TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC LỚP 9
Bài 1: Cho đường tròn (O). Một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó. Trên dây cung AB lấy
hai điểm E và H. Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn tại C và D. Chứng minh rằng EHCD là một
tứ giác nội tiếp.
HDẫn:
S
�  1 (s�AD
�  s�
� góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn)
SB)(
Ta có: HED
B
E
2
H
A
�  1 s�
�  1 s�
�  BD)
�  1 (s�
�  s�BD)
� (góc nội tiếp)
HCD
SD
(SB
SA
O
2
2
2
�  HCD

b) Ta chứng minh A, S, E cùng nằm trên phân giác của góc A.
Bài 3: Các đường cao hạ từ A và B của một tam giác ABC cắt nhau tại H, các đường cao ấy kéo dài cắt
đường tròn tại D và E. Chứng minh rằng:
E
A
a) CD = CE.
b) H và D đối xứng nhau qua BC; H và E đối xứng nhau qua AC.
Hướng dẫn:
H
�
�
�
a) Ta chứng minh CAD  CBE(c�
ng ph�v�
i ACB)
O
�  CE
� � CD  CE
suy ra CD
B
C
�  CE
� � CBD
�  CBE
�
b) Từ CD

Tam giác BHD có BC vừa là đường cao vừa là phân giác nên nó là tam giác cân
D
Do đó BC là trung trực của DH . Vậy D, H đối xứng nhau qua BC.

A
đường kính AOF.
a) Chứng minh: BC // EF.
H
�  CAF.
�
b) Chứng minh: BAE
O
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng.
C
B
I
Hướng dẫn:
a) Ta chứng minh BC và EF cùng vuông góc với AE.
F
E
�  CF
� � BAE
�  CAF
�
b) BC // EF suy ra BE
c) Ta chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành


BH//CF (vì cùng vuông góc với AC) và CH//BF(cùng vuông góc với AB): H, I, F
nằm trên đường chéo do đó H, I, F thẳng hàng.
Bài 6: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là trực tâm của tam giác. K là
trung điểm AC. Phân giác góc A cắt (O) tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:
a) OM đi qua trung điểm N của BC.
A

A
b) Chứng minh tam giác CDI cân.
E
c) DF Cắt AB ở K. Chứng minh hai tam giác AKF và DKB đồng dạng.
F
I
Hướng dẫn:
K
�  BF
�
a) CI là tia phân giác của góc ACB, CI cắt đường tròn tại F suy ra AF
B
C
nên F là điểm chính giữa cung AB.
�  ICD
� � IDC c�
b) Ta chứng minh DIC
n
D
�  BKD(�
�
�  BDK
� (góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
c) AKF
�
i�
�
nh) FAK
Vậy hai tam giác AKF và DKB đồng dạng (g – g)
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O), có ba đường cao AD, BE, CF

�  1800
Chỉ ra BAC
c) Do FC là tia phân giác của góc DFE , BF  FC nên FB là phân giác ngoài của tam giác DEF tại
đỉnh F. Do đó B là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác DEF trong góc DEF , theo tính chấ đường
tròn bàng tiếp ta có:
2EI = EF + ED + DE (1)
Chứng minh tương tự C là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác DEF trong góc DFE và:
2FK = EF + FD + DE (2)Từ (1) và (2) ta được: EI + FK = EF +DF +DE
� (IF  EF)  EF  EK  EF  DE  DF � DE  DF  IF  FE  EK  IK (đ.p.c.m)
Bài 9: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E,
F. Các đường thẳng BI, CI cắt EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng bốn điểm B, M, N, C cùng
thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn:
Giả sử M nằm ngoài đoạn EF.
� B
$1  C
�1  1 (B
$  C)
�
Khi đó ta có: MIC
2


�
1
M
�  900  A
A
 (1800  A)
2

Chứng minh tương tự ta được: BNC
một đường tròn.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và dựng một đường tròn đường kính
MC. Nối BM và kéo dài cắt đường tròn tại cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S.
B
Chứng minh rằng:
B
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp.
b) AC là phân giác của góc SCB.
O
Hướng dẫn:
C
A
M
O
C
A
0 � ABCD
M
�
�
a) BAC  BDC  90
là tứ giác nội tiếp
S
� v�ACS
� cùng bằng góc BDA
D
D
b) ta chứng minh BCA
S

Q
thẳng BC tại Q. Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD.
a) Chứng minh tứ giác AQRC nội tiếp trong một đường tròn.
R
b) Chứng minh DA song song với QR.
B
Hướng dẫn:
1
C
�  s�BC
�  1 s�CD
�  BAD
�
�  1 s�AB
�  1 s�BD
�  BAD
�
a)Tac�
: QCR
; QAR
A
O
2
2
2
2
�
�
D
n�

Hướng dẫn: như bài 12
Bài 14: Cho H là trực tâm của một tam giác ABC.
a) Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua AC. Chứng minh H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB ; BHC ; CHA ;
có bán kính bằng nhau.
c) Kẻ đường kính AA’. Chứng minh tứ giác BA’CH là hình bình hành.


Hướng dẫn:
A
a) Ta chứng minh tam giác HBH’ có BC vừa là đường cao vừa là phân giác
góc HBH’ nên tam giác HBH’là tam giác cân do đó BC cũng là đường trung trực
H
của HH’ hay H và H’ đối xứng qua BC.
O
C
B
- Chứng minh H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
0
�
�
ta chứng minh tứ giác ABH’C nội tiếp( dấu hiệu BAC  AH'C  180 )
A'
H'
b)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB ; BHC ; CHA ; có bán kính bằng nhau
bằng bán kính đường tròn (O) (ta chứng minh BHC  BH'C , các tam giác khác tương tự)
c) Ta chứng minh BH//A’C(cùng vuông góc với AC). CH//BA’(cùng vuông góc với AB)
Bài 15: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM
cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh:

�  300 , DOC
�  600. Hãy tính diện tích của tứ giác ACDB.
c) Cho BOD
C
Hướng dẫn:
�  CDF
�  1800 bằng cách chứng minh CDA
�  CEF
�
a) Ta chứng minh CEF
D F
b) Xét các tam giác vuông AEB và AFB có các đường cao tương ứng
là BC và BD vận dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có :
A
B
O
AC.AE = AD.AE = AB2 = 4R2 có giá trị không đổi
R2 R2 3 R2 3 3 2
c) SACDB  SOBD  SDOC  SCOA 



R
4
4
2
4
Bài18: Cho tam giác ABC có các cạnh BC < AC < AB và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các tiếp
tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn
tại E và F, cắt AC tại I. Chứng minh:


a) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Nếu AB = OB thì ABOC là hình gì? tại sao? Tính diện tích hình tròn và độ dài đường tròn ngoại
tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R của đường tròn (O).
N
B
Hướng dẫn:
I
a) Ta chứng minh B, C, I cùng nhìn đoạn thẳng OA dưới một góc vuông
M
không đổi.
A
O
b) Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình vuông( vì tứ giác có các cạnh
2
bằng nhau và có một góc vuông). Khi đó SABOC  R
C

Độ dài của đường tròn ngoại tiếp là: R 2 .
Bài 20: Cho tam giác ABC (AB = AC). Các cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại các
điểm tương ứng D, E, F . BF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I. Tia DI cắt BC tại M. Chứng minh:
a) Tam giác DEF có 3 góc nhọn.
b) DF // BC và tứ giác BDFC nội tiếp
A
BD BM

c)
CB CF
Hướng dẫn:
a) Ta có: AD = AF(hai tiếp tuyến cắt nhau)

i A có: ADF
b) Trong ADF c�
2
0
�
�  180  A
Trong ABC c�
n t�
i A có: ABC
2
�  ABC
� ở vị trí đồng vị � DF // BC
Vậy ADF
�  BDF
�  ABC
�  BDF
�  ADF
�  BDF
�  1800 � tứ giác BDFC nội tiếp.
Tứ giác BDFC có: BCF
�  DFB
� (soletrong); DFB
�  BDM
�
� � FBC
�  BDM
�
c) Ta có FBC
(c�
ng b�

A
a) Ta chứng minh MAC
n hai cung b�
ng nhauMC
Q
�  MIC
� nên tam giác ACM đồng dạng với tam giác CIM.
ACM
MC MA
J
O

� MC2  MI.MA
Từ đó suy ra
MI MC
C
B
I
b) Gọi J là giao điểm ba đường phân giác của ta giác
�  PJC
�  900  A )
M
Ta chứng minh tứ giác APCJ nội tiếp( PAC
2
�  900 � JCP
�  900 hayQCP
�  900
ta có PAJ
�  900
Chứng minh tương tự ta cũng có tứ giác AQBJ nội tiếp suy ra QBP

�  900 nên tứ giác MICE nội tiếp được.
c) EMC
d) Ta chứng minh
�1 ; E
�1  MBE
�  900,MBE
�  IBO'
� ; I$2  IBO'
�
I�1  E
�
�$
I1  $
I 2  900 � MIO'
 900 hay MI  IO
Vậy MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
e) Chỉ ra B là trực tâm của tam giác DCE nên DB  EC
Bài 23: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và I là trung điểm của một dây cung AB. Hai dây bất kì
CD và EF đi qua I với EF > CD (C, E cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB). CF cắt AB tại M và ED cắt
AB tại N. Vẽ dây FG // AB. Chứng minh:
E
C
a) Tam giác IFG cân
b) Tứ giác INDG nội tiếp đường tròn
I
N
B
A M
c) MI = IN
Hướng dẫn:

c) Ta chứng minh IMF  ING ( MIF
Bài 24: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB. kẻ một dây AC. Gọi E là điểm chính giữa cung
AC, gọi H là giao điểm của OE và AC.
a) Chứng minh: OE // BC
b) Từ C kẻ đường thẳng song song với BE, đường thẳng này cắt đường thẳng OE tại D. Chứng minh
BCDE là hình bình hành.
c) Đường thẳng AE cắt CD tại K. Chứng minh EKCH là tứ giác nội tiếp được.
d) Gọi P là giao điểm của đường thẳng KH với AB. Chứng minh tam giác AHP đồng dạng với tam
giác ABC.
Hướng dẫn:
D
a) OE // BC vì cùng vuông góc với AC
K
b) Chứng minh BCDE là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song
C
c) Ta có OE  AC (vì E là điểm chính giữa cung AC)
E
0
0
0
�  EKC
�  90  90  180 nên tứ giác
Chứng minh AK  CD � EHC
H
EKCH nội tiếp được.
� chung (1)
A
d) AHP v�ABC có BAC
B
P O

N
B
1 12
Hướng dẫn:
2
1 K
a) Gọi H, K, L, N là hình chiếu của P lên các cạnh AB, BC, CD, DA.
P
2
Ta chứng minh các tứ giác AHPN, BHPK, CKPL, DLPN là các
D
2 1
M
O
�
�
�
�
�
�
�
�
L
tứ giác nội tiếp, từ đó chứng minh H1  H2 ; K 1  K 2 ; L 1  L 2 ; N1  N2
(vận dụng tính chất góc nội tiếp). P là giao điểm các đường phân giác của
C
các góc nên P là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác HKLN.
b)
Bài 26: Cho đường tròn tâm (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng
OB lấy điểm H (H khác O và B). Đường thẳng CH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K. Đường thẳng

a) Tia CB là phân giác của góc ACE.
b) Bốn điểm A, H, E, C cùng nằm trên một đường tròn và tam giác AHE cân.
c) HE2  HD.HC
Hướng dẫn:
E
B
H

ABDc�
n
a)Ta chứng minh
(vì có đường cao vừa là trung tuyến)
D
�
� (�
�  ADB
�
�  EDC
� .
do đó ABD
ta lại có ABD  EDC
.�
) nên ABC
�  ABC
�  900 (1)
trong tam giác vuông ABC có ACB
A
�  EDC
�  900 (2)
trong tam giác vuông EDC có ECD

$1 (cùng chắn cung AB của (O2))
a) A
2

E

1
2

B
1

2

C

F

C


�2  E
� 2(c�
A
ng ch�
n cung AB c�
a (O1) )
suy ra tam giác ABE đồng dạng với tam giác FBA (g – g)
AB AE BE
AB.AE

$1  A
�2  F
$2  C
� 2  1800 (tổng ba góc trong tam giác)
do đó : EAF
Vậy AECF nội tiếp được.
Bài 29: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường cao từ đỉnh A cắt đường
tròn (O) tại F. AD là đường kính của đường tròn (O).
a) Chứng minh các góc BAC và DAF có cùng tia phân giác và B, C, F, D là bốn đỉnh của hình thang
cân.
b)Chứng minh AB.AC = AD.AE
c)Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh BC là đường trung trực của HF và DH đi qua
trung điểm I của BC.
A
d)Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh O, G, H thẳng hàng.
Hướng dẫn:
H
a) gọi AM là tia phân giác của góc DAF, AM cắt (O) tại M ta chứng minh
G
�  CD
� (BC//FD do cùng vuông góc với AF) và có FM
�  MD
� suy ra
BF
O
� v�DAF
�
�  CM
� � BAM
�  CAM

P
AN AB
M

d) D là giao điểm AN và BC thì
I
BN BD
E
O
Hướng dẫn:
B
C
D
�
�
a) Ta chứng minh IBN  BIN dựa vào số đo cung nên tam giác BNI cân tại N
b) Xét tam giác ANB có NE là phân giác của góc ANB của tam giác ANB
N
BE BN
�

� AE.BN  BE.AN
AE AN
n
c) Do tam giác BNI cân tại N có NE là phân giác cũng là trung trực của BI nên EB = EI � BEI c�
�  IBC
� (cùng bằng EBI
� ) ở vị trí so le trong nên EI // BC.
Tiếp tục ta chứng minh EIB
�  BAN

�  1 (s�AB
�  s�
�  1 (s�AC
�  s�CM)
�  1 s�AM
�  ACM
�
CM)
b) Ta có ADC
2
2
2
AD AC
�  ACM
� ). Do đó

� AD.AM  AC2
suy ra: ADC : ACM (góc A chung và ADC
AC AM
0
�
c) Tam giác ABC vuông cân nên ACB  45
�  ACD
�  CMD
�  CMA
�  1800 . mà
Ta có: ACB
�  CMA(do
�
�  ACB

� MA.MI  MC.MD (1)
B
O
MC MI
� chung;MAE
�  IDM
� (gntc�
�
c) Chứng minh MAE : MDI (M
ng ch�
n IE))
E
D
MA ME
�

� MA.MI  MD.ME (2)
MD MI
Từ (1) và (2) suy ra MC = ME , nên tam giác MCE cân tại M. AM là tia phân giác cũng là đường cao
�  900 . Do đó quĩ tích của F là đường tròn đường kính AC.
hay AM  CE . C, A cố định CFA
d) AM là trung trực của CE suy ra AC = AE = AD. AC = AD không đổi. vì thế E nằm trên đường tròn
tâm A bán kính AC.
Giới hạn: Do M di chuyển trên cung nhỏ BC nên Khi M �C th�E �C ; M �B th�E �D
� của đường tròn (A, AC).
Vậy E nằm trên cung CED
Bài 33: Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh: CH2  AH2  2AH.CI
b) Đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt AB tại G, cắt các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (I, IC)
lần lượt tại F và E. Chứng minh AF + BE = EF


c) Từ AF // BE // HC �
HB CE BE
GB BE
HB GB
�  600 � AC  R ; BC  BE  R 3 ; GE  2R 3 ; GB  3R.
d) Từ AB = 2R và s�AC
1
1
2
2
3
Thể tích hình nón: V  BE .GB  3R .3R  3R
3
3
Bài 34: Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O). M là một điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn
thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.
a) Chứng minh tam giác DMC đều.
b) Chứng minh: MB + MC = MA.
A
c) Chứng minh tam giác ADOC nội tiếp được.
d) Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường tròn cố định nào?
D
Hướng dẫn:
�
�  600 � DMC đều
a) Tam giác DMC có MD = MC ; AMC
 ABC
60
�

C
IA IC
�

� IA.IB  IC.ID
ID IB
�  DEB(c�
�
�
b) Ta chứng minh C
ng ph�v�
i A)
M
suy ra tứ giác ACDE nội tiếp được.
D
c) Chứng minh tâm K của đường tròn(ACD)
A
di động trên một đường cố định:
B
E O I
- Tứ giác ACDE nội tiếp được. K là tâm của đường tròn(ACD)
suy ra K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACDE
d
nên KA = KE ; Mà A, E cố định nên K di động trên đường
trung trực của đoạn thẳng AE.
Bài 36: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm di động trên nửa đường tròn. Tia BM
cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn tâm O tại D.
a) Chứng minh: DA 2  DM.DB
b) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
D

c)Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt AD tại E.
Ta chứng minh AMB  ECA(g  c  g) � AB  AE
độ dài AB không đổi suy ra AE không đổi.
A cố định AD cố định nên E cố định.
�  90o suy ra C di động trên đường tròn đường kính AE.
AE cố định và ACE
Bài 37: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, C là trung điểm của đoạn OA, D là một điểm
của đường tròn sao cho BD = R. Đường trung trực của OA cắt AD tại E và BD tại F.
a) Tính các đoạn thẳng AE, CE và ED theo R.
b) Chứng tỏ rằng hai tam giác ADB và FCB đồng dạng. Tính FB và FC theo R;
c) Chứng tỏ BE vuông góc với AF;
d) Một điểm M lưu động trên nửa đường tròn không chứa điểm D, tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn
DM.
Hướng dẫn:
a) Tính các đoạn AE, CE, ED
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vưông nửa tam giác đều có góc
F
R
AC
R
3
R
3
0
�  30 AC = , Tính AE =
CE =

DAB
2
cos300

� FB 

CB FB
DB
R
3 3R
FC  FB2  BC2 
2
c) Do E là trực tâm của tam giác AFB nên BE  AF
d) I là trung điểm của DM nên OI  DM , I nằm trên đường tròn đường kính DO.
Giới hạn: M chạy trên nửa đường tròn AMB, khi M trùng A thì I trìng với trung điểm A’ của AD. Khi
M trùng với B, I trùng với trung điểm B’ của DB. Vậy I nằm trên nửa đường tròn A’OB’ đường kính
A’B’.
- Ngược lại: giả sử có I’ thuộc nửa đường tròn A’OB’ đường kính A’B’ ta nhận thấy A’B’ = OD (vì
cùng bằng một nửa AB), nên OD cũng là đường kính do đó OI  DI hay OI  DM � I là trung điểm
của DM.
Vậy khi M lưu động trên nửa đường tròn AB không chứa điểm D, quĩ tích của I là một nửa đường
tròn A’OB’ đường kính DO.
Bài 38: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại A.
Lấy trên d điểm C sao cho AC = R rồi vẽ tiếp tuyến CD với đường tròn (O).
a) Tứ giác ACDO là hình gì ?
D
C
b) Chứng minh CO // DB. Tính độ dài CO, DB.
I
c) OC cắt đường tròn (O) tại I và K (I trên cung nhỏ AD). Tính độ dài AI, AK R
R
theo R.
B
A

�
�
�
2 � �2 �
�
d) Diện tích hình viên phân giới hạn bới AI:
2

S

2

2

.R2.45
R2
2 2 .R 2 (  4 2  2)R 2
 SAIO 


360
8
2
8