BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
A. KIẾ
KIẾN THỨ
THỨC CƠ
CƠ BẢ
BẢN
① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH ,
với H là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
Kí hiệu: d (M , a ) = MH .

M
a

H

α
M

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) là MH , với
H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (α) .

(

H


nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến
mặt phẳng (α) :

H

α

d a, (α) = d M , (α) = MH (M ∈ a )




⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
α
d (α), (β ) = d a, (β ) = d  A, (β ) = AH a ⊂ (α), A ∈ a







(

β

A


1|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

B. KỸ NĂNG CƠ BẢ
BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng
a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước
Các bước thực hiện:
Bước 1. Trong mặt phẳng (M , d ) hạ MH ⊥ d với H ∈ d .
Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,
đường tròn, …
a

M

a

M

A

d

d


α

Các bước thực hiện:

O

d

H

Bước 1. Tìm hình chiếu H của O lên (α) .

H

α

- Tìm mặt phẳng (β ) qua O và vuông góc với (α) .
- Tìm ∆ = (α ) ∩ (β ) .
- Trong mặt phẳng (β ) , kẻ OH ⊥ ∆ tại H.

⇒ H là hình chiếu vuông góc của O lên (α) .

A

Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến (α) .

O

I



K

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
• Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a,b

b

Trường hợp a ⊥ b:
- Dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B.
- Trong (α) dựng BA ⊥ a tại A.

B

α

a

A

⇒ AB là đoạn vuông góc chung.
Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

2|THBTN


BTN_7_3


- Trong mp (α) , vẽ OH ⊥ b′ tại H.

a
A

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.
⇒ AB là đoạn vuông góc chung.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a,b

b
B
b'

O
H

I

α

Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:
- Tìm đoạn vuông góc chung AB của a,b .

(Hình b)

- d (a,b ) = AB

(



(AB ∧ CD ).AC
AB ∧ CD

AB.CD
AB . CD

d) Góc giữa hai mặt phẳng (ABC ) và (MNP ) :

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

3|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

(ABC ) có vecto pháp tuyến n

(

)

cos (ABC ), (MNP ) =

1

= AB ∧ AC ; (MNP ) có vtpt n 2 = MN ∧ MP , khi đó:
n1.n 2


C. BÀI TẬ
TẬP TRẮ
TRẮC NGHIỆ
NGHIỆM
KHỐI CHÓP ĐỀU
Câu 1.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
a
a
3a
3a
A .
B. .
C.
.
D.
.
2
4
4
2

Câu 2.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc
giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và
SA bằng:

.
17

D. arccos

85
.
17

330
.
110

B. arccos

33
11

C. arccos

3
.
11

D. arccos

33
22

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA = a 3 . M là trung điểm của cạnh


110
.
11

C. arctan

2 110
.
33

D. arctan

2 110
.
11

Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, AB = a, AC = a 2 và diện tích tam
giác SBC bằng
A.

a 330
.
33

a 2 33
. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
6
B.



tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC .
A.
Câu 8.

a 3
.
4

B.

a 3
.
2

C.

a 2
.
3

D.

a 6
.
2

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO bằng 600
và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai đường thẳng
CM và OA.


1
35

B. arcsin

34
35

C. arcsin

14
35

D. arcsin

3
7

Câu 10. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC)

bằng 600 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB. Góc giữa đường thẳng OA
với mặt phẳng (ACM bằng:
3
1
3
1
A. arcsin
.
B. arcsin

KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết AD = 2a ,
AB = BC = SA = a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính

khoảng cách h từ M đến mặt phẳng ( SCD ) .
A. h =

a 6
.
6

B. h =

a 6
.
3

C. h =

a 3
.
6

D. h =

a
.
3



Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

5|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian
A. ϕ = 60 0 .

B. ϕ = 900 .

C. ϕ = 300 .

D. ϕ = 450 .

Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và
SA = 2a . Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc ϕ giữa đường thẳng BM và mặt phẳng

( ABC ) .
A. cos ϕ =

21
.
7

B. cos ϕ =

5

A. h =

a 228
.
38

a3 3
. Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng ( SBC ) theo a.
3
B. h =

a 228
.
19

C. h =

2 5a
.
5

D. h =

2 5a
.
19

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc BAD = 1200 . Các mặt

phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khố i chóp S.ABCD là

Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a . Hai mặt phẳng ( SAB )

và ( SAC ) cùng vuông góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) là

a 2
. Tính
2

góc ϕ tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.
A. ϕ = 450 .

B. ϕ = 900 .

C. ϕ = 300 .

D. ϕ = 60 0 .

Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng

vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khố i chóp S.ABCD là

a3
. Tính góc ϕ giữa đường thẳng
3

SB và mặt phẳng ( SCD ) .
A. ϕ = 450 .

B. ϕ = 60 0 .


.
3

6|THBTN


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt
đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) là 450 , gọi G là trọng tâm tam giác SCD.

Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD.
A. h =

a 5
.
2

B. h =

a 5
.
3

C. h =

a 3
.


Câu 24. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt

phẳng ( SCD ) .
A. h =

a 21
.
7

B. h = a .

C. h =

a 3
.
4

D. h =

a 3
.
7

Câu 25. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam giác đều

cạnh a và mặt phẳng ( SBC ) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường
thẳng SA, BC .
A. h =

A.

5
.
5

B.

5
.
4

C.

a 5

5

.

D.

a 5

4

.

Câu 27. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và


và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) , đường thẳng SD tạo với mặt phẳng

( SBC )
A.

π
2

.

một góc 600 . Tính góc giữa ( SBD ) và ( ABCD ) .
B.

π
.
3

C.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

π
6

.

D.

π
.

a 3
.
3

D. h =

a 6
.
3

Câu 30. Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2 HB .

Góc giữa đường thẳng SC và

mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SA và BC theo a .
A. h =

42a
.
8

B. h =

42a
.
12

C. h =

17
.
34

D.

Câu 32. Cho tứ diện S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , SA = SB = SC =

1
.
34

a 3
, BC = a . Tính
2

cosin của góc giữa SA và ( ABC ) .
A.

3
.
3

B.

6
.
3

C.

A.

π
.
6

Câu 34. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A′B′C ′ có mặt đáy ABC

là tam giác vuông tại B có

AB = a, AC = a 3, A′B = 2a . Gọi M là trung điểm của AC . Khoảng cách từ M đến ( A′BC )

là:
A.

a 3
.
4

B.

a 3
.
2

C.

3a
.
2


Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 36. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có cạnh bên 2a , góc tạo bởi A′B và mặt đáy là 600
. Gọi M là trung điểm BC .Tính cosin góc tạo bởi 2 đường thẳng A′C và AM .
A.

2
.
4

B.

3
.
2

C.

3
.
6

D.

3
.
4

Câu 37. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có AB = 5a , AC = 6 a, BC = 7 a; A′A = 3a . Tính góc tạo bởi


5 3
.
6

B.

5 3
.
2

C.

3
.
6

D.

3
.
2

Câu 39. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có AB = 3a, AD = 5a , góc tạo bởi D′B và mặt đáy là
450 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và
B ′M

A.

a 661


C.

a 3
.
3

D.

a 2
.
3

Câu 41. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có AB = a, AD = a 2 , góc tạo bởi đường thẳng A′C

và mặt đáy là 600 .Gọi I là trung điểm của CD .Tính góc giữa hai đường thẳng BD′ và AI
A. arccos

3
.
6

B. arccos

3
.
3

C. arccos


Câu 43. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có AB = a; AD = 2 a; A′A = 4 a . Tính góc tạo bởi hai mặt
phẳng (C ′BD ) và mặt đáy.
A. arccos

21
.
22

21
21
.
C. arccos
.
42
21
LĂNG TRỤ XIÊN

B. arccos

D. arccos

21
.
12

Câu 44. Cho hình lăng trụ ABC . A′B′C ′ có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2 a . Hình chiếu vuông góc
của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng 600 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACC ′A′) theo a là:
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn


Câu 45. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a . Hình chiếu vuông góc
của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng 600 . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau AC và BB′ theo a là:
A.

15
a.
5

B.

2 15
a.
5

C.

2 21
a.
7

D.

39
a.
13

Câu 46. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a . Hình chiếu vuông góc

mặt đáy bằng 600 . Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng AC và BB′ . Khi đó cos ϕ :
A. cos ϕ =

1
.
4

B. cos ϕ =

1
.
3

C. cos ϕ =

2
.
5

D. cos ϕ =

2
.
3

Câu 48. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a . Hình chiếu vuông góc
của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng 600 . Tính góc giữa hai đường thẳng A′C và ( ABC ) là:
A.


B. arctan 2 .

C. arctan 4 .

D. arctan 2 .

Câu 50. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = 2 a

Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết
góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30 0 . Tính khoảng cách từ điểm C ′ đến ( ABB′A′) là:
A.

3 5
a.
2

B.

5
a.
5

B.

2 85
a.
17

D.

D.

5 29
a.
7
10 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Câu 52. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có mặt đáy ABC là tam giác đều cạnh AB = 2a . Hình chiếu
vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC , biết

AA′ = 3a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABB′A′) và ( ABC ) là:
A. arccos

2
.
3

1
B. arccos .
3

C. arccos

3
.

D.

2 21
a.
7

Câu 54. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , đỉnh S cách đều các điểm A, B, C

Biết AC = 2 a , BC = a , góc giữa đường thẳng SB và mp ( ABC ) bằng 600 . Tính khoảng cách
từ trung điểm M của SC đến mp ( SAB ) theo a .
A.

a 39
.
13

B.

3a 13
.
13

C.

a 39
.
26

D.



Câu 56. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a , I là trung điểm
của BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AI và OB .
1
1
A. arctan 5 .
B. arctan 5 .
C. arctan
.
D. arctan .
5
5
Câu 57. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên bằng a. Gọi
M , N lần lượt là trung điểm SB và CD . Tính góc giữa MN và mặt phẳng ( SAC ) .

A. arctan 2 .

B. arctan 2 .

C arctan 2 2 .

D. arctan

1
.
2

Câu 58. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên bằng 2a và

A ' A = A ' B = A ' C . Tính giá trị tan α với

2 5

B.

a 31
.
60

C.

a 60
.
31

D.

2a 5
.
31

Câu 60. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O . Góc giữa SB và mặt

phẳng ( SAC ) bằng 6 0 0 . Gọi M là trung điểm của SB . Tính khoảng cách giữa AM và CD .
A.

a
.
2

B.


2

Câu 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân AD //BC , AD = 2a , BC = CD = a .

Biết SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 3a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AD .
A.

B. 1 .

3.

C.

2

3
.
2

D.

3
.
4

Câu 63. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = CA = a , cạnh bên

SA ⊥ ( ABC ) , SA = a . Tính góc giữa SA và ( SBC ) .
A. arctan 2 2 .


5
D

6
A

7
B

8
C

I – ĐÁP ÁN 3.5
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B D A A C B A B A B D C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A
61 62 63
A D C

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

12 | T H B T N


BTN_7_3

1a 3 a 3
=
.
3 2
6

H

Theo bài SIG = 60 , suy ra
0

C

A
a 3
a
0
SG = GI .tan SIG =
tan 60 = .
G
6
2
 AG ∩ (SBC ) = I
Vì 
nên d ( A,(SBC )) = 3.d (G,(SBC )) .
AI
B

=3
GI

d ( A,(SBC )) = 3.d (G,(SBC )) =

1 1
a a3 3
GI
a 3
a2 3
Ta có: VS . ABC = . .a.a.sin 60 0. =
=
,
suy
ra
=
.
, SI =
S
∆SBC
3 2
2
24
cos 600
3
6
S
a3 3
z
3V
3a
Vậy d ( A;(SBC )) = S . ABC = 28 =
.

I

B

a 3

 a 
IA = 
;0;0 , IC = 0; ;0
 2 
 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

13 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

 IC , IS  .IA
a 3


a 
3a

IS = 
;0;  , suy ra d ( A,(SBC )) = 

thẳng đi qua A và song song với CG. GK là đường cao của tam giác GHS.
A.

Khi đó, d (GC , SA) = d (GC ,(SAH )) = GK . Ta có: AG =

(SA,( ABC )) = SAG = 60
d (GC , SA ) = GK =

0

a 3
;
3

⇒ SG = AG.tan 600 = a, GH = AM =

GS .GH
GS 2 + GH 2

=

a
, suy ra
2

a 5
.
5
z


B

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với G ≡ O , Ox ≡ GA,Oy//NC ,Oz ≡ GS (Hình vẽ).

a 3
  a 3 a 
 a 3 a 
Khi đó, A 
;0;0 , C −
; ;0 ; S (0;0; a ) , suy ra GS (0;0; a ) , GC −
; ;0 ,
 3
 6 2 
  6 2 
GC , AS  .GS
 a 3



a 5

AS −
;0; a suy ra d (SA, GC ) = 
=
GC , AS 
 3
5



(

D. arccos

85
.
17

S

)

suy ra BG,( ABCD ) = GBK .
Ta có: AO =

a 2
a 10
1
a 10
, SO =
, GK = SO =
,
2
2
3
6

2
a
a 34

M

C

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.


a 2 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox ≡ OC ,Oy ≡ OD,Oz ≡ OS . Khi đó, B 0; −
;0 ,

2

 a 2 a 2 a 10  
a 10 
 ; S 0;0;
 .
G 
;
;
 6
6
6  
2 
 a 2 2a 2 a 10  a 2
a 2
 =
;
;
1;4; 5 =


5
17
85
⇒ cos( BG,( ABCD )) =
⇒ tan( BG,( ABCD )) =
.
22
22
17

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc
giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

330
33
.
B. arccos
110
11
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình

A. arccos

C. arccos

3
.
11

6
3

2
a
a 34
a 11
Vì OK = OM nên OK = , suy ra BK =
⇒ BG =
.
3
3
6
3
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

15 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Xét tam giác BEG , có BE =
GE =

2a 2
,
3


A
O

 a 2 a 2 a 10 
 ;
G 
;
;
 6
6
6 

E

B

D
K

M

C


 a 2
a 10 
 ,
 , A −
S 0;0;
;0;0

=
AS 
;0;
1;0; 5 =
.k . Suy ra cos( BG , SA) =
.
2 
2
2
11
 2
n.k

(

)

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA = a 3 . M là trung điểm của cạnh BC.
Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:

2 11
110
2 110
2 110
.
B. arctan
.
C. arctan
.
D. arctan

=
2
3
3 SO 2 + OM 2
33

1
a
2 110
HK = CM = . Suy ra tan (SDM ),(SBC ) = tan( HK , EK ) = tan HKE =
3
6
11
[Cách 2] Phương pháp thể tích.

(

(

)

Đặt ϕ = (SDM ),(SBC ) suy ra sin ϕ =

)

d (C , (SDM ))
.
d (C , SM )

a

2

và SD = a 3 , suy ra S∆SDM
suy ra d (C , (SDM )) =

a 2 51
=
,
8

3VC .SDM
a 10
=
S SDM
51

d (C ,(SDM )) 2 10
=
d (C , SM )
51

suy ra sin ϕ =

I

H

K

A





 
 2  2

 4
4
2 
 a 2 3a 2  a 2
a 2
suy ra DM = 
;
;0 =
1;3;0) =
.x ,
(

 4
4
4
4
 a 2 a 2 a 10 

SM = 
;
;−
 4
4

 = 1;0; − 10 = .v , n = [ x , y ] = −6 5;2 5; −2 và
SC =  ;0;−
 2
2  2
2

=

(

)

(

k = [u, v ] =

(

)

(

)

10; 10; −1 . Suy ra cos ϕ =

n.k

=
n.k

.
33
11
33
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Kẻ AH vuông góc với BC tại H, kẻ AK vuông góc với SH tại K.
A.

D.

2a 330
.
33

Khi đó d ( A,(SBC )) = AK . Ta có BC = AB 2 + AC 2 = a 3 , và
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

17 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian
S∆SBC

S

a 2 33
a 11

33
[Cách 2] Phương pháp thể tích.
Ta có thể tích của khố i chóp S.ABC là
A
1
a 5 a 2 2 a 3 10
.
.
VS . ABC = SA.S∆ABC =
=
3
9
2
18

K

Suy ra d ( A,(SBC )) = AK =

Suy ra d ( A, (SBC )) =

C

H

3VS . ABC
a 330
.
=
33

 BC , BS 
33


Câu 7. Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân tại B,
0

BA = BC = a , góc giữa mp( SBC ) với mp( ABC ) bằng 60 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC .
a 3
a 3
a 2
a 6
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
2
3
2
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Vì tam giác SAC vuông tại A nên tâm đường ròn ngoại tiếp tam giác SAC là trung điểm I của
A.



Chuyên đề 7. Hình học không gian
S

S

I

I

J
H
D

E

B

A

O

C

A

B

B




2
2
2
3 
 BC , AI  .BA
 a 2 a 2 


a 3

BA −
;−
;0 . Suy ra d ( BC , AI ) = 
=
.

 BC , AI 
 2
2
2


[Cách 3] Phương pháp thể tích.
Kẻ IJ // BC , J thuộc cạnh SB.
Suy ra d ( AI , BC ) = d (BC ,( AIJ )) = d (S,( AIJ )) .

1
Ta có: Tam giác AIJ vuông tại J và AJ = SB = a ;

31
93
31
.
B. arctan
.
B. arctan
.
D. arctan
.
6
3
3
2
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi H là hình chiếu của M lên mp(OBC). Vì AM = 2BM nên OH = 2HB.
A. arctan

Suy ra (OA, CM ) = ( MH , CM ) = CMH . Đặt OB = x. Ta có OA = x 3, OC = x 3

OA2 +OC 2 = 6 x 2 = AC 2 = 6a 2 ⇒ x = a .
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

19 | T H B T N


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

O

Đặt OB = x.

Ta có OA = x 3, OC = x 3 ,

H

OA2 +OC 2 = 6 x 2 = AC 2 = 6a 2 ⇒ x = a .

B

 2a a 3 
1
a 3
 ,
. Khi đó, C (0; a 3;0), A 0;0; a 3 , M  ;0;
MH = OA =
 3
3
3
3 

(

)

 2a
a 3 
a

.
34
3

Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO bằng 600

và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(OCM) và (ABC).

1
34
B. arcsin
35
35
Hướng dẫn giải
[Phương pháp tự luận]
[Cách 1] Phương pháp thể tích
Gọi H là hình chiếu của M lên mp(OBC).
Vì AM = 2 BM nên OH = 2HB.
A. arcsin

14
C. arcsin
35
A

D. arcsin

3
7


BTN_7_3

Chuyên đề 7. Hình học không gian

Suy ra sin ϕ =

d (O , ( ABC ))
1
a3
. Ta có: VOABC = OA.OB .OC = . Tam giác ABC có
d (O , CM )
6
2

AB = BC = 2 a, AC = a 6 ⇒ S∆ABC =

a

2

15
3V
, ⇒ d (O , ( ABC )) = OABC
2
S∆ABC

Vì tam giác OCM vuông tại O nên d (O ,CM ) =

OM .OC

z
a
A
34
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với
Ox ≡ OB,Oy ≡ OC ,Oz ≡ OA .
Đặt OB = x. Ta có OA = x 3, OC = x 3 ,

OA2 +OC 2 = 6 x 2 = AC 2 = 6a 2 ⇒ x = a .
1
a 3
. Khi đó:
MH = OA =
3
3
 2a a 3 
,
C (0; a 3;0), A 0;0; a 3 , M  ;0;
3  . O
 3

(

M

)

C
y


)

(

)

BC = a; −a 3;0 = a 1; − 3;0 = a.u; BA = −a;0; a 3 = −a 1;0;− 3 = −av,

Suy ra cos ϕ =

n.k
=
n.k

)

3; 3 .

3
1
34
=
⇒ sin ϕ =
.
35
7. 15
35

Câu 10. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC)


Chuyên đề 7. Hình học không gian

A

5a
.
2
3a
CM = OC 2 + OM 2 = .
2
AM = OA2 + OM 2 =

AC = OC 2 + OA2 = 2 2a . Suy ra
S∆ACM =

a 2 14
.
2

1
a3 3
VA.OCM = OA.OC .OM =
.
6
6

Suy ra d (O , ( ACM )) =

3VO . ACM

C (0; a 2;0), A 0;0; a 6 , M  ;0;0 .
 2


(

)

 a

Suy ra, MA = − ;0; a 6  =
 2


a
a
1;0; −2 6 = − x ,
2
2
 a

MC = − ; a 2;0
 2

,
a
a
= − (1; −2 2;0) = − . y
2
2

n.k
=
n.k

1
2 7

.

Câu 11. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC )

bằng 600 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB . Tính góc giữa hai mặt phẳng
( AMC ) và ( ABC ) bằng:
3
32
.
B. arcsin
.
35
35
[Cách 1] Phương pháp thể tích
A. arcsin

C. arcsin

1
.
35

D. arcsin


2

I

14
.
2

1
a3 3
VA.OCM = OA.OC.OM =
. Suy ra
6
6

C

O
3VO. ACM
3
=a
= d ( B ,( ACM )) .
d (O, ( ACM )) =
S∆ACM
14

M

Kẻ OI vuông góc với AC tại I


sin ( ACM ), ( ABC ) =

(

)

C (0; a 2;0), A 0;0; a 6 ,
a

M  ;0;0  , B ( a;0;0 ) .
2

 a

Suy ra, MA =  − ;0; a 6 
 2

a
a
= − 1;0; −2 6 = − x,
2
2
 a

MC =  − ; a 2;0 
 2

a
a


(

)

(

x

)

(

)

BA = −a;0; a 6 = −a 1;0; − 6 = −a.u, BC = −a; a 2;0 = −a 1; − 2;0 = −a.v,

(

)

k = u, v  = 2 3; − 6; − 2 .
Gọi ϕ là góc giữa ( ABC ) với ( ACM ) , Suy ra cos ϕ =

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

n.k
n.k

=4


Tứ giác ABCM là hình vuông nên CM = a =

C. h =

a 3
.
6

1
AD
2

Suy ra tam giác ACD vuông tại C
Ta có CD ⊥ AC , CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ ( SAC )

D. h =
S

H

A

B

a
.
3

M

AC
a
2a
2a

a 6
a 6
⇒ d ( M , ( SCD ) ) =
.
3
6
C2: Phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có :
A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , D ( 0;2a;0 ) , S ( 0;0; a )
Suy ra AH =

z
S

Từ đó suy ra M ( 0; a;0 ) , C ( a; a;0 ) ⇒ SM = ( 0; a; − a )
SC = ( a; a; − a ) , SD = ( 0; 2 a; − a )

M

A

D

y


đường thẳng AB và OM.
a 5
a 3
a 15
a 3
.
B. h =
.
C. h =
.
D. h =
.
5
2
5
15
Hướng dẫn giải
Cách 1 : phương pháp dựng hình
Gọi N là điểm đố i xứng của C qua O. Khi đó OM //BN ( tính chất đường trung bình )
do đó OM // ( ABN ) . Suy ra d ( OM , AB ) = d ( OM , ( ABN ) ) = d ( O, ( ABN ) ) .
A. h =

Dựng OK ⊥ BN , OA ⊥ ( OBC ) ⇒ BN ⊥ OA ⇒ BN ⊥ AK
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

24 | T H B T N


BTN_7_3


1
5
a 15
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ OH =
2
2
2
OH
OK
OA 3a 3a
3a
5

H

a 15
.
5
Cách 2 : Phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Vậy d ( OM , AB ) =

C

O

N
K

a 2 15
 AB, OM  = 



  2 ; 2 ; 2  ,  AB, OM  = 2


 AB, OM  .OB a 15


=
Vậy d ( AB, OM ) =
.
5
 AB, OM 



O

C

y

M

B

x

B

C
Cách 2 : phương pháp tọa độ

x

B

D y

F

C

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có: A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0) , S ( 0;0; 2a )
a a 
 a a 
Suy ra F  ; ; a  , BF =  − ; ; a  , AC = ( a; a; 0 )
2 2 
 2 2 
Vậy BF . AC = 0 ⇒ BF ⊥ AC ⇒ ( BF , AC ) = 900 .
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

25 | T H B T N