ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ MỸ HẠNH

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE
y 2 = Ax4 + B

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ MỸ HẠNH

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE
y 2 = Ax4 + B

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:
PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH


2.3 Một số ứng dụng của phương trình Diophante . . . . . .

21
21
26
37

Kết luận
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44
45

2


3

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành đến PGS. TS. Nông
Quốc Chinh đã hướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này. Khi bắt
đầu nhận đề tài thực sự tôi cảm nhận đề tài mang nhiều nội dung mới
mẻ. Hơn nữa với vốn kiến thức ít ỏi cùng với kinh nghiệm làm đề tài
không nhiều nên tôi chưa thực sự tự tin để tiếp cận đề tài. Mặc dù rất
bận rộn trong công việc nhưng Thầy vẫn dành nhiều thời gian và tâm
huyết trong việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tôi trong suốt thời
gian tôi thực hiện đề tài. Trong quá trình tiếp cận đề tài đến quá trình
hoàn thiện luận văn Thầy luôn tận tình chỉ bảo và tạo điều kiện tốt
nhất cho tôi hoàn thành luận văn. Cho đến bây giờ luận văn thạc sĩ của
tôi đã được hoàn thành, xin cảm ơn Thầy đã đôn đốc nhắc nhở tôi.

các phương trình Thue. Trong trường hợp này, phương pháp của Baker
hoặc Thue-Siegel đã được sử dụng. Tương tự, có một số cách tiếp cận
cơ bản để giải các phương trình này, chẳng hạn như sử dụng kí hiệu
Legendre và rút gọn theo mod d. Tuy nhiên, hạn chế của các phương
pháp trên là đòi hỏi các số hạng hằng là rất bé, chỉ thuộc trong tập
{±1, ±2}.
Gần đây trong các công trình của [AD] và [TVW] bằng cách sử dụng
liên phân số và các số hạng của dãy Lucas đã đưa ra cấu trúc nghiệm
của các phương trình có dạng y 2 = Ax4 + B. Một điểm đặc biệt của kết
√
quả của [AD] là giải quyết được bài toán với điều kiện |B| < A. Mục
đích của luận văn là trình bày lại các kết quả [AD] và [TVW] và ứng
dụng vào một số bài toán sơ cấp.
Luận văn gồm hai chương. Chương 1 chúng tôi trình bày về liên phân
số và các tính chất tốt của dãy Lucas. Đặc biệt chúng tôi nhắc lại nội
dụng của Định lý Euler về liên phân số dùng cho các chứng minh sau.
Chương hai gồm ba phần. Phần đầu tiên chúng tôi trình bày lại các
kết quả của [TVW] về cấu trúc nghiệm của phương trình x2 = Ay 4 + 1


5

thể hiện trong Định lý 2.1.8. Phần thứ hai chúng tôi trình bày các kết
quả của [AD] về cấu trúc nghiệm của phương trình y 2 = Ax4 + B thể
hiện trong các Định lý 2.2.5 và 2.2.9. Phần cuối của chương này chúng
tôi trình bày lại lời giải của phương trình x2 = 2y 4 − 1 và một số ứng
dụng của phương trình vào một số bài toán sơ cấp.


Chương 1

i=0 và {bi }i=0 .

(ii) Dãy các biểu thức u0 = a0 , u1 = a0 +
giản phân của hai dãy số {ai }∞
i=0

b0

b1
a1 +
a2
∞
và {bi }i=0 .

, . . . , được gọi là các

(iii) Phần tử un xác định như trên được gọi là giản phân thứ n của
∞
hai dãy số {ai }∞
i=0 và {bi }i=0 .

6


7

1.1.2 Chú ý. (i) Nếu n là hữu hạn và b0 = b1 = . . . = bn = 1 ta kí hiệu
liên phân số của hai dãy số {ai }ni=0 và {bi }ni=0 là [a0 ; a1 , . . . , an ] .
(ii) Nếu a0 ∈ Z và a1 , ..., an là các số nguyên dương thì ta nói [a0 ; a1 , ..., an ]
là một liên phân số hữu hạn có độ dài n.

bn
un bởi an +
ta thu được un+1 . Theo định nghĩa ta có pn , qn không
an+1
phụ thuộc vào bn và an+1 nên từ công thức truy hồi
pn
an pn−1 + bn−1 pn−2
=
qn
an qn−1 + bn−1 qn−2
ta có

bn
)pn−1 + bn−1 pn−2
an+1
=
bn
(an +
)qn−1 + bn−1 qn−2
an+1
(an +

un+1


8

(an an+1 + bn )pn−1 + an+1 bn−1 pn−2
(an an+1 + bn )qn−1 + an+1 bn−1 qn−2
an+1 (an pn−1 + bn−1 pn−2 ) + bn pn−1

Khi đó các giản phân của {ai }ni=0 và {bi }ni=0 là
1
u0 = a0 = [a0 ], u1 = a0 +
= [a0 ; a1 ], . . . , un = ... = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ].
a1


9

(iii) Từ thuật toán trên ta cũng thu được các dãy truy hồi là
p0 = a0 , p1 = a1 p0 + 1, . . . , pn = an pn−1 + pn−2
và
q0 = 1, q1 = a1 , . . . , qn = an qn−1 + qn−2 .
Theo Bổ đề 1.1.3 ta có hệ quả sau:
1.1.5 Hệ quả. Với các kí hiệu và giả thiết như trong Chú ý 1.1.4 ta có
pi
ui = , với mọi i = 0, 1, . . . , n.
qi
Từ các Bổ đề và Hệ quả trên ta có tính chất quan trọng của số hữu
tỷ thể hiện trong mệnh đề sau:
1.1.6 Mệnh đề. Mỗi số hữu tỷ đều được biểu diễn dưới dạng một liên
phân số hữu hạn.
Chứng minh. Cho a/b là một số hữu tỷ với b > 0. Theo thuật toán tìm
ước chung lớn nhất và công thức giản phân ta có
a
1
= a0 +
b
b
r1

1
an

Vậy mọi số hữu tỷ a/b đều viết được thành một liên phân số hữu hạn
là a/b = [a0 ; a1 , . . . , an ].


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full