Xuân Đức 66
Đề số 13
Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2
Năm học: 2008-2009
Thời gian 150 phút
Bài 1: a.Cho
0b a
> >
thỏa mãn:
2 2
3 4a b ab+ =
. Tính:
a b
A
a b

=
+
b. Cho
0x y> >
; thỏa mãn:
2 2
3 3 10x y xy+ =
Tính :
x y
B
x y

=
+
Bài 2: a. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

4 2
1
x
x x+ +
Bài 4: Cho tam giác ABC, một đờng thẳng song song với đờng thẳng, BC cắt AB, AC lần
lợt tại D và E. Một điểm P thuộc cạnh BC. CMR: Diệm tích tam giác DPE không lớn hơn
1
4
diện tích tam giác ABC.
DE ở vị trí nào thì diên tích tam giác DPE lớn nhất.
Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đờng cao AA, BB, CC.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
1
'
'
'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
Xuân Đức 66
Đáp án:
Bài 1:
a. Ta có:

= = =
+
Vậy
1
2
A =
b. Ta có:
0x y> >
; do đó
x y
B
x y

=
+
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) 2 3 6 3
( ) 2 3 6 3
x y x xy y x xy y
x y x xy y x xy y
+ +
= = =
+ + + + +
(*)
Thày
2 2
3 3 10x y xy+ =
vào (*) ta đợc:
4 1 1

17 ( ) 2 17 ( ) 25
3 1 4 4
x y x y xy x y
xy xy xy

+ = + = + =


= = =

Xuân Đức 66










=
=



=
=



4y
1x
hoặc
1
4
1
4
4
5
4
5
y
x
y
x
xy
yx
xy
yx
Kết luận:



=
=
4y
1x
hoặc



= a Với a là số nguyên dơng thì
x
4
+ 2 = a(x
2
y + 1) x
2
(x
2
- ay) = a - 2 (1)
Xét 3 trờng hợp sau :
TH1: Nếu a = 1 thì từ (1) ta có : x
2
(x
2
- y) = - 1




=
=
11
1
2
y
x




- x
2
y 0. Điều này không xảy ra
Vậy: Cặp số nguyên dơng (x; y) thoả mãn đề ra là :
Xuân Đức 66
(1; 2) và (2k; 2k
2
) với k là số nguyên dơng.
Bài 3:
a. Có A =
2
)1(
1
1
2
3
2
)1(
1)1(2)12
2
(3

+

=

++
x
x
x

2
1
2
1
++








x
x
(1/2 điểm)
M đạt giá trị lớn nhất khi
2
1
2
x
x
+
nhỏ nhất =>
2
1
2
x
x
+

DPE
ABC
S DE h x
S BC h



=
(2)
(Ta có đờng cao của
DPE
hạ từ đỉnh P xuống DE luôn = HM = h x vì DE//BC)
Từ (1) và (2) ta có:
2
.( ) .( )
.
DPE
ABC
S x h x x h x
S h h h



= =
Ta có:
2 ( )x h x x h x+
(vì
0; 0x h x> >
)
Mà: Tổng


Vậy diên tích của
1
4
DPE ABC
S S

=
lớn nhất khi DE là đờng trung bình của
ABC
j
N
P
D
E
x
M
H
CB
A
Xu©n §øc 66
Bµi 5:
+ Cã S
ABC
=
2
1
BC . AA’ (1/2 ®iÓm)
+ Cã S
HBC

S
=
;
CC'
HC'
ABC
S
HAB
S
=
(1/2 ®iÓm)
=>
1
ABC
S
ABC
S
ABC
S
HAB
S
HAC
S
HBC
S
==
++
VËy
1
'