ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ CÚC

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN
CHO LỚP HỆ ĐỘNG LỰC DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ CÚC

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN
CHO LỚP HỆ ĐỘNG LỰC DƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

Người hướng dẫn khoa học: TS. MAI VIẾT THUẬN

THÁI NGUYÊN - 2017




Một số ký hiệu và viết tắt

iii

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1. Hệ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Hệ tuyến tính dương có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương 11
2.1. Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính
dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11




Một số ký hiệu và viết tắt

R, R+

tập các số thực, số thực không âm tương ứng

Rn

không gian véctơ Euclide thực n−chiều
n

x

T

n

chuẩn Euclide của véctơ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R , x

2

2

x2i

=
i=1


= max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin (A)

= min{Reλ : λ ∈ λ(A)}
chuẩn phổ của ma trận A, A =

A

λmax (AT A)

A≥0

ma trận A nửa xác định dương, tức là Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A≥B

nghĩa là A − B ≥ 0

A>0

ma trận A xác định dương, tức là Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0

A

0

A là một ma trận không âm


hệ tuyến tính chuyển mạch dương. Gần đây, bài toán ổn định hữu hạn và ổn
định hóa được hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính chuyển mạch phân
thứ được nghiên cứu trong [13]. Chú ý rằng các kết quả trên nghiên cứu tính
ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ chuyển mạch và sử dụng định nghĩa

1


ổn định hữu hạn thời gian đối với lớp hệ chuyển mạch. Định nghĩa này khác
hoàn toàn đối với định nghĩa hữu hạn thời gian được đưa ra bởi Amato và
các cộng sự [2]. Do đó việc nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đối với
hệ động lực dương bằng cách sử dụng định nghĩa của Amato và các cộng sự
[2] là cần thiết và có ý nghĩa khoa học.
Vì những lý do phân tích ở trên, trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu
tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ và không
có trễ. Luận văn gồm có 3 chương với những nội dung chính sau:
Chương 1 "Một số kiến thức chuẩn bị". Trong chương này, chúng tôi giới
thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản về hệ tuyến tính dương có trễ
và không có trễ. Nội dung chính của chương này được chúng tôi tham khảo
trong các tài liệu [7], [8].
Chương 2 "Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương".
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tính ổn định hữu
hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương với cách tiếp cận sử dụng bài toán
quy hoạch tuyến tính và bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
Chương 3 "Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương
có trễ". Bằng cách sử dụng ý tưởng chọn hàm Lyapunov trong bài báo [14],
chúng tôi chứng minh được một số điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn
thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ hằng số. Cuối chương, chúng tôi
đưa ra hai ví dụ số minh họa cho kết quả lí thuyết.



1, . . . , m. Khi đó ma trận dương A được ký hiệu là A ≻ 0.

3


Ngoài ra, ta ký hiệu
Rn+ = {x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn : xi ≥ 0 (i = 1, . . . , n)},
Rn×m
= {A = (aij )n×m ∈ Rn×m : aij ≥ 0 (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m)}.
+
Định nghĩa 1.2 Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m được gọi là ma trận Metzler
nếu aij ≥ 0, ∀ i = j.
Định lí sau cho ta mối quan hệ về tính dương của ma trận mũ và ma trận
Metzler.
Định lý 1.1 [7] Cho A là một ma trận vuông cấp n. Khi đó A là ma trận
Metzler khi và chỉ khi eAt

0, với t > 0 nào đó.


−1 0 1




Ví dụ 1.1 Cho ma trận A =  0 2 1 .


0 0 2

x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t),

t ≥ 0,

(1.1a)

x(0) = x0 ,

(1.1b)

y(t) = Cx(t) + Du(t),

(1.1c)

trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển,
y(t) ∈ Rp là véc tơ quan sát, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×m là
các ma trận hằng số cho trước.
4


Định nghĩa 1.3 [7] Hệ (1.1a)-(1.1c) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ véc
tơ điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn+ và mọi véc tơ đầu vào u(t) ∈ Rm
+ ta đều có
x(t) ∈ Rn+ và y(t) ∈ Rp+ với mọi t ≥ 0.
Định lí sau cho ta một điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính (1.1)
là dương.
Định lý 1.2 [7] Hệ điều khiển tuyến tính (1.1) là dương nếu và chỉ nếu ma
p×m

trận đơn vị In ). Ta thấy quỹ đạo của véc tơ trạng thái x(t) không vượt qua
Rn+ chỉ khi x(0)
˙
= Aei ≥ 0. Điều này suy ra aij ≥ 0 với mọi i = j. Suy ra
A là ma trận Metzler. Từ các phương trình (1.1a), (1.1b), cho x0 = 0, ta có
n×m
x(0)
˙
= Bu(0) ≥ 0. Vì u(0) ∈ Rm
.
+ có thể được chọn tùy ý nên ta có B ∈ R+

Từ phương trình (1.1c) với u(0) = 0 ta có y(0) = Cx0 ≥ 0. Vì x0 ≥ 0 có
p×n
thể được chọn tùy ý nên suy ra C ∈ R+
. Một cách hoàn toàn tương tự, ta

cho x0 = 0. Từ phương trình (1.1c) ta thu được y(0) = Du(0) ≥ 0. Lại vì
u(0) ≥ 0 có thể chọn tùy ý nên ta có D ∈ Rp×m
+ .
Hệ quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2.
Hệ quả 1.1 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính

5




 x(t)
˙


(1.4b)

y(t) = Cx(t) + Du(t),

trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển,
y(t) ∈ Rp là véc tơ quan sát, A0 , Ak (k = 1, . . . , q) ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈
Rp×n , D ∈ Rp×m là các ma trận hằng số cho trước. Các hằng số không âm
dk (k = 1, . . . , q) là độ trễ. Hàm điều kiện ban đầu cho hệ (1.4a) là
x(t) = x0 (t),

t ∈ [−d, 0], d = max {dk },
1≤k≤q

(1.5)

ở đó x0 (t) ∈ C([a, b], Rn ).
Định nghĩa 1.4 [8] Hệ (1.4) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ điều kiện
n
ban đầu x0 (t) ∈ Rn+ và mọi véc tơ đầu vào u(t) ∈ Rm
+ ta đều có x(t) ∈ R+ và

y(t) ∈ Rp+ với mọi t ≥ 0.
Định lí sau cho ta một điều kiện cần và đủ cho tính dương của hệ (1.4).
Định lý 1.3 [8] Hệ điều khiển tuyến tính (1.4) là dương nếu và chỉ nếu ma
n×m
trận A0 là ma trận Metzler, Ak ∈ Rn×n
, C ∈ Rp×n
+ (k = 1, . . . , q), B ∈ R+
+

có B ∈ Rn×m
. Việc chứng minh C ∈ Rp×n
và D ∈ Rp×m
được thực hiện hoàn
+
+
+
toàn tương tự như Định lí 1.2.
Điều kiện đủ: Với t ∈ [0, d] nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.4a),
(1.5) cho bởi công thức sau
t

x(t) = e

A0 t

x0 (t) +

q

e
0

A0 (t−τ )

Ak x0 (τ − dk ) + Bu(τ ) dτ.

(1.7)

k=1


trong đó y = (y1 , y2 , ..., ym )T ∈ Rm , A0 , A1 , ..., Am ∈ Rn×n là các ma trận đối
xứng.
Các sự kiện tiêu biểu trong sự phát triển của LMI:
• LMI xuất hiện đầu tiên năm 1890, khi Luapunov xuất bản các công
trình về lí thuyết Lyapunov. Ông chỉ ra rằng phương trình vi phân
.

x(t) = Ax(t) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một ma trận P đối xứng
xác định dương sao cho AT P + P A < 0. Bất đằng thức trên là một dạng
đặc biệt của LMI, và có thể giải thích một cách tường minh thông qua
các bất phương trình tuyến tính.
• Khoảng năm 1940, Lur’e, Postnikov và nhiều nhà khoa học Liên Xô
khác lần đầu tiên áp dụng các phương pháp của Lyapunov cho một số
bài toán thực tế trong điều khiển máy móc, đặc biệt, bài toán ổn định
của hệ điều khiển với một nhiễu phi tuyến. Các kết quả về ổn định của
họ có dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính và được giải "bằng tay".
Tất nhiên, các kết quả này chỉ làm được với hệ có kích cỡ nhỏ (bậc 2
hoặc 3).
• Đầu thập niên 60 (thế kỉ 20), Yakubovich, Popvo, Kalman và nhiều nhà
khoa học khác đưa ra một cách tiếp cận khác trong việc giải các LMI,
phương pháp hình học. Kĩ thuật này cho phép giải các hệ có kích cỡ lớn
hơn, tuy nhiên cũng chỉ làm được với hệ không có nhiều hơn một nhiễu
phi tuyến. Cuối những năm 60, các nhà khoa học nhận thấy các LMI
tương tự có thể được giải thông qua phương trình vi phân Ricatti.
8


• Những năm đầu thập niên 80 (thế kỉ 20), nhiều LMI có thể giải được
bằng máy tính thông qua bài toán quy hoạch.

lồi hóa với những hạn chế LMI. Nhiều vấn đề tối ưu hóa trong lí thuyết điều
khiển, hệ thống nhận dạng, và xử lí tín hiệu có thể được xây dựng bằng cách
sử dụng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Để kiểm tra LMI thực thi
hay không, hộp công cụ LMI trong Matlab có một vai trò quan trọng. Đặc
biệt, cùng với phần mềm này, các công cụ thiết kế điều khiển có thể sử dụng
một cách đơn giản mà không cần phải có kiến thức nhất định về LMI hoặc
thuật toán để giải LMI.

10


Chương 2
Tính ổn định hữu hạn thời gian cho
lớp hệ tuyến tính dương
2.1.

Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ
tuyến tính dương

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính:


 x(t)
˙
= Ax(t) t ≥ 0,

(2.1)


 x(0) = x0 ,

c1 M ≤ βc2 e−αTf ,

(2.2b)

ở đó
β=

min

i∈{1,2,...,n}

M=n λ

λi ,

∞.

Khi đó hệ (2.1) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với
(c1 , c2 , Tf ).
Chứng minh. Vì A là ma trận Metzler nên theo Định lí 1.3, hệ (2.1) là một
hệ dương. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh hệ (2.1) là ổn định hữu hạn thời gian
tương ứng với (c1 , c2 , Tf ). Đặt (−αIn + A)T λ = −r. Khi đó r ≻ 0. Ta xét
hàm không âm sau
V (x(t)) = λT x(t).

(2.3)

Lấy đạo hàm của hàm V (x(t)) theo thời gian, ta thu được đánh giá sau
V˙ (x(t)) − αV (x(t)) = −αλT x(t) + λT x(t)
˙

∞.

(2.7)

Kết hợp các điều kiện (2.6), (2.7) và (2.2b), ta thu được
x(t)

∞

< c2 ,

∀t ∈ [0, Tf ].

Do đó hệ (2.1) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ). Định
lí được chứng minh hoàn toàn.

Nhận xét 2.1 Khi cố định số α, điều kiện (2.2a) là một bài toán qui hoạch
tuyến tính theo λ. Điều kiện này có thể giải được bởi hộp công cụ lập trình
tuyến tính tối ưu (linear programming optimal toolbox) trong tài liệu [12].
Nhận xét 2.2 Cho các số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ). Từ Định lí 2.1 và Nhận
xét 2.1, ta có thủ tục sau để xét tính ổn định hữu hạn thời gian tương ứng
với (c1 , c2 , Tf ) của hệ (2.1):
Bước 1. Kiểm tra xem A có là một ma trận Metzler.
Bước 2. Cho trước số dương α. Ta giải bài toán qui hoạch tuyến tính (2.2a)
T

để tìm được véc tơ λ = (λ1 , . . . , λn ) ≻ 0.
Bước 3. Tính β và M.
Bước 4. Kiểm tra điều kiện (2.2b). Nếu điều kiện này thỏa mãn thì sang
Bước 5. Nếu trái lại thì quay trở lại Bước 2.


λmax (P ) 2
c1 ≤ c22 e−αTf ,
λmin (P )

(2.8b)

Khi đó hệ (2.1) là dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ).
Chứng minh. Vì A là ma trận Metzler nên hệ (2.1) là hệ dương theo kết
quả của Định lí 1.3. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh hệ (2.1) là ổn định hữu hạn
thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ). Xét hàm Lyapunov:
V (x(t)) = xT (t)P x(t).
Lấy đạo hàm của hàm V (x(t)) theo t dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ (2.1),
ta thu được
V˙ (x(t)) − αV (x(t)) ≤ xT (t) P A + AT P − αP x(t).

(2.9)

Từ điều kiện (2.8a), ta có
V˙ (x(t)) − αV (x(t)) ≤ 0,

(2.10)

∀t ≥ 0.

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2.10) với e−αt, và chú ý rằng

d
dt



∀t ∈ [0, Tf ].

< c2 ,

Do đó hệ (2.1) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với
(c1 , c2 , Tf ).

Nhận xét 2.3 Cho các số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ). Từ Định lí 2.2, ta có thủ
tục sau để xét tính ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) của
hệ (2.1):
Bước 1. Kiểm tra xem A có là một ma trận Metzler.
Bước 2. Cho trước số dương α. Ta giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính
(2.8a) để tìm ma trận P .
Bước 3. Tính λmin (P ), λmax (P ).
Bước 4. Kiểm tra điều kiện (2.8b). Nếu điều kiện này thỏa mãn thì sang
Bước 5. Nếu trái lại thì quay trở lại Bước 2.
Bước 5. Kết luận hệ (2.1) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương
ứng với (c1 , c2 , Tf ).

2.2.

Ví dụ số

Ví dụ 2.1 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính


 x(t)
˙
= Ax(t) t ≥ 0,


 x(0) = x0 ,

ở đó x(t) ∈ R5 và ma trận


−10 2
1
2
3




 1 −15 1
5
2




A= 2
1 −8 2
1 .




 1
2

0.1032 0.3555 0.3208





0.1032


0.3555 .


0.3208

0.3241

Vậy hệ (2.15) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với
(0.1, 1.8, 2).
16


Chương 3
Tính ổn định hữu hạn thời gian cho
lớp hệ tuyến tính dương có trễ
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian
cho lớp hệ dương có trễ. Bằng cách sử dụng ý tưởng của bài báo [14] trong
việc xây dựng một hàm không âm, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ mới
cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ dương có trễ. Điều kiện này
được đưa ra dưới dạng bài toán quy hoạch tuyến tính. Ngoài ra, với cách tiếp
cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii, chúng tôi cũng đưa ra

ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) nếu với mọi điều kiện
ban đầu φ(t) ∈ C([a, b], Rn ) thỏa mãn φ := max

t∈[−τ,0]

x(t)

∞

φ(t)

∞

≤ c1 ta đều có

< c2 , ∀t ∈ [0, Tf ].

Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính dương và ổn định hữu hạn
thời gian cho lớp hệ tuyến tính có trễ (3.1).
Định lý 3.1 Cho A là một ma trận Metzler, D ∈ Rn×n
+ , các số dương
T

Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ). Giả sử tồn tại một véc tơ λ = (λ1 , . . . , λn ) ≻ 0 và một số
dương α sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn
−αIn + A + e−ατ D

T

(3.2a)

Khi đó hệ (3.1) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với
(c1 , c2 , Tf ).
Chứng minh. Vì A là ma trận Metzler và ma trận D

0 nên theo Định lí

1.3, hệ (3.1) là một hệ dương. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh hệ (3.1) là ổn định
T

hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ). Đặt (−αIn + A + e−ατ D) λ =
−r. Khi đó r ≻ 0. Ta xét hàm không âm sau
t

eα(t−s−τ ) λT Dx(s)ds,

T

V (xt ) = λ x(t) +
t−τ

ở đó xt ∈ C([−τ, 0], Rn ).
18

(3.3)