LèI CÁM ƠN

Qua bán lu¾n văn này tôi xin bày tó lòng cám ơn chân thành và sâu
sac tói thay giáo-Tien sĩ Cung The Anh, ngưòi thay đã t¾n tình hưóng
dan, giúp đõ tôi trong suot quá trình làm lu¾n văn. Tôi xin chân thành
cám ơn ban chn nhi¾m khoa Toán, phòng sau đai hoc cũng như các thay
cô giáo trong khoa đã giáng day và giúp đõ tôi trong suot nhung năm
hoc vùa qua. Tôi xin chân thành cám ơn các thay cô giáo trong h®i đong
đong báo v¾ đã giúp đõ tôi hoàn thành lu¾n văn này. Qua đây tôi cũng
xin gúi lòi cám ơn sâu sac tói gia đình và ban bè đã giúp đõ, tao đieu
ki¾n, đ®ng viên tôi trong suot quá trình hoc t¾p và làm lu¾n văn.
Do thòi gian và trình đ® bán thân còn han che nên bán lu¾n văn không
tránh khói nhung thieu sót. Vì v¾y tôi rat mong đưoc sn giúp đõ, góp
ý cna các thay cô và các ban đe bán lu¾n văn cna tôi đưoc hoàn thi¾n
hơn.


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói
sn hưóng dan cna TS. Cung The Anh .

Hà N®i, tháng 10 năm 2010
Tác giá
Ta Th% Hong Yen


Mnc lnc

Lài cám ơn


1.4. Tính núa liên tuc trên cna D−t¾p hút lùi................................13
2

SN ton tai và duy nhat cúa nghi¾m yeu

14

2.1. Phát bieu bài toán...................................................................14
2.1.1. Phát bieu bài toán và các giá thiet.............................14

ii
iii


2.1.2. Đ%nh nghĩa nghi¾m yeu................................................... 15
2.2. Sn ton tai và duy nhat cna nghi¾m yeu.................................17
3

SN ton tai, đánh giá so chieu và tính nNa liên tnc trên
cúa D− t¾p hút lùi
22
3.1. Sn ton tai D−t¾p hút lùi trong Hµ(Ω) ∩ Lp(Ω)......................23
3.2. Đánh giá so chieu fractal cna D− t¾p hút lùi..........................34
3.3. Tính núa liên tuc trên cna D−t¾p hút lùi tai µ = 0 . . . 41

Ket lu¾n

45



u0 ›→ u(t), u(t) là nghi¾m cna bài toán vói đieu ki¾n biên ban đau u0,
không còn sinh ra núa nhóm như trưòng hop ôtônôm). Vì v¾y các nhà
toán hoc đã đưa ra nhung khái ni¾m t¾p hút mói đ¾c trưng cho phương
trình không ôtônôm. Chang han t¾p hút đeu (uniform attractors, xem
[6]), t¾p hút lùi (pullback attractors, xem [4]). Hi¾n nay vi¾c nghiên cúu
sn ton tai và các tính chat cna t¾p hút lùi cho các phương trình đao riêng
phi tuyen không ôtônôm đã và đang là m®t trong nhung van đe thòi sn,


2

thu hút sn quan tâm cna nhieu nhà toán hoc trong và ngoài nưóc.
Chính vì v¾y chúng tôi đã chon đe tài cna lu¾n văn là "T¾p hút
lùi đoi vái m®t láp phương trình parabolic phi tuyen".
Trong lu¾n văn này chúng tôi nghiên cúu bài toán sau:

µ
u
u + f (u) = g(x, t), x ∈ Ω, t > τ,
 t − ∆u

|x|2
u|∂Ω
= 0, t >
τ,


u (x, τ )
= uτ (x) , x ∈ Ω,
trong đó uτ ∈ L2(Ω) cho trưóc, 0 < µ ≤ µ∗ là tham so, µ∗ =


s

¸

2

−∞

eλ1,µs|g(r)|2drds < ∞,
2

−∞ −∞

trong đó λ1,µ là giá tr% riêng cna toán tú Aµ = −∆ − |x|2 trong Ω vói
µ

đieu ki¾n biên Dirichlet thuan nhat.

2. Mnc đích nghiên cNu
Trong lu¾n văn này chúng tôi nghiên cúu sn ton tai, đánh giá so
chieu fractal và tính núa liên tuc trên cna D−t¾p hút lùi đoi vói m®t lóp
phương trình parabolic phi tuyen không ôtônôm vói the v% kieu Hardy.


3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu t¾p sn ton tai và duy nhat nghi¾m yeu cna bài toán trên.
Nghiên cúu sn ton tai D−t¾p hút lùi đoi vói quá trình sinh bói bài
toán trên.
Nghiên cúu ve so chieu fractal cna D−t¾p hút lùi đoi vói quá trình

tham so µ trong so hang chúa the v%. Nói riêng, khi µ → 0+ thì D− t¾p
hút lùi cna bài toán dan đen D− t¾p hút lùi cna phương trình truyen
µ
nhi¾t co đien (túc là phương trình không có so hang chúa the v%
− |x|2 u).

7. NhÑng đóng góp mái cúa đe tài
Đe tài chúng minh đưoc sn ton tai và duy nhat nghi¾m yeu cna bài
toán trên.
Chúng minh đưoc sn ton tai cna D− t¾p hút lùi đoi vói quá trình
sinh bói bài toán trên.
Chúng minh đưoc so chieu fractal cna D− t¾p hút lùi là huu han.
Chúng minh đưoc tính núa liên tuc trên cna D− t¾p hút lùi.
Các ket quá cna lu¾n văn là mói, có ý nghĩa khoa hoc và đang đưoc
gúi đăng ó tap chí chuyên nghành (xem [1]).


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so kien thúc chuan b% ve
các không gian hàm và toán tú, các khái ni¾m và đ%nh lý tong quát ve
sn ton tai, đánh giá so chieu và tính núa liên tuc trên cna D−t¾p hút
lùi phuc vu cho vi¾c chúng minh các chương sau.

1.1.

Các không gian hàm và toán tN

Cho 0 ≤ µ ≤ µ∗, chúng ta đ%nh nghĩa không gian Hµ(Ω) là bao
đóng cna C∞(Ω) vói chuan


6

đang thúc Hardy-Poincare trong [14]
|u|
¸ .
|∇u|2 − µ∗ 2. dx ≥ C(q, Ω)"u
2
"W

|x|2

Ω

, 1 ≤ q < 2,

1,
q

(1.1)

(Ω)

2N
,
N −2(1−s)

và cho 0 ≤ s < 1, 1 ≤ r < r∗
=


0

(1.3)

(Ω) nhúng compact trong Hs(Ω) vói q = q(s) gan
0

2 và H0s(Ω) nhúng compact trong L2(Ω), chúng ta suy ra các phép
nhúng

Hµ (Ω) ‹→
1 2
L

(Ω), Hµ (Ω) ‹→ H s (Ω), 0 ≤ s < 1,

(1.4)

0

là compact.
Nq

Nhac lai rang phép nhúng W 1,q ‹ Lq(Ω) liên tuc vói 1 p
và
→
≤
N −q
Nq
≤

7


u

(1.5)
= 0 vói x ∈ ∂Ω.

Đe áp dung mó r®ng Friedrichs cna các toán tú đoi xúng (xem [17])


chúng ta nhac lai bat đang thúc Hardy mó r®ng trong [14]
¸
.
.2
¸
2
|u|
2
N
−
2
|u|
dx,
dx
+
λ
|∇u|2dx ≥
Ω
¸ |x|2


|x|2

Hơn
nua,
A˜ ⊂ A ⊂ AE ,
ó đây AE : Hµ(Ω) → H−1(Ω) là mó r®ng năng lưong (H−1(Ω) là không
µ

gian đoi ngau cna H (Ω)) và A =
µ

A˜ vói mien xác đ%nh

∆
−
−

µ
|x|2

µ

là mó r®ng Friedrichs cna

D(A) = {u ∈ Hµ(Ω) : A(u) ∈ X}.
Chúng ta có b® ba tien hoá Hµ (Ω) ‹→‹→ L2 (Ω) ‹→‹→µ H −1 (Ω) vói
các phép nhúng là compact và trù m¾t. Do đó, vói moi 0 < µ ≤ µ∗, ó
đó ton tai m®t h¾ trnc chuan các vectơ riêng (ej,µ, λj,µ) phu thu®c vào µ
sao cho

và
U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ ) vói moi t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R. Quá trình {U (t, τ
)}
đưoc goi là liên tuc norm-to-weak (norm-to-weak continuous) trên X
neu U (t, τ )xn h®i tu yeu tói U (t, τ )x khi xn h®i tu manh tói x trong
X, vói moi t ≥ τ, τ ∈ R. Giò, chúng ta nhac lai m®t phương pháp
huu ích đe chí ra quá trình trên là liên tuc norm-to-weak.
Bo đe 1.1. [16] Cho X và Y là hai không gian Banach , X ∗ , Y

∗

là

hai không gian đoi ngau tương úng. Giá thiet rang X là trù m¾t
trong Y , phép chieu i : X → Y là liên tnc, ánh xa liên hop i∗ : Y

∗

→

X ∗ là trù m¾t, và {U (t, τ )} là quá trình liên tnc ho¾c liên tnc yeu
trên Y . Khi đó
{U (t, τ )} là liên tnc norm-to-weak trên X neu vói t ≥ τ, τ ∈ R, {U (t,
τ )}
bien m®t t¾p compact cúa X thành m®t t¾p b% ch¾n cúa X.
Cho B(X) là ho tat cá các t¾p con b% ch¾n khác rong cna X và D là
m®t lóp khác rong các t¾p tham so hoá Dˆ = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(X).
Đ%nh nghĩa 1.2.1. M®t quá trình {U (t, τ )} đưoc goi là
D−compact


1. A(t) là compact vói moi t ∈ R;
2. Aˆ là bat bien; túc là
U (t, τ )A(τ ) = A(t)
vói moi t ≥ τ;
3. ˆ là D−hút lùi; nghĩa là
A
lim dist(U (t, τ )D(τ ), A(t)) = 0
τ →−∞

vói moi ˆ ∈ D và moi t ∈ R;
D


4. Neu {C(t) : t ∈ R} là ho khác rong các t¾p hút đóng thì A(t) ⊂ C(t)
vói moi t ∈ R.
Đ%nh lý 1.2.1. [11] Cho {U (t, τ )} là quá trình liên tnc norm-toweak sao cho {U (t, τ )} là D−compact ti¾m c¾n lùi. Neu ton tai m®t
ho các t¾p D−hapBthn lùi ˆ = {B(t) : t ∈ R} ∈ D, thì {U (t, τ )} có
m®t D−t¾p hút A
lùi duy nhat ˆ = {A(t) : t ∈ R} và
A(t) =

\

[

U (t, τ )B(τ ).

s≤t τ ≤s

1.3.

(τ, T ; V ) ∩ C([τ, T ]; H), F (u(t), t) ∈



du
L1

(τ, T ;
V

t

), vói moi T > τ.


= F (u(t), t), t > τ,
dt


u(τ ) =
u0 .

(1.9)

Ta đ%nh nghĩa

U (t, τ )u0 = u(t, τ ; u0),τ ≤ t, u0 ∈ H.

(1.10)



s


(F (u + sv, t) −
F (u, t) − sF
t
(u, t)v) = 0 ∈
V t.


Hơn nua, chúng ta giá sú rang ánh xa F t : (u, t) ∈ V × (−∞, T ∗ ] ›→
F t(u, t) ∈ L(V ; V t) là liên tuc (do đó, trong trưòng hop đ¾c bi¾t, vói
moi
t ≤ T ∗ , ánh xa F (., t) là khá vi Frechet liên tuc trên V ).
Do đó vói moi τ ≤ T ∗ và bat kỳ u0, v0 ∈ H ton tai duy nhat v(t) =
v(t; τ, u0, v0) là nghi¾m cna bài toán

v ∈ L2
(τ, T ; V ) ∩ C([τ, T ]; H), vói moi τ < T ≤ T ∗ ,



d = t
(U (t, τ )u0, t)v, τ < t


T rj
(F

T

u0 ∈K(τ



τ

(U (s, τ − T )u0, s))ds ,

τ −T

(1.16)

trong đó
.
T rj
(F

r (U

(s, τ )u0, s)) =

sup

vi

[
τ ≤T

∗

K(τ ) là compact tương đoi trong H,

(1.17)


và ton tai qj , j = 1, 2, .... sao cho

và

q˜j ≤ qj , vói moi j ≥ 1,

(1.18)

qn0 ≥ 0, qn0+1 < 0, vói n0 ≥ 1 nào đó

(1.19)

qj ≤ qn0 + (qn0 − qn0+1)(n0 − j), vói moi j = 1, 2, ...

(1.20)

qn0
, vói moi τ ≤
dF (K(τ )) ≤ d0 := n0 +
q n0 − n 0 + T

sau đưoc thoá mãn:
1. supτ ∈[t−T,t] supχ∈K d(Us(t, τ )χ, U0(t, τ )χ) → 0 khi s → 0;
2.
3.

S

S

s∈[0,1]

S
0