Lời Cám Ơn
Trong thời gian thực hiện, dưới sự hướng dẫn tận tình của giáo viên
hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, em đã có được một
quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc để hoàn thành đề tài này.
Kết quả thu hoạch được không chỉ là do nỗ lực cá nhân em mà còn có sự giúp
đỡ của quý thầy cô và các bạn.
Em xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc với các thầy giáo,
cô giáo trong khoa- Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc Ninh luôn tạo điều kiện để
em thực hiện đề tài này.
Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn trân thành đến tới Th.s
Nguyễn Minh Yến – Giảng viên Khoa của Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc
Ninh, cô đã hướng dẫn và luôn động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu đề
tài.
Do thời gian nghiên cứu đề tài chưa được nhiều, kinh nghiệm cũng
như trình độ hiểu biết có hạn nên đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì thế,
em kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và
các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Em xin trân thành cảm ơn!
Bắc Ninh, ngày 11 tháng 11 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Ngô Thúy Hằng


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trên thế giới, từ thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều phương pháp dạy học
học tích cực. Cụm từ “ phương pháp dạy học tích cực ” để chỉ những phương
pháp dạy học phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của người học nhằm
hướng tới việc hoạt động hóa, tính tích cực hóa hoạt động nhận thức của người
học, hay nói cách khác là vận dụng một số phương pháp dạy học nhằm phát huy

bài toán cực trị hình học trong chương trình THCS”.
2. Mục đích nghiên cứu
Qua nghiên cứu về lý luận và thực tiễn, tôi chọn “Vận dụng một số
phương pháp dạy học tích cực để rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hình
học trong chương trình THCS” đề nhằm hướng tới hoạt động hóa, tích cực hóa


hoạt động nhận thức của người học, hay nói cách khác là phát huy tính tích cực
nhận thức của người học. Và để hỗ trợ cho việc giảng dạy của tôi sau này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thế nào là phương pháp dạy học tích cực?
Các kĩ năng giải các bài toán cực trị hình học thuộc chương trình
Toán?
Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực như thế nào để rèn
luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hình học trong chương trình THCS.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học và
lý huận dạy học bộ môn Toán).
Nghiên cứu các công trình khoa học có các vấn đề liên quan trực tiếp
đến đề tài.
Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, bài viết, sách giáo viên, sách
nâng cao liên quan tới đề tài này.
4.2. Phương pháp phỏng vấn
4.3. Phương pháp quan sát
4.4. Phương pháp trò chuyện
5. Cấu trúc tiểu luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và mục lục, tiểu luận
được trình bày trong 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học tích cực và kĩ

trong những hoạt động chủ động chủ thể. Học tập là hoạt động chủ đạo của lứa
tuổi đi học. Tính tích cực trong học tập – về thực chất – là tính tích cực nhận
thức, đặc trưng ở khát vọng hiểu biết, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá
trình chiếm lĩnh tri thức.
Tính tích cực trong nhận thức trong học tập liên quan trước hết với
động cơ học tập. Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú là tiền đề của tự giác.
Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lí tạo nên tính tích cực. Tính tích cực sản
sinh nếp tư duy độc lập. Suy nghĩ độc lập là mầm móng của sáng tạo. Ngược lại,
phong cách học tập tích cực độc lập sáng tạo sẽ phát triển tự giác, hứng thú bồi
dưỡng động cơ học tập.
Tính tích cực biểu hiện ở khẩu hiệu như: hăng hái trả lời các câu hỏi
của giáo viên, bổ sung các câu trả lời của bạn, thích phát biểu ý kiến của mình
trước đặt vấn đề nêu ra; hay nêu thắc mắc đòi hỏi giải tích cặn kẽ những vấn đề
chưa rõ; chủ động vận dụng kiến thức kĩ năng đã học để nhận thức vấn đề mới;
tập trung chú ý vào vấn đề đang học kiên trì hoàn thành các bài tập, không nản
chí trước những tình huống khó khăn…
G.I.Sukina đã chia tính tích cực ra làm ba cấp độ:


Tính tích cực bắt chước tái hiện: Xuất hiện do tác động kích thích từ
bên ngoài (yêu cầu của giáo viên), trong trường hợp này, người học thao tác trên
đối tượng, bắt chước theo mẫu hoặc mô hình của giáo viên, nhằm chuyển đối
tượng từ ngoài vào trong theo cơ chế: “Hoạt động bên ngoài và bên trong có
cùng cấu trúc”. Nhờ đó, kinh nghiệm hoạt động được tích lũy thông qua kinh
nghiệm của người khác.
Tính tích cực tìm tòi: đi liền với quá trình hình thành khái niệm, giải
quyết các tình huống nhận thức, tìm tòi các phương thức hành động trên cơ sở
có tính tự giác, có tham gia của động cơ, nhu cầu, hứng thú và ý chí của học
sinh. Loại này xuất hiện không chỉ do yêu cầu của giáo viên mà còn hoàn toàn
tự phát trong quá trình nhận thức. Nó tồn tại không chỉ ở dạng trạng thái, cảm

dạy học nhằm phát huy tính tích cực của học sinh đã được nêu ra. Những
nguyên tắc quan trọng nhất trong số đó là:
Việc nắm vững kiến thức lý thuyết phải chiếm ưu thế.


Nguyên tắc của việc dạy học phải được tiến hành ở mức độ khó
khăn tăng dần.
Nguyên tắc đòi hỏi nhịp độ khẩn trương của công tác học tập.
Nguyên tắc đòi hỏi chăm lo tích cực đến sự phát triển của mọi học
sinh.
Nguyên tắc làm cho học sinh ý thức được bản thân quá trình học.
1.2. Những dấu hiệu đặc trưng của phương pháp tích cực
1.2.1. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh
Trong phương pháp tích cực, người học - đối tượng của hoạt động
“dạy”, đồng thời là chủ thể của “hoạt động học” - được cuốn hút vào các hoạt
động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá
những điều mình chưa rõ chứ không phải thụ động tiếp thu những tru thức đã
được giáo viên sắp đặt. Được đặt vào những tình huống thực tế, người học trực
tiếp quan sát, thảo luận làm thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt ra theo hướng suy
nghĩ của riêng mình, từ đó vừa nắm được kiến thức mới, vừa nắm được phương
pháp “làm ra” kiến thức, kĩ năng đó, không rập khuôn theo những khuôn mẫu
sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo.
Dạy học theo cách này thì giáo viên không chỉ đơn giản truyền đạt tri
thức mà còn hướng dẫn hành động. Chương trình dạy học phải giúp cho từng
học sinh biết hành động và tích cực tham gia các chương trình hành động của
cộng đồng.
1.2.2. Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học
Phương pháp tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho
học sinh không chỉ là một biện pháp âng cao hiệu quả dạy học mà còn là một
mục tiêu dạy học.

vốn hiểu biết và kinh nghiệm của giáo viên.
Trong nhà trường, phương pháp học tập theo nhóm được tổ chức ở cấp
nhóm, tổ, lớp hoặc trường. Được sử dụng phổ biến trong dạy học là hoạt động
hợp tác trong nhóm nhỏ 4 – 6 người. Học tập theo nhóm làm tăng hiệu quả học
tập, nhất là lúc giải quyết những vấn đề gây cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu
phối hợp giữa cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung.
Trong hoạt động theo nhóm nhỏ sẽ không thể có hiện tượng ỷ lại; tính
cách năng lực của mỗi thành vuên được bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý
thức tổ chức, tinh thần tương trợ.
Mô hình hợp tác trong xã hội đưa vào đời sống học đường sẽ làm cho
các thành viên quan tâm dần với sự phân công hợp tác trong lao động xã hội.
Trong nền kinh tế thị trường đã xuất hiện nhu cầu hợp tác xuyên quốc gia, liên
quốc gia, năng lực hợp tác phải trở thành một mục tiêu giáo dục mà nhà trường
phải chuẩn bị cho học sinh.
1.2.4. Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò
Trong hoạt động học, việc dánh giá học sinh không chỉ nhằm mục đích
nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động học của trò mà còn đồng thời tạo
điều kiện nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của thầy.
Trước đây quan niệm giáo viên giữ độc quyền đánh giá học sinh.
Trong phương pháp tích cực, giáo viên phải hướng dẫn học sinh phát triển kĩ
năng tự đánh giá tự điều chỉnh cách học. Liên quan điều này, giáo viên cần tạo
điều kiện thuận lời để học sinh được tự đánh giá lẫn nhau. Tự đánh giá đúng và
điều chỉnh hoạt động kịp thời là một năng lực rất cần cho sự thành đạt trong
cuộc sống mà nhà trường phải trang bị cho học sinh.
Theo hướng phát triển của phương pháp tích cực để đào tạo những con
người năng động, sớm thích nghi với đời sống xã hội thì việc kiểm tra, đánh giá
không thể dừng lại ở yêu cầu tái hiện các kiến thức, lặp lại các kĩ năng đã học,
phải khuyến khích trí thông minh, óc sáng tạo trong việc giải quyết những tình
huống thực tế.
Với sự trợ giúp của các thiết bị kĩ thuật, kiểm tra đánh giá sẽ không

1.3.1.3. Hạn chế
Hạn chế lớn nhất của phương pháp vấn đáp là rất khó soạn thảo và sử
dụng hệ thống câu hỏi gợi mở và dẫn dắt học sinh theo một chủ đề nhất quán. Vì
vậy, đòi hỏi giáo viên phải có sự chuẩn bị rất công phu, nếu không, kiến thức mà
học sinh thu nhận được qua trao đổi sẽ thiếu tính hệ thống, tàn mạn, thậm chí là
vụn vặt.
1.3.1.4. Một số lưu ý
Phương pháp vấn đáp thường được sử dụng phối hợp với các phương
pháp khác nhằm làm cho học sinh tích cực, hứng thú và học tập hiệu quả hơn.
Khi soạn các câu hỏi, giáo viên cần lưu ý các yêu cầu sau đây:
Câu hỏi phải có nội dung chính xác, rõ ràng, sát với mục đích, yêu cầu
của bài học, không làm cho người học có thể hiểu theo nhiều cách khác nhau.
Câu hỏi phải sát với từng loại đối tượng học sinh. Nghĩa là phải có nhiều câu hỏi
ở các mức độ khác nhau, không quá dễ và cũng không quá khó. Giáo viên có
kinh nghiệm thường tỏ ra cho học sinh thấy các câu hỏi đều có tầm quan trọng
và độ khó như nhau (để học sinh yếu có thể trả lời được những câu hỏi vừa sức
mà không có cảm giác tự ti rằng mình chỉ có thể trả lời những câu hỏi dễ mà
không quan trọng).
1.3.2. Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.3.2.1. Quan niệm
Theo I.IA.Lecne: “Dạy học giải quyết vấn đề là dạy học trong đó học
sinh tham gia một cách tích cực vào quá trình giải quyết các vấn đề, các bài toán


có vấn đề… được xây dựng một cách có dụng ý trong các chương trình dạy học
và các tài liệu dạy học”.
1.3.2.2. Đặc điểm và mức độ của phương pháp dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc điểm sau:
Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là

Mức 4
HS
HS
HS
HS
GV-HS

Vai
Trò
Người
Học

Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào
việc dạy học giải bài tập toán.
Khi đặt vấn đề dạy học bài tập theo hướng phát hiện và giải quyết
vấn đề, trước hết phải đề cập đến nội dung bài toán đó. Bài toán đặt ra phải thực
sự gợi vấn đề, tức là kêu gọi học sinh những khó khăn trong tư duy hoặc hành
động chứ không phải những bài toán chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng
một quy tắc có tính chất thuật toán. Điều này cũng có tính chất tương đối, bởi lẽ
có bài toán đối với người này là vấn đề nhưng với người khác thì không.
Tìm hiểu bài toán phát hiện vấn đề

Khám phá

Chọn phương pháp và chiến lược

Giải

Đánh giá kết quả phát triển bài toán
Sơ đồ 1: Các bước giải quyết vấn đề trong môn Toán

thành nhiệm vụ học tập hoặc phấn đấu vì một mục đích chung.
1.3.3.2. Đặc điểm của phương pháp dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ
Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ có một số đặc điểm cơ bản sau:
Tất cả các thành viên trong nhóm phải nhận ra rằng các vấn đề mà
nhóm giải quyết là vấn đề của cả nhóm mà sự thành công hay thất bại đều
liên quan trực tiếp đến mọi thành viên trong nhóm.
Một số thời điểm có thể sử dụng phương pháp dạy học hợp tác theo
nhóm nhỏ:
Kiểm tra bài tập về nhà
Dạy bài mới
Bài ôn tập
1.3.3.3. Quy trình thực hiện
Bước 1: Làm việc chung cả lớp
Nêu vấn đề, xác định nhiệm vụ nhận thức
Tổ chức các nhóm, giao nhiệm vụ cho các nhóm
Hướng dẫn cách làm việc theo nhóm.
Bước 2: Làm việc theo nhóm


Phân công trong nhóm, từng cá nhân làm việc độc lập
Trao đổi ý kiến, thảo luận trong nhóm
Cứ đại diện trình bày kết quả làm việc của nhóm.
Bước 3: Thảo luận, tổng kết trước toàn lớp
Các nhóm lần lượt báo cáo các kết quả
Thảo luận chung
Giáo viên tổng kết, đặt vấn đề cho bài tiếp theo hoặc vấn đề
tiếp theo.
1.3.3.4. Ưu điểm
Học sinh được học cách công tác trên nhiều phương diện.
Mọi học sinh đều được tham gia, học sinh chia sẻ kinh nghiệm, học hỏi

lòng ham mê học tập của học sinh. Đó chính là động lực của quá trình dạy học.
Hợp tác với các bạn trong quá trình học tập, tự đánh giá, tự điều chỉnh
vốn tri thức của bản thân là cơ sở hình thành phương pháp tự học. Đó là động
lực thúc đẩy sự phát triển bền vững của mỗi cá nhân trong cuộc sống.


Mối liên hệ giữa phương pháp khám phá và dạy học nêu vấn đề
Bảng 2: Mối liên hệ giữa phương pháp khám phá và dạy học nêu vấn đề
Dạy học nêu vấn đề
Dạy học – khám phá
Tình huống có vấn đề
Tình huống có vấn đề
- Vấn đề học tập:
- Vấn đề học tập:
+ Vấn đề lớn có nội dung rộng
+ Vấn đề nhỏ
+ Phát hiện vấn đề là do GV
HS và + Giáo viên đưa ra vấn đề
HS
bản thân HS
- Hình thành giả thuyết
- Hình thành giả thuyết
- Chứng minh giả thuyết
- Giải quyết vấn đề:
+ Giải quyết các vấn đề nhỏ đến vấn
+ Giải quyết vấn đề nhỏ
đề lớn
+ GV bao quát lớp
+ GV diễn giảng đến HS, đàm thoại
+ HS hợp tác theo nhóm, giữa các

xuyên trong quá trình học tập, là phương thúc để học sinh tiếp cận với kiểu dạy
học hình thành và giải quyết các vấn đề có nội dung khái quát rộng hơn.
Đối thoại trò trò, trò thầy đã tạo ra bầu không khí học tập sôi nổi, tích
cực và góp phần hình thành mối quan hệ giao tiếp trong cộng đồng xã hội.


1.3.4.5. Khó khăn
Để áp dụng được phương pháp này học sinh phải có kiến thức, kĩ năng
cần thiết để thực hiện các nhiệm vụ mang tính khám phá, tìm ra tri thức mới.
Đối tượng học sinh trung bình, yếu sẽ gặp khó khăn khi học theo phương pháp
này.
Việc triển khai dạy học khám phá đòi hỏi người giáo viên phải có kiến
thức, nghiệp vụ vững vàng, có sự chuẩn bị bài giảng công phu.
Trong quá trình khám phá của học sinh thường này sinh những tình
huống, những khám phá ngoài dự kiến của giáo viên, đòi hỏi sự linh hoạt trong
xử lí các tình huống của người giáo viên – người hướng dẫn.
Thời gian của quá trình khám phá ra kiến thức mới chiếm khá nhiều
trong toàn bộ tiến trình của bài học, nên tùy thuộc vào từng nội dung, mục tiêu
dạy học và sự phân phối thời gian dạy học mới có thể áp dụng được.
Trong hoạt động khám phá đối với phép biến hình đòi hỏi giáo viên
phải có các mô hình, hình ảnh… đòi hỏi cơ sở vật chất của việc dạy học phải
đáp ứng được thì kết quả mới đem lại như ý muốn.
1.3.5. Phương pháp luyện tập thực hành
1.3.5.1. Bản chất
Luyện tập và thực hành giải toán nhằm củng cố, bổ sung, lắm vững
chắc thêm các kiến thức lí thuyết. Trong luyện tập, người ta nhấn mạnh tới việc
lặp lại với mục đích học thuộc kí hiệu, quy tắc, định lí, công thức,... đã học và
làm cho việc sử dụng kĩ năng được thực hiện một cách tự động, thành thực.
Trong thực hành, người ta không chỉ nhấn mạnh vào việc học thuộc mà còn
nhằm áp dụng hay sử dụng một cách thông minh các tri thức để giải được các

triển các kĩ năng.
Luyện tập và thực hành có hiệu quả trong việc củng cố trí nhớ, tính
lọc và trau chuốt các kĩ năng đã học tạo cơ sở cho việc xây dựng kĩ năng nhận
thức ở mức cao hơn.
Đây là phương pháp đễ thực hiện và được thực hiện trong hầy hết các
giờ học toán.
1.3.5.4. Hạn chế
Luyện tập và thực hành có xu hướng làm cho học sinh nhàm chán nếu
giáo viên không nêu mục đích một cách rõ ràng và có sựu khuyến khích cao.
Do bản chất của việc nhắc đi nhắc lại nên học sinh khó có thể đạt
được sự lanh lợi và tập trung, dễ tạo nên sự học vẹt, đặc biệt là chưa xây dựng
được sự hiểu biết ban đầu đầy đủ.
1.3.5.5. Một số lưu ý
Các bài tập luyện tập được nhắc đi nhắc lại với tốc độ ngày càng
nhanh hơn và áp lực lên học sinh cũng mạnh hơn. Tuy nhiên không nên tạo ra áp
lực quá cao mà chỉ vừa đủ để khuyến khích học sinh làm bài chịu khó hơn. Thời
gian cho luyện tập, thực hành cũng không nên kéo dài quá dễ gây nên sự nhạt
nhẽo và nhàm chán. Cần thiết kế các bài tập có sự phân hóa để khuyến khích
mọi đối tượng học sinh đều tham gia thực hành luyện tập phù hợp với năng lực
của mình. Cũng có thể tổ chức các hoạt động luyện tập, thực hành thông qua
nhiều hoạt động khác nhau, kể cả việc tổ chức thành các trò chơi học tập nhằm
làm cho học sinh hào hứng hơn, đồng thời qua các hoạt động đó các kĩ năng của
học sinh cũng được rèn luyện.


Chương II: Một số biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giai các bài toán cực trị
hình học trong chương trình THCS theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức
của học sinh.
2.1. Biện pháp 1: Giúp học sinh nhận dạng các bài toán cực trị hình học
trong chương trình THCS.

-X2 �0
(x + y )2 �4xy dấu “=” xảy ra khi � x = y.
Suy ra, nếu x + y là hằng số thì xy lớn nhất � x = y
Nếu xy là hằng số thì x + y nhỏ nhất � x = y
Bất đẳng thức Côsi với hai số không âm:

Ví dụ 1: Trong tam giác ABC, hãy tìm một điểm M sao cho
MA2 + MB2 + MC2 là nhỏ nhất.


Hướng dẫn giải:
Kí hiệu độ dài các cạnh cảu tam giác ABC là a, b và c. Gọi G là trọng tâm của
tam giác.
Trước hết ta có thể chứng minh rằng :
GA2 + GB2 + GC2 = (a2+b2+c2)
Bây giờ nếu ta chứng minh được rằng mọi điểm M (M≠G) nằm trong tam giác
ABC, ta đều có : MA2 + MB2 + MC2 >

(a2 + b2 + c2)

Thì điểm phải tìm chính là điểm G (trọng tâm của tam giác ABC).
Gọi A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.
Thế thì MA1 là đường trung tuyến của tam giác
MBC và ta có :
A

(MC

MA12 =



MC12 =
(MA2 + MB2 )
Dùng định lí stuya cho
AMA1 và tia MG ta
được:
MG2.AA1 = MA2.GA1 + MA12.AG – AA1.AG.GA1
=
Hay MG2 =
=

MA2.AA1 +
MA2 +
MA2 +

→ MG2 +
AG2 =
Tương tự ta được :
MG2 +

MA12.AA1 – AA1.

MA12 -

(MA

BG2 =

AA12


MG2 +

AG2

(AG2 + BG2 + CG2) = MA2 + MB2 + MC2 –

Hay MA2 + MB2 + MC2 =

(a + b + c ) + 3MG
2

2

2

(a + b + c )
2

2

2

2

Đẳng thức chứng tỏ rằng MA2 + MB2 + MC2
(a2 + b2 + c2) nếu M ≠ G,
và M nằm trong
ABC. Đó là điều phải chứng minh.



-Tính toán
kĩ
các yếu
đầy đủ của các dữ -Tổng hợp
hình
-Suy luận
năng tố.
kiện (cái gì thiếu, -Nhìn bài toán
-Tưởng -Thử
cần
-Nhận biết cái gì thừa?)
dưới góc độ khác. tượng
….
có
câu hỏi.
-Tổ chức, thể
-Xây dựng và giải -Tính
-Đọc được hiện các dữ kiện
bài toán đơn giản toán
hình ảnh. (Biểu đồ, bảng,
hơn.
-Suy
…..
sơ đồ, đồ thị,
- Đoán và thử
luận
mệnh đề,…)
-Sắp xếp dữ liệu
logic
-Ước lượng.

MNP nội tiếp
ABC một cách tùy ý
B
N
C
(M
AB, N
BC, P
AC). Vẽ E,F
sao cho AB là đường trung trực của NE, AC là
đường trung trực của NF.


Chu vi
MNP bằng NM+MP+PN= EM+MP+PF
EF
Ta cần xét khi nào thì EF nhỏ nhất.
Ta có
=
1 +
2 =
EAF là tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất
khi và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất.
EF nhỏ nhất
AE nhỏ nhất
AN nhỏ nhất
AN
BC
Như vậy chu vi
MNP nhỏ nhất khi N là chân đường cao kẻ từ A còn M và P

Tương tự PC
PB.
Vậy chu vi
MNP nhỏ nhất khi M, N, P là chân ba đường cao của
ABC.
Do
ABC nhọn nên M, N, P thuộc biên của tam giác.
-Kiểm tra kết quả, đánh giá kết quả: Tính toán, kiểm tra lại cách làm.
-Nhận xét: ở bài toán này đề bài cho rất ít dữ liệu. Yêu cầu của đề bài là dựng
một tam giác có chu vi nhỏ nhất nên ta có thể nghĩ ngay đến việc thay thế chu vi
tam giác bởi một đường gấp khúc có đồ dài bằng nó, tiếp theo sử dụng tính
chất : độ dài đường gấp khúc nối 2 điểm không nhỏ hơn đoạn thẳng nối 2 điểm
đó. Ta cũng có thể sử dụng cách giải khác bằng cách chỉ cho học sinh sử dụng
diện tích không đổi của
ABC làm giá trị so sánh trung gian. Bất đẳng thức
sử dụng là ‘diện tích tứ giác không lớn hơn nửa tích 2 đường chéo của chúng, và
đẳng thức xảy ra khi 2 đường chéo này vuông góc với nhau’.
2.3. Biện pháp 3 : Sử dụng hệ thống câu hỏi để rèn luyện kĩ năng giải các
bài toán cực trị hình học:
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ
ME
AB, MF
AD. Xác định vị trí của M trên BD để diện tích tứ giác
AEMF nhỏ nhất.
Dự kiến các câu hỏi-trả lời của GV và HS:


Câu hỏi 1: Các em có nhận xét gì về chu vi của hình chữ nhật AEMF ?
HS: Chu vi của hình chữ nhật AEMF=2AB không đổi.
Câu hỏi 2: Vậy em có nhận xét gì về tổng ME + MF ?

A

D

A

M

M

C

O

A

D

O

C

D

O

C D

A


D
O

H

B

C


MK.MH

=

=

=
Vậy P
4R2.
= 2R4
P đạt Max là 2R4 khi MK=MH
hay M là điểm chính giữa của cung AC.
Nhóm 2: P=MA.MB.MC.MD=(MA.MB).(MC.MD)
MA.MB
=

=

A


4R2.
= 2R4
P đạt Max là 2R4 khi MK=MH
hay M là điểm chính giữa của cung AC.
Nhóm 4: P=MA.MB.MC.MD = (ME.AB).(MF.CD)
(với E, F là hình chiếu của M lên AB và CD)
Ta có P=4R2.ME.MF
ME.MF

M

B

=
= 2R2
Vậy P
4R4
P đạt Max là 4R4 khi MA=MB ; MC=MD (vô lí)
Nhóm 3: P=MA.MB.MC.MD=(MK.AB).(MH.CD)
(với K,H là hình chiếu của M lên AB và CD)
Ta có P=4R2.MK.MH

=

C

B

D