu 3. Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100m
2
. Tính độ dài các cạnh
của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2m và giảm chiều
dài thửa ruộng 5m thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 5m
2
.
Câu 4. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm P ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến phân
biệt PA, PC ( A, C là các tiếp điểm) với đường tròn tâm O.
a. Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b. Tia AO cắt đường tròn (O) tại B; đường thẳng qua P song song với AB cắt
BC tại D. Tứ giác AODP là hình gì ?
c. Gọi I là giao điểm của PC và DO; K là trung điểm của AD. Chứng minh
rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.
========== ==========
ĐỀ THI SỐ 14
(Tuyển sinh vào lớp 10 THPT )
Thời gian làm bài 150 phút.

x
2
.
Câu 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x: x
2
+2mx-2m-3=0. (1)
a. Giải phương trình (1) với m= -1.
b. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c. Tìm nghiệm của phương trình (1) khi tổng bình phương các nghiệm đó nhận
giá trị nhỏ nhất.
Câu 3. Cho ∆ ABC vuông ở A, trên đoạn AC lấy điểm D ( D không trùng với các điểm
A và C). Đường tròn đường kính DC cắt BC tại điểm thứ hai E; đường thẳng BD cắt
đường tròn đường kính DC tại điểm F ( F không trùng với D). Chứng minh:
a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giá EDC.
b. Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn.
c. AC là tia phân giác của góc EAF.
Câu 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
(y
2
+4)(x
2
+y
2
)=8xy
2
.
========== ==========
ĐỀ THI SỐ 15
(Tuyển sinh vào lớp 10 THPT )
Thời gian làm bài 150 phút.

4x
1
=
+
+
−
.
b. (2x-1)(x+4)=(x+1)(x-4).
Câu 3. Cho phương trình: 2x
2
-5x+1=0.
Tính:
1221
xxxx
+
( x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình).
Câu 4. Cho hai đường tròn (O
1
), (O
2
) cắt nhau tại A và B, Tiếp tuyến chung của hai
đường tròn (O
1
), (O
2
) về phía nửa mặt phẳng bờ O